Определение метрологических характеристик измерительного генератора (120

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Погрешность, обусловленную вариацией показаний, можно выявить, если в серии измерений часть из них проводить, расстраивая генератор «вверх», а часть — «вниз». Результаты измерений статистически обрабатывают, чтобы найти средние арифметические значения F¯↑ и F¯↓ и средние квадратичные погрешности среднего арифметического σ˜F¯↑ и σ˜F¯↓ при расстройке генератора «вверх» и «вниз».

Для рассматриваемого примера в серии из 40 измерений 20 проведены при расстройке «вверх» и 20 — при расстройке «вниз». Статистическая обработка дала следующие результаты:

F¯↑ = 97761Гц при σ˜F¯↑ = 9Гц; F¯↓ = 97781Гц при σ˜F¯↓ = 10Гц. Доверительные интервалы погрешностей среднего арифмети-

ческого:

˜δF¯↑ = tF¯ σ˜F¯↑ = 3,4 · 9 = 30 Гц;

˜δF¯↓ = tF¯ σ˜F¯↓ = 3,4 · 10 = 34 Гц.

Здесь tF¯ — коэффициент Стьюдента для серии из 20 измерений; tF¯ = 3,4 при доверительной вероятности 0,9973.

При выполнении условия				Fнест 0,1			˜δF¯		↑		,
											значение ва-
				Fнест 0,1			˜δF¯		↓
риации показаний может быть вычислено по выражению
F¯вар = F¯		F¯				˜δF¯ + ˜δF¯		.
	↓	−	↑		−	↑	↓

О наличии вариации можно говорить, если Fвар > 0 (рис. 2, а).

При F¯↓	−	F¯↑			˜δF↓	+ ˜δF↑		точность результата измерений

удовлетворительна (на практике достаточно иметь десятикратное различие). Если же это условие не удовлетворяется, то число измерений нужно увеличить, так как при этом уменьшаются значения

σ˜F¯↓ и σ˜F¯↑ .

Случай, соответствующий F¯вар < 0, графически представлен на рис. 2, б. О наличии вариации показаний трудно сказать чтонибудь определенное. Следует увеличивать число измерений так,

чтобы вариация показаний F¯	стала положительной:
вар
F¯	> 0.
вар

11

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Рис. 2

12

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Работа № 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕСТАБИЛЬНОСТИ ЧАСТОТЫ ГЕНЕРАТОРА С ПОМОШЬЮ ЭЛЕКТРОННО-СЧЕТНОГО ЧАСТОТОМЕРА

Цель и содержание работы

Цель работы — экспериментально определить нестабильность частоты колебаний, выдаваемых генератором сигналов на краях его рабочего диапазона.

В работе выполняют два цикла измерений. Сначала эксперимент проводят при работе ЭСЧ в режиме измерения частоты на верхнем краю диапазона, так как чем выше измеряемая частота, тем точнее она определяется.

Предельная погрешность δ0ΣF, вносимая ЭСЧ в режиме изменения частоты, определяется аналитически по формуле

δ0ΣF = δ0 +	1			,	(1)
	T	F
			x
	0

где δ0 — наибольшая погрешность, обусловленная неточностью установки и нестабильностью частоты встроенного в ЭСЧ образцового кварцевого генератора; значение δ0 указывается в описании ЭСЧ; T0 — время счета; Fx — измеряемая частота.

До завершения первого эксперимента нет никаких данных о нестабильности измеряемой частоты. Поэтому измерения проводятся с максимально обеспечиваемой ЭСЧ точностью, т. е. при использовании наибольшего возможного в приборе времени счета T0.

По результатам первого цикла измерений находят значения fmax, fmin и разность между ними F:

F = fmax − fmin.

Величина F включает в себя как нестабильность частоты ге-

нератора Fнест за время проведения первого цикла измерений		t1,
так и погрешность δ0Σ, с которой частотомер измеряет частоту. В
первом цикле измерений необходимо выполнение условия
δ0F =	F 10δ0Σ.	(2)
	fср

Только в этом случае можно считать, что частотомер обеспечивает измерения с приемлемой для эксперимента точностью. Следовательно, именно при выполнении этого условия можно считать, что

13

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

F = Fнест т. е. F определяет нестабильность частоты генератора за время измерений t1.

Следующий эксперимент — измерение нестабильности частоты исследуемого генератора на нижнем краю его частотного диапазона. Однако с уменьшением измеряемой частоты точность ее определения уменьшается. Измерение нестабильности частоты генератора возможно лишь при условии, что погрешность, вносимая ЭСЧ, составляет незначительную часть суммарной погрешности измерений. Поэтому максимально допустимая погрешность δ0ΣА, вносимая частотомером, ограничивается условием

δ0ΣF max 0,1δ0Fнест (δ0Fнест = δ0F).			(3)
Для выполнения этого условия требуется, чтобы время			счета
T0треб определялось соотношением
1
T0треб		.	(4)
	(δ0ΣF max − δ0)Fx

Рассчитанное время счета T0треб может оказаться больше максимального, которое может обеспечить ЭСЧ в режиме измерения частоты колебаний. (Обычно Т0max = 10с.) Это значит, что требуемая точность измерения не может быть обеспечена ЭСЧ в указанном режиме. Тогда следует перейти от режима измерения частоты в ЭСЧ к режиму измерения периода колебаний.

При переходе к режиму измерения периода колебаний требуется предварительно рассчитать и установить переключателем на передней панели ЭСЧ показатели этого режима ВРЕМЯ СЧЕТА — МНОЖИТЕЛЬ и МЕТКИ ВРЕМЕНИ. Эти показатели можно оценить в два этапа: сначала в соответствии с точностью, заданной условием δ0ΣF = δ0ΣnT; после этого с использованием выражения для определения погрешности ЭСЧ в режиме измерения временных интервалов δ0ΣnT:

δ0ΣnT = δ0 +	δ0ш	+	Tм	.	(5)
	n
			nTx

Первое слагаемое в (5) имеет тот же смысл, что и в (1): наибольшая погрешность, обусловленная неточностью установки и нестабильностью частоты встроенного в ЭСЧ образцового кварцевого генератора.

14

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Второе слагаемое определяет погрешность, обусловленную действием шумовой помехи на входе формирующего устройства. Наибольшее значение δ0ш приводится в техническом описании на ЭСЧ. Множитель n показывает, во сколько раз увеличена длительность измеряемого периода в ЭСЧ за счет деления частоты на внутренних декадных делителях частоты; иными словами, n

— число, соответствующее одному из положений переключателя ВРЕМЯ СЧЕТА — МНОЖИТЕЛЬ.

В третьем слагаемом Tм — период следования меток времени, задаваемый положением переключателя МЕТКИ; Tx = 1/Fx — период изменяемых колебаний.

Из анализа выражения (5) следует, что в отличие от режима измерения частоты, в погрешность δ0ΣnT измерения заданного интервала Tx входит шумовая составляющая δош/n, а значение погрешности δ0ΣnT уменьшается при увеличении в ЭСЧ множителя n и уменьшении периода следования меток Tм. Однако нецелесообразно сразу ставить переключатель множителя n в положение, соответствующее наибольшему возможному в ЭСЧ значению, так как увеличение n приводит к возрастанию времени счета Tтреб. Для одного замера оно равно произведению nТx. Например, для измерения периода Тx, соответствующего частоте Fx = 20 Гц, при n = 104 время одного измерения составит

Tтреб = n 1 = 104 · 1 = 500 c, Fx 20

а для проведения цикла из 20 измерений потребуется затратить около трех часов. Поэтому находят минимально допустимое значение n, при котором погрешность, вносимая ЭСЧ, не превысит допустимого значения δ0ΣF max. При этом слагаемым δ0 пренебрегают из-за его относительной малости (обычно δ0 10−7).

Тогда множитель n определяют из (5) следующим образом:

n	δош	+	Tм		(6)
				.
	δ0ΣF max		δ0ΣF maxTx

После вычисления n по формуле (6) задаются минимальным для используемого ЭСЧ периодом следования меток Tм min и округляют nдо ближайшего большего значения по шкале переключателя ВРЕМЯ СЧЕТА — МНОЖИТЕЛЬ.

15

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Завершив подготовку, выполняют цикл из 25 измерений пери-

ода Tx.

По результатам второго цикла измерений находят значения Txmax, Txmin и разность между ними Tx.

Tx = Txmax − Txmin.

Поскольку Tx является величиной, включающей в себя как нестабильность следования сигнала генератора Tнестаб за время второго цикла измерений t2, так и погрешность δ0ΣnT, с которой частотомер измеряет период, для выявления Tнестаб нужно вычислить δ0ΣnT по выражению (5), сопоставить со значением δ0Tx, определяемым по соотношению:

δ0Tx = Tx. Tср

Если выполняется условие

δ0Tx 10δ0ΣnT,

то можно принять, что в предках той точности, которую обеспечивает эксперимент,

Tнестаб = Tx.

Порядок выполнения работы

1. Ознакомиться с техническим описанием ЭСЧ.

В отчете указать возможности и основные технические данные прибора. Привести структурные схемы ЭСЧ в режимах измерения частоты и периода (структурные схемы взять из лекций).

2. Экспериментально определить нестабильность частоты колебаний генератора при работе его на максимальной частоте.

2.1.Включить генератор и получить колебания с частотой, максимальной для данного генератора.

2.2.Включить ЭСЧ. В соответствии с техническим описанием

подготовить его к работе в режиме измерения частоты. Задать максимальную точность измерения частоты, установив переключатель СЧЕТА — МНОЖИТЕЛЬ в положение «10 с».

2.3. Выполнить 25 последовательных измерений частоты, не перестраивая генератор. Результаты измерений занести в таблицу. Одновременно по часам оценить полное время измерения t1, потраченное на весь цикл из 25 измерений.

16

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

2.4. Из результатов измерения частоты выписать fmax — максимальное и fmin — минимальное значения частоты за весь цикл из 25 измерений. Найти максимальный уход частоты F:

F = fmax − fmin

и относительное значение ухода частоты

F δ0F = fср .

Значение величины δ0F обусловлено как нестабильностью частоты генератора δ0Fнест за время измерения t1, так и погрешностью, вносимой частотомером δ0ΣF:

δ0F = δ0Fнест + δ0ΣF.

2.5. Рассчитать по формуле (1) погрешность, вносимую частотомером.

2.6. Сравнить значения погрешностей δ0F и δ0ΣF и сделать вывод о значении нестабильности частоты генератора на верхнем краю диапазона. Если δ0F 10δ0ΣF, то можно считать, что

δ0F ≈ δ0Fнест.

3. Подготовиться к измерению наименьшего значения нестабильности частоты, выдаваемой используемым в работе генератором.

3.1. Принимая нестабильность частоты генератора примерно одинаковой во всем диапазоне частот, задаться максимально допустимой погрешностью, вносимой частотомером:

δ0ΣF max ≈ 0,1δ0Fнест.

3.2.Исходя из значения наибольшей допустимой погрешности δ0ΣF max, вносимой частотомером, рассчитать по выражению (4) необходимое время счета T0треб ЭСЧ при измерении им частоты генератора на нижнем краю диапазона частот.

3.3.Сравнить рассчитанное значение с максимальным временам счета, которое обеспечивает ЭСЧ в режиме измерения частоты. Сделать вывод о возможности продолжать измерения без изменения режима работы ЭСЧ. Если требуемую точность измерения обеспечить нельзя, то следует перейти к режиму измерения временных интервалов.

17

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

3.4. Перед тем как измерять период на частоте Fxmin (нижней частоте диапазона генератора, используемого в работе), необходимо подготовить ЭСЧ к работе в режиме изменения периода. Для этого нужно рассчитать и установить с помощью переключателей, расположенных на передней панели ЭСЧ, показатели указанного режима ВРЕМЯ СЧЕТА — МНОЖИТЕЛЬ и МЕТКИ ВРЕМЕНИ. Эти показатели оцениваются в соответствии с требуемой точностью измерения по выражению (6).

По этому выражению, задаваясь минимальным для используемого ЭСЧ значением периода следования меток времени Tм (см. шкалу переключателя МЕТКИ ВРЕМЕНИ), определить значение множителя n. Полученное значение n округлить до ближайшего наибольшего значения n по шкале переключателя ВРЕМЯ СЧЕТА

— МНОЖИТЕЛЬ. Например, если рассчитанное значение n = 24, то округленно принимают n = 102.

3.5. В соответствии с округленным значением n пересчитать

значение Tм:

Tм = (n δ0ΣF max − δош)Txmin.

Округлить полученное значение до ближайшего меньшего значения Tм по шкале переключателя МЕТКИ ВРЕМЕНИ.

3.6.Согласно инструкции по эксплуатации ЭСЧ, приведенной

втехническом описании, подготовить частотомер к работе в режиме измерения временных интервалов и установить рассчитанные

значения n и Tм соответственно по шкалам ВРЕМЯ СЧЕТА — МНОЖИТЕЛЬ и МЕТКИ ВРЕМЕНИ.

4. Экспериментально определить нестабильность частоты Fxmin колебаний генератора на нижнем краю его частотного диапазона.

4.1. Установить по шкале используемого в работе генератора нижнюю частоту его частотного диапазона.

Произвести с помощью ЭСЧ 25 последовательных измерений периода установленных колебаний низкой частоты. Результаты измерений занести в таблицу и одновременно по часам оценить полное время проведения измерений по второму циклу t2.

Из результатов измерений периода выписать максимальное Txmax и минимальное Txmin значения периода за весь цикл измерений и найти максимальное изменение периода Tx = Tmax −Tmin

18

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

и относительное значение изменения периода δ0Tx:

δ0Tx = Tx.

Tср

Значение δ0Tx обусловлено как нестабильностью периода частоты генератора в нижней точке его диапазона за время измерений t2, так и погрешностью, вносимой частотомером в режиме измерения периода δ0ΣnT:

δ0Tx = δ0Tнест + δ0ΣnT.

4.4. По выражению (5) вычислить предельную погрешность, вносимую ЭСЧ в режиме измерения периода:

δ0ΣnT = δ0 + δn0ш + n TTxмmin.

Рис. 3

4.5. Вычислить нестабильность частоты генератора на низкой частоте:

δ0Tнест = δ0Tx − δ0ΣnT

19

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

4.6.Построить графики изменения во времени измеренных зна-

чений частоты Fx и периода Tх колебаний.

По временной оси последовательно откладывать номера измерений в порядке возрастания от N = 1 до N = 25.

Примеры временных зависимостей Fx(t) и Tx(t) приведены на рис. 3. На временной оси отложены последовательно номера измерений.

4.7.С учетом полученных временных зависимостей Fx(t) =

=Fx(N) и Tx(t) = Tx(N) сопоставить относительные значения нестабильности частоты генератора в крайних точках его частотного диапазона — на частотах 200 кГц и 20 Гц — и проанализировать достоверность полученных результатов.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Как рассчитывают среднее квадратичное отклонение отдельного измерения?

2.Как рассчитывают среднее квадратичное отклонение среднего арифметического?

3.Как рассчитывают доверительный интервал отдельного измерения?

4.Как рассчитывают доверительный интервал среднего арифметического?

5.Когда применяют нормальный закон (распределение Гаусса)

икакой он имеет вид?

6.Когда применяют распределение Стьюдента и какой оно имеет вид?

7.Чему равен доверительный интервал при сорока измерениях

идоверительной вероятности 0,997?

8.Чему равен доверительный интервал при двадцати измерениях и доверительной вероятности 0,997?

9.Что такое вариация, чем она вызывается и как ее определить с помощью статистики?

20