Прямая на плоскости. Ч. I (90
.pdfMINISTERSTWO OBRAZOWANIQ I NAUKI ROSSIJSKOJ FEDERACII QROSLAWSKIJ GOSUDARSTWENNYJ UNIWERSITET IM. P.G. DEMIDOWA
KAFEDRA ALGEBRY I MATEMATIˆESKOJ LOGIKI
PRQMAQ NA PLOSKOSTI
˜ASTX I
METODIˆESKIE UKAZANIQ
REKOMENDOWANO
NAUˆNO-METODIˆESKIM SOWETOM UNIWERSITETA DLQ STUDENTOW, OBUˆA@]IHSQ PO NAPRAWLENI@ MATEMATIKA I KOMPX@TERNYE NAUKI I SPECIALXNOSTI KOMPX@TERNAQ BEZOPASNOSTX
QROSLAWLX, 2012
1
2
UDK 514(072)
BBK W151.0Q73
REKOMENDOWANO REDAKCIONNO-IZDATELXSKIM SOWETOM UNIWERSITETA
W KAˆESTWE UˆEBNOGO IZDANIQ. PLAN 2012 GODA
RECENZENT
KAFEDRA ALGEBRY I MATEMATIˆESKOJ LOGIKI QROSLAWSKOGO GOSUDARSTWENNOGO UNIWERSITETA IM.P.G.DEMIDOWA
SOSTAWITELX S. I. QBLOKOWA
PRQMAQ NA PLOSKOSTI.: METOD. UKAZANIQ / SOST. S.I. QBLOKOWA; QROSL. GOS. UN-T IM.P.G. DEMIDOWA.–
QROSLAWLX: QRGU, 2012.– 48S.
PREDNAZNAˆENY DLQ STUDENTOW, OBUˆA@]IHSQ PO NAPRAWLENI@ 010200.62 MATEMATIKA I KOMPX@TERNYE NAUKI (DISCIPLINA ”ANALI- TIˆESKAQ GEOMETRIQ, CIKL B3) I SPECIALXNOSTI 090301.65 KOMPX@- TERNAQ BEZOPASNOSTX (DISCIPLINA ”GEOMETRIQ”, CIKL S2), OˆNOJ FOR- MY OBUˆENIQ.
UDK 514(072)
BBK W151.0Q73
QROSLAWSKIJ GOSUDARSTWENNYJ
UNIWERSITET IM. P.G.DEMIDOWA,
2012
3
ZADANIE 1
NAPISATX OB]EE URAWNENIE PRQMOJ, IME@]EJ UGLOWOJ KO“FFI- CIENT k I OTSEKA@]EJ NA OSI ORDINAT OTREZOK, RAWNYJ b :
1: k = 3; |
b = 4; |
|
|
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9: k = − |
8 |
|
; |
b = −1; |
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|
|
|
|
|
|
|
11 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
2: k = 2; |
b = −5; |
10: k = |
|
|
|
|
9 |
; |
b = |
3 |
|
; |
||||||||||||||||||||||||||||
− |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
8 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3: k = |
1 |
; |
|
|
|
|
b = 4; |
11: k = |
4 |
; |
|
|
b = −2; |
|||||||||||||||||||||||||||
3 |
5 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
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3 |
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1 |
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|||||||||||
4: k = − |
|
|
|
; |
|
b = −2; |
12: k = |
− |
|
|
; |
b = |
|
|
|
|
; |
|||||||||||||||||||||||
2 |
|
2 |
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5: k = −5; |
|
b = |
1 |
; |
|
13: k = |
1 |
; |
|
|
b = |
16 |
; |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
2 |
5 |
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5 |
: |
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1 |
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7 |
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7 |
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8 |
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6: k = − |
|
|
|
; |
|
b = |
|
|
|
; |
14: k = |
|
|
|
; |
|
|
b = |
|
|
|
; |
|
|
||||||||||||||||
3 |
|
3 |
3 |
|
|
6 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
7: k = 8; |
|
|
5 |
; |
15: k = |
|
|
|
|
2 |
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|
|
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|
5 |
|
|||||||||||||||||||||||
b = − |
|
|
− |
|
|
; |
b = |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
16 |
3 |
9 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8: |
k = |
11 |
; |
|
b = |
4 |
; |
|
|
|
|
|
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|||||||||||
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|
9 |
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|
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|
3 |
|
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|
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NAPISATX OB]EE URAWNENIE PRQMOJ, IME@]EJ UGLOWOJ KO“FFI- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
CIENT k I PROHODQ]EJ ˆEREZ TOˆKU A(x0 ; y0) : |
|
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|
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|
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|
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16: |
k = |
5 |
; |
|
A(1; −2); |
24: |
k = |
1 |
; |
|
|
|
|
A(6; 8); |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
6 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
17: |
k = − |
6 |
; |
A(3; −5); |
25: |
k = |
3 |
; |
|
|
|
|
A(5; −1); |
|
||||||||||||||||||||||||||
7 |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
18: |
k = |
2 |
; |
|
A(−1; 2); |
26: |
k = |
8 |
; |
|
|
|
|
A(−3; −7); |
||||||||||||||||||||||||||
7 |
|
5 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
19: |
k = − |
5 |
; |
A(3; 4); |
27: |
k = |
6 |
; |
|
A(−2; 1); |
||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
13 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
20: |
k = 4; |
|
A(2; −3); |
28: |
k = |
5 |
; |
|
A(−3; 5); |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
12 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4
21: |
k = −3; |
A(5; −2); |
29: |
k |
||
22: |
k = 5; |
A(−8; 3); |
30: |
k |
||
23: |
k = |
5 |
; |
A(−3; 1); |
|
|
3 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
ZADANIE 2 |
|
=1113 ; A(1; −1);
=52 ; A(3; 8):
NAPISATX KANONIˆESKOE, PARAMETRIˆESKIE I OB]EE URAWNENIQ PRQMOJ, PROHODQ]EJ ˆEREZ TOˆKU M(x0 ; y0) PARALLELXNO WEKTORU P :
1: M(2; 3); |
P = (4; −5); |
9: |
M(4; 5); P = (−3; 8); |
|
2: M(1; −1); |
P = (2; 3); |
10: |
M(4; −4); |
P = (11; 9); |
3: M(2; −4); |
P = (1; −1); |
11: |
M(−2; 7); |
P = (−4; −6); |
4: M(8; −2); |
P = (−2; 2); |
12: |
M(4; 0); |
P = (3; −2); |
5: M(6; −5); |
P = (−1; 0); |
13: |
M(2; −3); |
P = (4; −6); |
6: M(8; −3); |
P = (0; 4); |
14: |
M(−3; 6); |
P = (1; 5); |
7: M(7; −3); |
P = (3; 4); |
15: |
M(8; 4); |
P = (3; 5): |
8: M(9; −2); |
P = (−3; 1); |
|
|
|
NAPISATX KANONIˆESKOE, PAR METRIˆESKIE I OB]EE URAWNENIQ PRQMOJ, PROHODQ]EJ ˆEREZ TOˆKI A(x1 ; y1) I B(x2 ; y2) :
16: A(1; −1); |
B(2; −3); |
24: |
A(1; 1); B(0; 4); |
17: A(−1; 2); |
B(3; 8); |
25: |
A(−1; −2); B(6; −3); |
18: A(4; −5); |
B(6; 4); |
26: |
A(−2; −4); B(−6; −1); |
19: A(3; 4); |
B(−1; −3); |
27: |
A(4; 4); B(−6; −1); |
20: A(0; 2); |
B(4; −2); |
28: |
A(−2; −4); B(4; 4); |
21: A(8; 1); |
B(−3; 4); |
29: |
A(5; 8); B(11; −3); |
22: A(1; 3); |
B(8; 10); |
30: |
A(3; −1); B(5; 6): |
23: A(7; −5); |
B(3; 2); |
|
|
5
ZADANIE 3
Oy NAPISATX OB]EE URAWNENIE PRQMOJ, OTSEKA@]EJ NA OSQH Ox I
OTREZKI, SOOTWETSTWENNO RAWNYE a I b : |
|
|
|
|
||||
1: a = 2; |
b = −1; |
9: a = −4; |
b = 7; |
|
||||
2: a = 4; |
b = 5; |
10: a = |
1 |
; |
b = 8; |
|
||
|
|
|||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3: a = −3; |
b = 2; |
11: a = |
3 |
; |
b = 3; |
|
||
5 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
||
4: a = 1; |
b = −8; |
12: a = 9; |
b = − |
|
|
; |
||
8 |
||||||||
5: a = 7; |
b = 3; |
13: a = 11; |
b = 9; |
|
||||
|
|
|
|
|
5 |
|
||
6: a = 6; |
b = 2; |
14: a = 5; |
b = − |
|
|
; |
||
2 |
||||||||
7: a = −2; |
b = 4; |
15: a = −3; |
b = |
8 |
: |
|||
3 |
||||||||
8: a = 5; |
b = 6; |
|
|
|
|
|
|
|
Oy NAPISATX OB]EE URAWNENIE PRQMOJ, OTSEKA@]EJ NA OSI Ox (ILI M ) OTREZOK a (SOOTWETSTWENNO b); ESLI ONA PROHODIT ˆEREZ TOˆKU
(x0 ; y0) :
16: a = |
−3; |
M(6; 2); |
24: b = −4; |
M(1; 3); |
||||||||
17: a = |
8; |
|
|
M(4; 5); |
25: b = |
3 |
; |
|
M(4; 10); |
|||
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
18: a = |
10; |
|
M(−15; 3); |
26: b = |
8 |
; |
M(15; 8); |
|||||
11 |
||||||||||||
19: a = |
−2; |
M(3; 5); |
27: b = 11; |
M(3; 22); |
||||||||
20: a = |
5; |
|
|
M(7; −11); |
28: b = −6; |
M(5; 10); |
||||||
21: a = |
7; |
|
|
M(6; −3); |
29: b = 3; |
M(8; −2); |
||||||
22: |
a = |
1 |
; |
|
M(5; 8); |
30: b = 4; |
M(10; −6): |
|||||
2 |
||||||||||||
23: |
a = − |
3 |
; |
M(4; 9); |
|
|
|
|
|
|||
2 |
|
|
|
|
|
|||||||
6
ZADANIE 4
DANY WER[INY TREUGOLXNIKA A(x1 ; y1); B(x2 ; y2) I C(x3 ; y3): NA-
PISATX URAWNENIQ MEDIANY, PROWEDENNOJ IZ WER[INY B; I BISSEK- TRISY WNUTRENNEGO UGLA TREUGOLXNIKA PRI WER[INE A :
1.(−1 2) (3 8); C(2; 0);
2. |
(−2; 1) |
(4 −5) |
(0 |
3); |
3. |
(1 −1) |
(2; −3) |
(5 |
1); |
4.(1 −1) (−3; 2); C(7; 7);
5.(1; −1) (3 8); C(−17; −5);
6. |
(−1 |
2) |
(2; −3) |
(9 8); |
|
7. |
(−1 |
2) |
(−3 2) |
(2 |
−2); |
8. |
(−1 |
2) |
(−3; 2) |
(7 |
−4); |
9.A(−2; 1); B(1; −1); C(4; 5);
10.(−2; 1); B(−3; 2); C(2; 5);
11.(4 5) (3 8); C(−2; 3);
12.(4 5) (7 14); C(−2; 3);
13.(4; 5); B(3; 8); C(7; 14);
14.(−2; 1); B(1; 5); C(−10; 7);
15.(3; 2); B(9; 3); C(4; 8);
16. (−5 4); B(−2 6) (−3; 7);
17.(−2 −3) (1; 1); C(2; 0);
18. (−3 −5) |
(14; 2) |
(4; 2); |
19.(−2; −1); B(6; 11); C(−1;17);
20.(3 1); B(7; 2); C(−5; 20);
21. (5; −2); B(−12; 4) (11;2);
22.(−1; −2); B(6; 21); C(−13; −14);
23.(5; 1); B(18; −8); C(−7; 5);
24.(−10; 13); B(9; −4); C(0; 15);
25.(−5; −4); B(8; −13); C(−2; −3);
26.(−15; −4); B(−13; 7); C(−12; −10);
27.(−3; 5); B(0; 20); C(7; 7);
28.(−15; 1); B(−7; 15); C(−8; −3);
29.(−5; 8); B(2; 11); C(−11;22);
30.A(8; 3); B(13; 9); C(−4; 13):
7
ZADANIE 5
CDANY WER[INY TREUGOLXNIKA A(x1 ; y1); B(x2 ; y2) I
A;(x3 ; y3): NAPISATX URAWNENIQ MEDIANY, PROWEDENNOJ IZ WER[INY |
|||||
I PERPENDIKULQRA, OPU]ENNOGO IZ WER[INY B NA STORONU AC : |
|||||
1. |
(−5 |
4); |
B(−2 |
6) |
(−4; 10); |
2. |
(−2 |
−3) |
(1 |
1) |
(3 7); |
3.(−3 −5) (8 2); C(2; 4);
4.(−2; −1); B(6; 11); C(−2;17);
5.(3 1); B(7; 2); C(−5; 8);
6.(5; −2); B(−8 3); C(6; 5);
7.(−1; −2); B(6; 11); C(−10; −5);
8.(5; 1); B(18; −8); C(−6; 6);
9.A(−10 13); B(9; −4); C(1; 14);
10.(−5; −4); B(8; −13); C(−2; −3);
11.(−15; −4); B(−13; 7); C(−11; −9);
12.(−3; 5); B(6; 4); C(2; 2);
13.(−15; 1); B(−7; 15); C(−5; −3);
14.(−5; 8); B(2; 11); C(−10; 21);
15.(8 3); B(13; 9); C(−3; 13);
16.(1; −1) (2 −3); C(4; 5);
17. (−1; 2) (3 8) (10 −5);
18.(4 −5); B(6 4); C(10; −2);
19.(3 4) (−1; −3); C(4 −6);
20. (0 2) (4; −2) (−2; 3);
21.(8 1) (−3; 4); C(5; 12);
22.(1 3); B(8; 10); C(6; 5);
23.(7 −5); B(3; 2); C(−1; 0);
24.(1; 1); B(0; 4); C(5; 7);
25.(−1 −2) (6; −3); C(4; 5);
26.(−2; −4); B(−6; −1); C(5; 3);
27.(4; 4); B(−6; 1); C(8; −5);
28.(−2; −4); B(4; 4); C(7; 1);
29.(5; 1); B(7; 6); C(10; −1);
30.A(−2; −3); B(0; 5); C(3; −5):
8
ZADANIE 6
˜EREZ TOˆKU M(x0 ; y0) PROWESTI PRQMU@ TAK, ˆTOBY PLO]ADX TREUGOLXNIKA, OBRAZOWANNOGO “TOJ PRQMOJ S OSQMI KOORDINAT, BYLA RAWNA s :
1: M(4; −3); s = 3; |
|
9: M(−2; −2); s = 1; |
||||
2: M(2; −2); |
s = 1; |
|
10: M(3; 2); |
s = 16; |
||
3: M(−3; 4); |
s = 8; |
|
11: M(3; 6); |
s = 12; |
||
4: M(5; −6); |
s = |
15 |
; |
12: M(2; 5); |
s = 16; |
|
2 |
||||||
5: M(2; −3); s = |
3 |
; |
|
13: M(3; −1); s = 2; |
||
|
|
|||||
2 |
|
|||||
6: M(1; 5); |
s = |
2 |
; |
14: M(1; 3); s = 2; |
|
|
|||||
|
|
3 |
|
15: M(3; −2); s = 4: |
|
7: |
M(5; 2); |
s = 16; |
|||
8: |
M(4; 1); s = 9; |
|
|
||
Ax NAPISATX URAWNENIE PRQMOJ, PARALLLELXNOJ PRQMOJ
+ By = 0 I OBRAZU@]EJ WMESTE S OSQMI KOORDINAT TREUGOLXNIK, PLO]ADX KOTOROGO RAWNA s :
16: 3x + 4y = 0; |
s = 6; |
24: 2x − 5y = 0; s = 5; |
|||
17: |
2x − 3y = 0; |
s = 3; |
25: |
5x + 4y = 0; |
s = 10; |
18: |
3x + 2y = 0; |
s = 12; |
26: |
5x − 6y = 0; |
s = 15; |
19: |
9x − y = 0; |
s = 2; |
27: |
3x + 8y = 0; |
s = 12; |
20: |
x − y = 0; s = 8; |
28: |
7x − 2y = 0; |
s = 28; |
|
21: 2x + y = 0; s = 9; |
29: 9x + 2y = 0; s = 4; |
||||
22: |
13x + 2y = 0; s = 13; |
30: |
10x − 3y = 0; |
s = 15: |
|
23: 3x − 2y = 0; |
s = 3; |
|
|
|
|
9
ZADANIE 7
DANY URAWNENIQ A1x + B1y + C1 = 0; A2x + B2y + C2 = 0 DWUH STORON TREUGOLXNIKA I URAWNENIE A3x + B3y + C3 = 0 MEDIANY, WYHODQ]EJ IZ WER[INY, NE LEVA]EJ NA PERWOJ STORONE. SOSTAWITX URAWNENIE TRETXEJ STORONY TREUGOLXNIKA:
1. x − 2y + 3 = 0; 4 − y − 2 = 0; 3x + y − 19 = 0;
2. 2 |
− 5 − 1 = 0; |
x + 3y − 6 = 0; 3x + 20y − 51 = 0; |
|
3. 4 |
− 3 |
− 11 = 0; 5x − 2y − 12 = 0; 6x − y − 27 = 0; |
|
4. 2 |
− 7y + 2 = 0; |
+ − 8 = 0 2x − y + 14 = 0; |
|
5. 2 |
+ y − 1 = 0; 2x − y − 3 = 0; 14x − 5y − 31 = 0; |
||
6. 3 |
− 2 |
+ 7 = 0; |
7 + 11y − 15 = 0; 10x + 9y − 55 = 0; |
7. 9 |
− 2 |
− 46 = 0; x − 2 − 14 = 0 3x + 10 − 10 = 0; |
|
8.7x − 4y − 5 = 0; 10x + y − 34 = 0; 13x + 6y − 16 = 0;
9.x + y − 2 = 0; x + 2y − 4 = 0; 3x + 4y − 6 = 0;
10.3x + 11y − 35 = 0; 11x + 3y − 91 = 0; 19x − 5y − 35 = 0;
11.x − y + 2 = 0; 2x − 5y + 13 = 0; x + y − 11 = 0;
12. |
7 + |
4y − 29 = 0; |
5x + 8y + 5 = 0; x + 4y + 1 = 0; |
||||||
13. |
3x + |
− |
4 = 0; 3x − 2y − |
1 |
= 0; |
x − y + 2 = 0; |
|||
14. x + 7y + |
15 |
= |
0; |
7 − 5y − 3 = 0; 5 − y − 15 = 0; |
|||||
15. |
3x + |
4y + 22 = 0; |
− − |
2 |
= 0; |
11x − 18y − 1 = 0: |
|||
16. |
x − 7y + |
13 |
= |
0 |
6x − y − |
45 = 0; 25x − 11y − 85 = 0; |
|||
17. |
4x − |
3y − 1 |
= |
0; |
x + − 9 = 0; |
y = 1; |
|||
18. |
− |
+ 6 = 0 |
7 |
+ 3 − 18 |
= 0 |
x + y − 2 = 0; |
|||
19.− y + 7 = 0; 7x + 2y − 23 = 0; 2x + y − 4 = 0;
20. |
+ 5 |
− 23 |
= 0 |
12x + 7y − 11 = 0; 11x + 2y − 41 = 0; |
|
21. x − 2 |
+ 15 |
= 0; |
+ − 6 = 0; |
x + 7y − 30 = 0; |
|
22. 3 |
− |
+ 2 = 0 |
3 + y + 16 = 0; |
9 + 7y + 16 = 0; |
|
23. |
2x − y − |
8 = 0; |
7x + 4y − 43 |
= |
0; |
x + y − 10 = 0; |
|||||
24. |
− + 7 |
= 0 |
9 |
+ 5 − 7 = 0; |
x + y + 1 = 0; |
||||||
25. x + y − 8 |
= 0; |
7x − 5y + 16 = 0; |
x − y + 2 = 0; |
||||||||
26. |
2 + − |
19 |
= |
0 |
5 − − 37 |
= |
0 |
|
x = 7; |
− 13 = 0; |
|
27. |
4x − y − |
23 |
= |
0; |
5x + y − 40 |
= |
0; |
2x + |
|||
28. x − y + 8 |
= 0; |
9x + 4y − 19 = 0; |
7x + 6y − 9 = 0; |
||||||||
29. |
2 − y + |
4 = 0; |
13 + 4 − 37 |
= |
0 |
3 + |
2 − 1 = 0; |
||||
30. |
5x + 3y − 9 |
= |
0; |
7x − 4y − 29 |
= |
0; |
2x − |
7y + 21 = 0: |
|||
10
ZADANIE 8
DANY DWE WER[INY TREUGOLXNIKA A(x1 ; y1) I B(x2 ; y2); A TAKVE TOˆKA PERESEˆENIQ EGO MEDIAN O(x3 ; y3): NAPISATX URAWNENIQ STORON TREUGOLXNIKA:
1. A(4; 5); B(8; 3); O 103 ; 4 ;
2. |
(1 |
−2); |
B(3 |
8) |
(−4; 3); |
3. |
(5 |
1) |
(−2 |
3) |
(3; 6); |
4.(8; 1); B(−3; 4); O(−1 3);
5.(−6 −1); B(4; 3); O(1; 3);
6. |
(−2 7) |
(3 1) |
(3 2); |
||
7. |
(−3; 2) |
(2 |
5) |
(2 |
2); |
8. |
(4 −5) |
(6 |
4) |
(6 |
−1); |
9.A(6; −3); B(3; 4); O(3; 1);
10.(−6; −1); B(−4; 5); O(−3; −1);
11.(7 −5); B(3; 2); O(3; −1);
12. (6; 4); B(8; 10) |
(9 3); |
13.(11; 9); B(5; 1); O(6; 2);
14.(9 −2); B(5; 11); O(5; 5);
15.(4 5) (6; 0); O(4; 2);
16.A(4; 4); B(−6; 1); O(2; 0);
17.A(−2; −4); B(4; 4); O 3; 13 ;
18.A(5; 1); B(7; 6); O 223 ; 2 ;
19. |
A(−2; −3); B(0; 5); |
O |
1 |
; −1 ; |
|
||||||||||||||
3 |
; |
||||||||||||||||||
20. |
A(−2; 1); |
B(1; 5); O |
|
− 3 |
|
3 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 ; 13 |
|
|
||||||||
|
A(3; 2); B(9; 3); O |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
21. |
3 |
|
|
|
3 |
|
|
; |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
16 ; 13 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
A(−1; 2); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|||
22. |
B(3; 8); O |
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
4 ; 10 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
A(−2; 1); |
B(4; −5); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
23. |
O |
3 ; −3 |
; |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|||