Ряды (110

Утверждено научно-методическим советом математического факультета 17 февраля 2011 г., протокол № 0500-02

Рецензент канд. физ.-мат. наук, доц. С.П. Зубова

Учебно-методическое пособие подготовлено на кафедре уравнений в частных производных и теории вероятностей математического факультета Воронежского госуниверситета.

Рекомендуется для студентов 1–2-го курсов очной формы обучения химического факультета.

Для специальностей: 020101 – Химия; 020900 – Химия, физика и механика материалов

1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

Определение. Пусть дана числовая последовательность a1, a2 , a3 , …, an , … Выражение вида

n=1

называется числовым рядом.

Определение. Числа a1, a2 , a3 ,…, an ,… называют членами ряда, an –

общим членом ряда.

Определение. Суммы конечного числа первых членов ряда

S1 = a1, S2 = a1 + a2 , S3 = a1 + a2 + a3 , …, Sn = a1 + a2 + a3 +…+ an ,…

называют частичными суммами ряда (1). Sn – n -ая частичная сумма. Частичные суммы ряда образуют числовую последовательность час-

тичных сумм {Sn}∞n=1 .

Определение. Ряд (1) называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм сходится к какому-нибудь конечному числу S, которое называется суммой ряда (1). Символически это записывается так:

∞

S = a1 + a2 + a3 +…+ an +… или S = ∑an. Другими словами, ряд (1) сходит-

n=1

ся, если существует и конечен lim Sn = S.

n→∞

Определение. Ряд (1) называется расходящимся, если lim Sn не суще-

n→∞

ствует или lim Sn = ∞.

n→∞

Такой ряд не имеет суммы.

Рассмотрим некоторые свойства числовых рядов.

Свойство 1. Если сходится ряд a1 + a2 + a3 +…, то сходится и ряд am+1 + am+2 + am+3 +…, получаемый из данного ряда отбрасыванием первых

S1 ± S2 .

3

Признак Д’Аламбера. Пусть дан ряд (2) (un ≥ 0 (n N )). Если су-

∞

знакоположительный ряд ∑un сходится или расходится в зависимости от

n=1

того, сходится или расходится интеграл ∞∫ f (x)dx (N ≥1).

N

Знакочередующиеся ряды

Рассмотрим ряды, члены которых имеют чередующиеся знаки, т. е.

∞

ряды вида ∑(−1)n−1 un =u1 −u2 +u3 −u4 +... +(−1)n−1 un +..., где un > 0

n=1

n N.

Признак сходимости знакочередующегося ряда (признак Лейбни-

ца). Знакочередующийся ряд сходится, если абсолютные величины его чле-

нов представляют собой монотонно убывающую последовательность, а общий член un стремится к нулю, т. е. если выполняются следующие два усло-

вия: 1) u1 >u2 >u3 >…>un >… и 2) limun = 0.

n→∞

Возьмем n -ю частичную сумму сходящегося знакочередующегося

ряда, для которого выполняется признак Лейбница:

Sn =u1 −u2 +u3 −u4 +... +(−1)n−1 un .

Пусть Rn −n -й остаток ряда. Его можно записать как разность между

суммой ряда S и n -й частичной суммой Sn , т. е. Rn = S − Sn . Нетрудно видеть, что

Rn =(−1)n (un+1 −un+2 +un+3 −un+4 +...).

Величина Rn оценивается с помощью неравенства Rn <un+1 . А сумма

∞

ряда S = ∑(−1)n−1 un удовлетворяет неравенствам 0 < S <u1 .

n=1

Остановимся теперь на некоторых свойствах знакопеременных рядов

(т. е. рядов, содержащих бесконечно много и отрицательных, и положи-

тельных членов).

Знакопеременный ряд u1 +u2 +u3 +... +un +... сходится, если сходится ряд u1 + u2 + u3 +... + un +...

5

∞

В этом случае исходный ряд ∑un называется абсолютно сходящимся.

n=1

∞

Сходящийся ряд ∑un называется условно сходящимся, если ряд

n=1

∞

∑ un расходится.

n=1

∞

Если ряд ∑un абсолютно сходится, то ряд, полученный из него после

n=1

любой перестановки его членов, абсолютно сходится и имеет ту же сумму,

что и первоначальный ряд.

∞

Если ряд ∑un условно сходится, то при перестановке бесконечного

n=1

множества его членов сумма ряда может измениться. В частности, при соответствующей перестановке членов условно сходящегося ряда можно пре-

вратить его в расходящийся ряд.

Абсолютно сходящиеся ряды с суммами S1 и S2 можно почленно складывать (вычитать). В результате получается абсолютно сходящийся

если n = 4, то u4 =100014 ; … Ряд можно записать в виде

111 +1012 +10013 +100014 +...

Пример 2. Найти общий член ряда 12 + 232 + 253 + 274 +...

Решение.

Числители образуют арифметическую прогрессию 1, 3, 5, 7, …; n -й член прогрессии находим по формуле an = a1 + d (n −1). Здесь a1 =1, d = 2 ,

6

Вообще нужно иметь в виду, что несколько первых членов ряда полностью ряд не определяют.

Пример 3. Исследовать сходимость ряда

Решение.

Данный ряд составлен из членов бесконечно убывающей геометриче-

ской прогрессии и поэтому сходится. Найдем его сумму. Здесь b1 = 23 , q = 12

(знаменатель прогрессии). Следовательно,

S =1−b1q =1−2132 = 43 .

гармонический ряд).

Решение.

Воспользуемся интегральным признаком сходимости знакоположительных рядов.

Исследуем на сходимость несобственный интеграл.

Решение.

Применим интегральный признак Коши:

Значит, данный ряд сходится по признаку Лейбница.

Пример 11. Исследовать сходимость ряда 1 −1 +1 −... +(−1)n−1 +...

Решение.

Общий член ряда не стремится к нулю, поэтому ряд расходится.

Этот ряд есть бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и, следовательно, сходится. Значит, и данный ряд сходится, причем абсолютно.

Пример 13. Найти произведение абсолютно сходящихся рядов

9