Механические волны (96

1. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ

Волной называется процесс распространения возмущений некоторой физической величины в пространстве (например, распространение избыточного давления в жидкости или газе, смещение частиц в твердом теле). Наиболее часто встречаются упругие волны (волны в упругой среде), волны на поверхности жидкости и электромагнитные волны.

Возмущение в общем случае является функцией координат x, y, z и времени t : ξ = f (x, y, z, t ). Эта функция дает полную

информацию о волне.

Если возмущение является векторной величиной, то в случае совпадения направления возмущения и направления распространения волны, волна называется продольной. В поперечной волне возмущения перпендикулярны направлению их распространения. Так, в жидкостях и газах упругие силы возникают только при сжатии и не возникают при сдвиге, поэтому там существуют только продольные волны, в твердых телах возможны продольные и поперечные волны, а также комбинации их. Волны на поверхности воды являются сочетанием продольной и поперечной волн.

Поперечную волну называют линейно- или плоскополяризованной, если возмущения находятся в одной плоскости, проходящей через направление распространения. Например, волна вдоль веревки, один конец которой периодически колеблется вдоль прямой, перпендикулярной направлению распространения волны (рис. 1), является плоскополяризованной.

Основное свойство всех волн состоит в том, что они могут переносить энергию без переноса вещества.

Волновые процессы присущи многим областям физики, поэтому их изучение очень важно.

3

Так как фаза Φ может быть представлена как

Φ = −k x − ωk t ,

то из этого и (1) следует, что скорость гармонической волны

называется фазовой скоростью, поскольку определяет скорость распространения определенного значения фазы. Из Φ = const следует

dΦ = 0

и

ddxt = ωk = υ.

Длиной волны λ называют путь, который проходит возмущение (состояние с определенной фазой) за время, равное периоду колебаний T:

Точки среды, находящиеся на расстоянии λ, колеблются одинаково, т. е. в одной фазе. Из (7) и (6) следует, что волновое число

Волны в пространстве. Возмущение, распространяясь в пространстве, занимает некоторую поверхность. Эта поверхность, двигающаяся со скоростью волны, во всех точках которой возмущение имеет одно и то же значение фазы, называют фронтом волны. Положение фронта волны в некоторый момент времени называют волновой поверхностью. Волновая поверхность неподвижна, во всех ее точках возмущения совершают колебания синфазно (с одинаковой фазой).

Плоская волна. Волна, фронт которой является плоскостью, называется плоской. Формула плоской гармонической волны имеет вид

где k – волновой вектор, модуль которого равен волновому числу k, а направление совпадает с направлением движения возмущения; r – радиус-вектор точки пространства.

6

Сферическая волна. Волна со сферическим фронтом называется сферической. Ее волновые поверхности – концентрические сферы, в центре которых находится источник волн. Формула гармонической сферической волны имеет вид

где A = const; r – расстояние от точечного источника. Цилиндрическая волна. Волна, имеющая фронт в виде цилинд-

рической поверхности, называется цилиндрической. Такая волна может быть получена, например, от источников, равномерно распределенных вдоль оси в однородной среде. Формула цилиндрической волны достаточно просто выглядит только для больших расстояний от источника. Монохроматическая цилиндрическая волна для r λ имеет вид

Следует отметить, что если в формулах (9), (10), (11) вместо функции косинуса записать произвольную функцию f от того же ар-

гумента, то полученные формулы также будут описывать соответственно плоскую, сферическую и цилиндрическую волны.

Заметим, что приведенные формулы и уравнения справедливы для распространения сравнительно малых возмущений в однород-

ных средах без поглощения. Сильные возмущения подчиняются более сложным нелинейным уравнениям. К ним относят ударные волны, солитоны (уединенные незатухающие возмущения) в жидкостях и газах, смерчи и т. п.

3. СТОЯЧАЯ ВОЛНА

Монохроматические волны одинаковой частоты называют когерентными. У таких волн разность фаз не меняется во времени. При наложении таких волн возникает устойчивая картина распределения амплитуды результирующего колебания с характерным чередованием максимумов и минимумов. Это явление называют

интерференцией волн.

7

Простейший случай интерференции – сложение двух гармонических волн с одинаковой амплитудой и частотой, двигающихся вдоль оси x в противоположных направлениях. В результате возникает стоячая волна. Получить ее можно, заставив, например, волну, бегущую по упругому шнуру против оси x, ξ1 =

= Acos(ωt + kx), отразиться без потерь энергии от точки закрепле-

ния в начале координат. Привет, таком отражении фаза волны скачком меняется на π:

ξ2 = Acos(ωt −kx + π) = −Acos(ωt −kx),

что соответствует изменению направления колебаний на противоположное (как при упругом ударе мяча о стенку).

Врезультате наложения двух волн имеем

ξ= ξ1 +ξ2 = A(cos(ωt + kx)−cos(ωt −kx)),

другого. В стоячей волне в отличие от бегущей нет переноса возмущения вдоль оси x . Отсюда – название волны. Формула стоячей волны (12) также является решением волнового уравнения (3).

8

ξλ/2

x

λ/2

Рис. 3. Стоячая волна:

• – узлы; × – пучности

Стоячие волны как собственные колебания струны (стержня,

волновода). В натянутой струне, закрепленной с обоих концов, при некотором возмущении в общем случае возникает сложное нестационарное движение. Стационарное движение возможно лишь при определенных частотах, которые определяют из граничных условий:

ξ(0, t )= ξ(l, t )= 0,

где l – длина струны.

Так как на концах струны находятся узлы, а расстояние между узлами стоячей волны равно λ2, то на всей длине струны должно

ной, остальные (ν2 , ν3 , …) – обертонами. Гармонические колеба-

ния (12) с собственными частотами называют собственными колебаниями, или гармониками. Они записываются в виде формулы

9