Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Владимирский государственный университет им. Столетовых

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Стабилизация динамических систем с использованием свойства пассивности (120

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

297.07 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Функцию V3(z1,z2,z3) = V3(x1,x2−α1(x1),x3−α2(x1,x2)) = = V˜3(x1,x2,x3) > 0 можно рассматривать как функцию запаса для

пассивной системы
x˙1 = x2 + f1(x1),
x˙2 = x3 + f2(x1,x2),
x˙3 = x4 + f3(x1,x2,x3) =	(3.42)
= α3(x1,x2,x3) + f3(x1,x2,x3) + z4,
y = z3 = x3 − α2(x1,x2),

где z4 — вход системы. Из соотношения (3.41) следует, что для производной по времени функции V˜3(x1,x2,x3) в силу системы (3.42) справедлива оценка

V˜˙3 ≤ z3z4 = yz4.

Шаги 4 — (n−1) метода обхода интегратора аналогичны шагу

3 и основаны на использовании функций

= 4,n − 1,

Vi(z1,...,zi) = Vi−1(z1,...,zi−1) +

zi , i

где zi = xi − αi−1(x1,...,xi−1), и выборе функций

αi−1(x1,...,xi−1), i =

5,n.

Шаг n. Рассмотрим функцию

V (z

,...,z

) = V

(z ,...,z

) +

> 0,

(3.43)

n−1

n 1

2 n

где zn = xn − αn−1(x1,...,xn−1). Производная по времени функции Vn(z1,...,zn) в силу системы (3.36) имеет вид

n−1	n−1

V˙n = − cizi2	+ zn−1zn + znz˙n = − cizi2 + zn−1zn+
i=1	i=1

+zn u+fn(x)−

n−1 ∂αn			n−1
i=1 ∂x−i	1 x˙i = − i=1 cizi2+zn zn−1+u+fn(x)−

		n−1 ∂αn		xi+1	+ fi(x1,...,xi)	.
	− i=1		∂x−i 1	xi+1	+ fi(x1,...,xi)	.

						31

Выбрав

u = −zn−1 − fn(x)+

n−1		∂α	n−1		xi+1 + fi(x1,...,xi) + v,	(3.44)
+			n−1		xi+1 + fi(x1,...,xi) + v,	(3.44)

i=1		∂xi
i=1
где v R — новое управление системы, получим
				n−1

	V˙n = −				cizi2 + znv ≤ znv.	(3.45)
				i=1
Отметим, что соотношения
z1 = x1, z2 = x2 − α1(x1), z3 = x3 − α2(x1,x2), ...,
			..., zn = xn − αn−1(x1,...,xn−1)			(3.46)

являются гладкой заменой переменных, определенной глобально. В переменных zi, i = 1,n, система (3.36) c управлением (3.44) примет вид

z˙1 = −c1z1 + z2,
z˙2 = −c2z2 − z1 + z3,	(3.47)
···	(3.47)

z˙n−1 = −cn−1zn−1 − zn−2 + zn, z˙n = −zn−1 + v,

где z = (z1,...,zn)т.

В качестве кандидатуры на роль функции запаса для системы (3.47) возьмем функцию Vn(z) > 0, имеющую вид (3.43). Для производной по времени функции Vn(z) в силу системы (3.47) справедлива оценка (3.45). Следовательно, система (3.47) с выходом y = zn пассивна.

Далее, если y(t) = zn(t) ≡ 0 и v = v(t) ≡ 0, то из соотношений (3.47) следует, что z(t) ≡ 0. Таким образом, система (3.47) с указанным выходом наблюдаема в нулевом состоянии. Заметим, что функция Vn(z) > 0, имеющая вид (3.43), является бесконечно большой при z → ∞. Тогда согласно теореме 3.5 управление

v = −cny = −cnzn, где cn > 0 — произвольная положительная константа, глобально стабилизирует положение равновесия z = 0 замкнутой системы (3.47). Следовательно, в силу соотношений (3.46) и αi(0) = 0, i = 1,n, управление

u = −(xn−1 − αn−2(x1,...,xn−2)) − fn(x)+

n−1 ∂α
	n−1
+ i=1		xi+1 + fi(x1,...,xi) −
+ i=1	∂xi	xi+1 + fi(x1,...,xi) −
		− cn(xn − αn−1(x1,...,xn−1))

глобально стабилизирует положение равновесия x = 0 замкнутой системы (3.36).

Пример 3.6. Рассмотрим уравнения движения однозвенного робота-манипулятора, имеющие вид (2.22).

В примере 3.1 показано, что при управлении u = u(t) ≡ 0 система (2.22) асимптотически устойчива в точке x = 0. Рассмотрим задачу глобальной стабилизации системы (2.22), т. е. задачу нахождения такой локально липшицевой функции k(x), k(0) = 0, что при u = k(x) положение равновесия x = 0 замкнутой системы (2.22) асимптотически устойчиво в целом. Применим для решения указанной задачи стабилизации метод обхода интегратора.

Шаг 1. Рассмотрим функцию

V1(z1) = 12z12,

где z1 = x1. Для удобства используем далее также обозначение z2 = x2 − α1(x1), где α1(·) — некоторая гладкая функция. Производная по времени функции V1(z1) в силу системы (2.22) имеет

вид

V˙1 = z1z˙1 = z1x2 = z1(z2 + α1(x1)).

Выбрав α1(x1) = −c1z1, где c1 > 0 — произвольная положительная константа, получим

V˙1 = −c1z12 + z1z2.

Шаг 2. Рассмотрим функцию

V2(z1,z2) = V1(z1) + 12z22.

Для удобства используем далее обозначение z3 = x3 − α2(x1,x2), где α2(·) — некоторая гладкая функция своих аргументов. Производная по времени функции V2(z1,z2) в силу системы (2.22) имеет вид

V˙2 = −c1z12 + z1z2 + z2z˙2 =

∂α1

Mgl

= −c1z12 + z1z2 + z2

x3 −

sinx1 −

x1 −

x˙1 =

∂x1

= −c1z12 + z2 z1 +

α2(x1

,x2)−

−

Mgl

sinx1 −

+ c1x2

Выбрав

+ I

sinx1 + I x1 − c1x2

α2

(x1,x2) = k −c2z2 − z1

Mgl

где c2 > 0 — произвольная положительная константа, получим

V˙2 = −c1z12 − c2z22 +

z2z3.

Шаг 3. Рассмотрим функцию

V3(z1,z2,z3) = V2(z1,z2) +

Для

удобства используем

обозначение

z4 = x4 −

−α3(x1,x2,x3), где α3(·) — некоторая гладкая функция своих аргументов. Производная по времени функции V3(z1,z2,z3) в силу системы (2.22) имеет вид

V˙3 = −c1z12 − c2z22 +

+ z3z˙3 =

z2z3

∂α2

= −c1z12 − c2z22 +

z2z3

+ z3 x4 −

x˙1 −

x˙2 =

∂x1

∂x2

= −c1z12 − c2z22 + z3

+ α3(x1,x2,x3)+

z2 + z4

Mgl

c2c1 + 1 −

−

x2 cosx1

− (c1 + c2)

sinx1

−

− (c1 + c2)x1 + (c1 + c2)x3 .

Выбрав

,x3) = −c3z3 − I z2 − k

c2c1 + 1 − I x2+

α3(x1

,x2

Mgl

x2 cosx1

+ (c1 + c2)

sinx1+

+ (c1 + c2)x1 − (c1 + c2)x3,

где c3 > 0 — произвольная положительная константа, получим

V˙3 = −c1z12 − c2z22 − c3z32 + z3z4.

Шаг 4. Рассмотрим функцию

V4(z1,z2,z3,z4) = V3(z1

,z2,z3) +

z4 > 0.

Производная по времени функции V4(z1,z2,z3,z4) в силу системы (2.22) имеет вид

V˙4 = −c1z12 − c2z22 − c3z32 + z3z4 + z4z˙4 =

= −c1z12 − c2z22 − c3z32 + z3z4 + z4

−

x4 +

(x1 − x3)−

∂α3

−

x˙1 −

x˙2 −

x˙3 =

−c1z12 − c2z22 − c3z32+

∂x1

∂x2

∂x3

+ z4 z3 + J

− J x4

+ J (x1

− x3) − ∂x1 x2+

∂α3

+ ∂x2

sinx1 +

(x1 − x3) − ∂x3 x4

∂α3

Mgl

∂α3

Тогда управление

u = J −c4z4 − z3 + J x4 − J (x1 − x3) + ∂x1 x2−

∂α3

−∂x2

sinx1 +

(x1 − x3) + ∂x3 x4

∂α3

Mgl

∂α3

где c4 > 0 — произвольная положительная константа, глобально стабилизирует положение равновесия x = 0 замкнутой системы (2.22).

4. СТАБИЛИЗАЦИЯ ПАССИВНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ ПРИ НАЛИЧИИ ВОЗМУЩЕНИЙ

Рассмотрим задачу стабилизации пассивной динамической системы (2.3) в присутствии возмущений на входе и на выходе, т. е. задачу стабилизации системы

x˙ = f(x,u˜) = f(x,u + d1),

(4.1)

y˜ = y + d2 = h(x) + d2,

где u˜ Rm — возмущенный вход системы; y˜ Rm — возмущенный выход системы; u Rm — управление; d1 = d1(t) и d2 = d2(t) — некоторые неизвестные непрерывные и ограниченные на интервале [0,+∞) функции.

Предварительно сформулируем соответствующие определения и критерии устойчивости нелинейных динамических систем при наличии возмущений.

4.1. Устойчивость динамических систем по отношению ко входу

Рассмотрим нелинейную динамическую систему, имеющую

вид	(4.2)
x˙ = f(x,d),

где x Rn — вектор состояния системы; d Rm — вход системы, cоответствующий действующим на систему возмущениям; отображение f : Rn × Rm → Rn локально липшицево, f(0,0) = 0.

Определение 4.1. Если найдутся такие функции β(·,·) класса KL и γ(·) класса K, что для любого x0 Rn и произвольной непрерывной и ограниченной на интервале [0,+∞) функции d = d(t) на входе решение x(t) системы (4.2), удовлетворяющее начальному условию x(0) = x0, определено на интервале [0,+∞) и при всех t ≥ 0 справедливо неравенство

x(t) ≤ β( x0 ,t) + γ( sup d(τ) ),

0≤τ≤t

то говорят, что динамическая система (4.2) обладает свойством устойчивости по отношению ко входу d.

Замечание 4.1. Если система (4.2) обладает свойством устойчивости по отношению ко входу d, то 1) при d = d(t) ≡ 0 система асимптотически устойчива в целом в точке x = 0; 2) при произвольной непрерывной и ограниченной на интервале [0,+∞) функции d = d(t) на входе системы для любого начального условия x(0) = x0 Rn решение x(t) системы определено и ограничено на интервале [0,+∞); если дополнительно d(t) → 0 при t → +∞, то для любого начального условия x(0) = x0 Rn имеем x(t) → 0 при t → +∞.

Приведем достаточные условия устойчивости динамической системы (4.2) по отношению ко входу d.

Теорема 4.1. Пусть существует непрерывно дифференцируемая, положительно определенная и бесконечно большая приx → ∞ функция V (x), производная по времени которой в силу системы (4.2) при всех x Rn и d Rm удовлетворяет неравенству

V˙ (x) =	∂V (x)	f(x,d) ≤ −α1( x ) + ρ( d ),
	∂x

где α1(·) и ρ(·) — некоторые функции класса K∞ и K соответственно. Тогда система (4.2) обладает свойством устойчивости по отношению ко входу d.

Далее сформулируем следующее определение.

Определение 4.2. Если найдутся такие функции α(·) класса K∞, β(·,·) класса KL и γ(·) класса K, что для любого x0 Rn и произвольной непрерывной и ограниченной на интервале [0,+∞)

функции d = d(t) на входе решение x(t) системы (4.2), удовлетворяющее начальному условию x(0) = x0, определено на интервале [0,+∞) и при всех t ≥ 0 справедливо неравенство

α( x(t) ) ≤ β( x0 ,t) + γ( d(s) )ds,

то говорят, что динамическая система (4.2) обладает интеграль-

ным свойством устойчивости по отношению ко входу d.

Замечание 4.2. Если система (4.2) обладает интегральным свойством устойчивости по отношению ко входу d, то 1) при d = d(t) ≡ 0 система асимптотически устойчива в целом в точке x = 0; 2) при произвольной непрерывной и ограниченной на

интервале [0,+∞) функции d = d(t) на входе системы, удовлетворяющей условию

+∞

γ( d(s) )ds < +∞,

где функция γ(·) взята из определения 4.2, для любого начального

условия x(0) = x0 Rn имеем x(t) → 0 при t → +∞.

Приведем достаточные условия того, что динамическая система (4.2) обладает интегральным свойством устойчивости по отно-

шению ко входу d.

Теорема 4.2. Пусть существует непрерывно дифференцируемая, положительно определенная и бесконечно большая приx → ∞ функция V (x), производная по времени которой в силу системы (4.2) при всех x Rn и d Rm удовлетворяет неравенству

V˙ (x) =	∂V (x)	f(x,d) ≤ −α2( x ) + ρ( d ),
	∂x

где α2(·) — некоторая непрерывная положительно определенная функция, а ρ(·) — некоторая функция класса K. Тогда система (4.2) обладает интегральным свойством устойчивости по отношению ко

входу d.

Замечание 4.3. Если система (4.2) обладает свойством устойчивости по отношению ко входу d, то она обладает и интегральным свойством устойчивости по отношению ко входу d. Обратное в общем случае неверно.

Теорема 4.3. Пусть система (4.2) асимптотически устойчива в целом в точке x = 0 при d = d(t) ≡ 0 и существует непрерывно дифференцируемая, положительно определенная и бесконечно большая при x → ∞ функция V (x), производная по времени которой в силу системы (4.2) при всех x Rn и d Rm удовлетворяет неравенству

V˙ (x) = ∂V∂x(x)f(x,d) ≤ ρ( d ),

где ρ(·) — некоторая функция класса K. Тогда система (4.2) обладает интегральным свойством устойчивости по отношению ко входу d.

Рассмотрим систему (4.2) с некоторым фиксированным выходом, имеющую вид

x˙ = f(x,d),

(4.3)

y = h(x),

где y Rp — выход системы; отображение h : Rn → Rp непрерыв-

но, h(0) = 0.

Определение 4.3. Динамическую систему (4.3) называют локально детектируемой в нулевом состоянии, если существует окрестность D0 Rn точки x = 0, такая, что для любого решения x(t) системы (4.3) при d = d(t) ≡ 0, удовлетворяющего услови-

ям x(0) = x0 D0	n	(	) =	( (	)) ≡ 0	(	) → 0	при
	и	y t		h x t		, имеем x t		при

t → +∞. При D0 = R систему (4.3) называют детектируемой в

нулевом состоянии.

Замечание 4.4. (Локальная) наблюдаемость в нулевом состоянии динамической системы, имеющей вид (4.3), является частным

случаем ее (локальной) детектируемости в нулевом состоянии. Теорема 4.4. Пусть существует выход, с которым система (4.3)

детектируема в нулевом состоянии и является диссипативной с положительно определенной и бесконечно большой при x → ∞ функцией запаса V (x) и функцией расхода w(y,d) = −α3( y ) + + ρ( d ), где α3(·) — некоторая непрерывная положительно определенная функция, а ρ(·) — некоторая функция класса K. Тогда система (4.3) обладает интегральным свойством устойчивости по отношению ко входу d.

Рассмотрим систему (4.3), где y Rm.

Теорема 4.5. Пусть 1) система (4.3) строго пассивна по вы-

ходу с положительно определенной и бесконечно большой при
	в нулевом со-
x → ∞ функцией запаса V (x) и детектируема m		справедливо
стоянии; 2) для некоторого l N при всех y R
неравенство
yт ρ(y) ≥ c y 2l,		(4.4)

где функция ρ(·) взята из определения строгой пассивности по выходу; c > 0 — некоторая положительная константа. Тогда система (4.3) обладает интегральным свойством устойчивости по отношению ко входу d.

Поскольку согласно условиям теоремы система (4.3) строго пассивна по выходу, то для производной по времени функции

запаса V (x) в силу системы (4.3) при всех x Rn и d Rm справедливо неравенство

V˙ = ∂V∂x(x)f(x,d) ≤ yтd − yт ρ(y),

где yт ρ(y) > 0 при любом y =. 0Далее с учетом неравенства (4.4) и неравенства Юнга

1ap + ε

1 p

R+,

R+, p > 1,

ε > 0 (4.5)

≤

p−1

получим следующую оценку, справедливую при всех x Rn, d Rm и произвольном ε > 0:

V˙ ≤ −с y 2l + yтd ≤ −с y 2l + y d ≤

2l + 1

с y

2l + ε

2l−1

≤ −

= − с −

y 2l + ε

2l−1

= −α3( y ) + ρ( d2l ),

где l

натуральное число;

α3(s) = (

−1/ε)s при

— некоторое1

ε > 1/c и ρ(s) = ε2l−1 s2l−1 , s ≥ 0, являются функциями класса K∞. Заметим, что согласно условиям теоремы функция V (x) является положительно определенной и бесконечно большой приx → ∞. Дополнительно система (4.3) детектируема в нулевом состоянии. Тогда в силу теоремы 4.4 система (4.3) обладает интегральным свойством устойчивости по отношению ко входу d.

4.2. Cтабилизация пассивных динамических систем при наличии возмущений на входе

Рассмотрим нелинейную динамическую систему (4.1) при d2 = d2(t) ≡ 0, имеющую вид

x˙ = f(x,u˜) = f(x,u + d1),

(4.6)

y˜ = y = h(x),

где функция h(·) локально липшицева.

Теорема 4.6. Пусть 1) система (2.3), совпадающая с системой (4.6) при d1 = d1(t) ≡ 0, строго пассивна по состоянию с положительно определенной и бесконечно большой при x → ∞

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]