Проверка закона Стефана–Больцмана (96

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени Н.Э. БАУМАНА

В.Н. Аникеев, И.Н. Фетисов

ПРОВЕРКА ЗАКОНА СТЕФАНА–БОЛЬЦМАНА

Методические указания к лабораторной работе К-20 по курсу общей физики

Под редакцией Д.В. Креопалова

М о с к в а Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана

2 0 0 8

УДК 535.231.3 ББК 22.34

А67

Рецензент Е.К. Кузьмина

АникеевВ.Н., ФетисовИ.Н.

А67 Проверка закона Стефана–Больцмана: Метод. указания к лабораторной работе К-20 по курсу общей физики / Под ред. Д.В. Креопалова. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008. – 20 с.

Даны краткие сведения о законах теплового излучения и квантовой природе света. Рассмотрена методика экспериментальной проверки закона Стефана–Больцмана. Приведено описание лабораторной установки, порядка выполнения работы и анализа результатов измерений.

Для студентов 2-го курса всех специальностей.

УДК 535.231.3 ББК 22.34

Учебное издание

Аникеев Валерий Николаевич Фетисов Игорь Николаевич

ПРОВЕРКА ЗАКОНА СТЕФАНА–БОЛЬЦМАНА

Редактор А.В. Сахарова Корректор М.А. Василевская

Компьютерная верстка А.Ю. Ураловой

Подписано в печать 15.01.2008. Формат 60×84/16. Бумага офсетная.

Усл. печ. л. 1,4. Уч.-изд. л. 1,3.

Тираж 300 экз. Изд. № 183. Заказ

Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана Типография МГТУ им. Н.Э. Баумана 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., 5

© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008

Цель работы – экспериментально изучить зависимость потока теплового излучения модели абсолютно черного тела от температуры.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1. Энергетические характеристики излучения

Тепловое излучение представляет собой электромагнитные волны, испускаемые при температуре выше абсолютного нуля всеми телами за счет их внутренней энергии. Для всех тел, кроме газов, излучение имеет непрерывный спектр в широкой области длин волн. С повышением температуры энергия излучения сильно возрастает, а максимум спектра смещается в область более коротких волн.

Тела не только испускают собственное тепловое излучение, но и отражают падающее на них излучение других тел. Например, глядя на освещенное солнцем тело при комнатной температуре, мы видим отраженный солнечный свет. Однако при этом тело испускает также невидимое тепловое излучение в инфракрасном (ИК) диапазоне. Если тело нагреть до температуры порядка 2000 К, то, кроме отраженного света, оно будет испускать яркий видимый свет.

Из всех видов излучений только тепловое может находиться в

термодинамическом равновесии с веществом. Поясним это на примере: пусть несколько тел, нагретых до различных температур, окружены оболочкой с идеально отражающими стенками; если даже внутри этой полости будет абсолютный вакуум, тела будут обмениваться энергией между собой через посредство излучения; более теплые тела будут охлаждаться, так как они испускают большее количество энергии, чем получают от окружающих тел, а менее нагретые тела – нагреваться, потому что они получают больше, чем отдают. Опыт показывает, что в конце концов обязательно установится стационарное состояние, при котором все тела имеют одинаковую температуру. При этом они поглощают в единицу времени ровно столько энергии, сколько отдают ее, а объемная плотность энергии излучения в полости достигает некоторого определенного значения, соответствующего данной температуре. В стационарном состоянии излучение в полости называют равновесным тепловым излучением, его характеристики зависят от температуры тел и не зависят от вещества тел.

3

Кроме теплового излучения существует люминесценция – свечение вещества, вызванное внешними источниками энергии: ультрафиолетовым светом, потоком быстрых заряженных частиц или химическими процессами. Люминесценция не связана с нагревом вещества. Тепловое излучение в видимой области спектра заметно при температуре тела в несколько сотен или тысяч градусов, в то время как люминесцировать тело может при любой температуре, поэтому люминесценцию часто называют холодным свечением.

Энергию излучения характеризуют рядом величин, которые подразделяют на интегральные и спектральные.

К интегральным параметрам относятся:

–энергия излучения W, Дж;

–поток излучения (мощность) Ф = dW/dt, Вт (dW – энергия излучения за время dt);

–энергетическая светимость (излучательность) M = dW / (dt dS),

Вт/м2, где dW – энергия излучения за время dt с поверхности тела площади dS.

Спектральные величины служат для описания распределения энергии излучения по длинам волн или частотам.

Спектральная плотность энергетической светимости (испускательная способность)

dΦ Mλ = (dSdλ ) ,

где dФ – поток излучения с площади dS в интервале длин волн от λ до λ + d λ. Испускательная способность есть мощность излучения с единицы площади в единичном интервале длин волн; единица измерения – 1 Вт/м3. Допустим, что на длине волны λ при некоторой температуре испускательная способность равна Mλ =

=109 Вт/м3. Тогда, к примеру, тело площадью dS = 10 -4 м2 в узком интервале длин волн от λ до λ + d λ (где d λ = 0,1 мкм = 10–7 м) испускает поток излучения dФ = Mλ dS d λ = 10 -2 Вт. Иногда длину волны выражают в мкм, тогда единицей измерения испускательной способности служит 1 Вт / (м2·мкм), 106 Вт/м3 =

=1 Вт / (м2·мкм).

Энергетическая светимость и спектральная плотность энергетической светимости связаны интегрированием по всем длинам волн:

4

∞

M = ∫ Mλ dλ.

0

Поток излучения с площади S в интервале длин волн от λ1 до λ2 равен интегралу с пределами от λ1 до λ2:

Ф = S ∫Mλ dλ.

Тепловое излучение тела зависит от его способности поглощать излучение. Пусть на тело падает поток Ф монохроматического излучения с длиной волны λ, из которого телом поглощается часть потока Фпогл, а остальное излучение отражается (и проходит сквозь тело, если оно прозрачно). Спектральным коэффициентом поглощения (поглощательной способностью) называется отноше-

ние поглощенного потока к падающему потоку

α = Фпогл / Ф.

Коэффициент поглощения α – безразмерная величина, принимающая значения от нуля до единицы. Коэффициент поглощения зависит от длины волны, температуры, вещества и состояния поверхности тела (шероховатость, окисление, ржавчина, грязь и т. д.).

В теории теплового излучения важную роль играет понятие абсолютно черного тела (АЧТ), для которого α = 1 для любых длин волн и температур. Строго говоря, в природе таких тел нет. Однако можно создать тела, для которых коэффициент α близок к единице в ограниченном интервале длин волн и температур. На практике хорошей моделью АЧТ является маленькое отверстие в большой полости с темными рассеивающими стенками (рис. 1). Если излучение падает на отверстие снаружи (рис. 1, а), то оно практически полностью поглощается внутри полости в результате многократных отражений, в каждом из которых часть энергии света поглощается. Если полость равномерно нагреть (черными точками на рис. 1, б показана нагревательная спираль), то выходящее из отверстия излучение будет равновесным тепловым излучением АЧТ. Это излучение не зависит от материала полости и

5

а

б

Рис. 1. Модель абсолютно черного тела в случае поглощения (а) и испускания (б) излучения

определяется только температурой и длиной волны. Вследствие этого излучение АЧТ обладает универсальным характером и играет фундаментальную роль в физике.

2. Законы теплового излучения

Закон Кирхгофа. Для любого тела отношение спектральной плотности энергетической светимости к спектральному коэффициенту поглощения равно спектральной плотности энергетической светимости АЧТ при той же температуре и длине волны:

6

Согласно закону Кирхгофа, испускательная способность тела Mλ связана с испускательной способностью АЧТ соотношением

Mλ = α MλАЧТ.

Следовательно, реальные тела, коэффициент поглощения которых всегда меньше единицы, излучают меньше, чем АЧТ при той же температуре и на одинаковой длине волны. Кроме того, чем больше тело поглощает на некоторой длине волны (т. е. чем оно темнее в отраженном свете), тем больше оно будет излучать в нагретом состоянии на данной длине волны.

Закон излучения Планка. Спектральная плотность энергетической светимости (испускательная способность) АЧТ является следующей функцией длины волны и температуры:

где h – постоянная Планка; c – скорость света в вакууме; k – постоянная Больцмана. Это основной закон теплового излучения АЧТ.

При постоянной температуре зависимость (2) описывает спектр теплового излучения АЧТ, т. е. распределение энергии излучения по длинам волн (рис. 2). Как видно из рис. 2, а, излучение имеет сплошной протяженный спектр с максимумом на некоторой длине волны λmax. Полезно запомнить, что примерно 90 % энергии

излучается в интервале длин волн от 0,5λmax до 3λmax (рис. 2, б). Создавая теорию теплового излучения АЧТ, М. Планк выдви-

нул квантовую гипотезу, согласно которой атомные осцилляторы испускают электромагнитные волны не непрерывно, как следовало из теории Максвелла, а порциями, квантами, энергия которых пропорциональна частоте ν излучения:

E = hν= hcλ .

Постоянная Планка, как следует из опытов, h = 6,63·10–34 Дж · с. Только с помощью квантовой гипотезы удалось получить выражение (2), согласующееся с наблюдаемым спектром излучения АЧТ.

7

а

б

Рис. 2. Спектр теплового излучения АЧТ:

а – спектры для различных температур излучателя; б – распределение энергии излучения по спектру

8

В дальнейшем квантовая гипотеза получила подтверждение и развитие в работе Эйнштейна по объяснению внешнего фотоэффекта. Согласно Эйнштейну, само электромагнитное излучение состоит из таких квантов, получивших название фотонов. В опытах А. Комптона по рассеянию рентгеновских лучей было установлено, что фотоны подчиняются тем же кинематическим законам, что и частицы вещества, в частности, для излучения с частотой ν фотон обладает также и импульсом p = hν/ c.

Таким образом, электромагнитное излучение имеет и волновые, и корпускулярные свойства. При распространении волны волновые свойства проявляются в явлениях интерференции и дифракции, а корпускулярные – в процессах испускания и поглощения фотонов. В ходе развития квантовой механики, когда выяснилось, что волновыми свойствами обладают электрон и другие микрочастицы, стало ясно, что фотоны принципиально не отличаются от других элементарных частиц.

Закон смещения Вина. Спектральная плотность энергетической светимости максимальна на некоторой длине волны λmax, зависящей от температуры (рис. 2, а). Вин теоретически установил, что для АЧТ эта длина волны обратно пропорциональна температуре:

λmax = b / T,

где b = 2,9·10–3 К·м есть постоянная Вина. Например, при температуре 290 Кλmax = 10 мкм. Следовательно, при комнатной температуре тела излучают примерно 90 % энергии в диапазоне от 5 до 30 мкм, т. е. в ИК-диапазоне. На поверхности Солнца температура примерно в 20 раз больше, а длина волны λmax = 0,5 мкм соответствует зеленому свету.

Закон Стефана–Больцмана. Энергетическая светимость АЧТ (мощность излучения с единицы площади на всех длинах волн) пропорциональна четвертой степени абсолютной температуры тела

Коэффициент пропорциональности σ = 5,67·10–8 Вт/(м2·К4) на-

зывают постоянной Стефана–Больцмана.

Поток излучения с площади S АЧТ

9

Например, при комнатной температуре (295 К) поток излучения АЧТ с одного квадратного метра поверхности равен 429 Вт, а при температуре 2950 К он в 104 раз больше.

Законы Вина и Стефана–Больцмана, вытекающие из закона Планка, были открыты ранее него. Закон Стефана–Больцмана может быть получен интегрированием функции (2) по длине волны от нуля до бесконечности [1, 2]:

∞

MАЧТ = ∫ MλАЧТ = σT 4,

0

где постоянная Стефана–Больцмана связана с другими физическими константами соотношением

Численное значение постоянной h впервые было получено Планком по формуле (5), с использованием известных из опытов значения σ и других констант.

3. Излучение реальных тел

На практике большой интерес представляет излучение различных реальных тел, для которых спектральный коэффициент поглощенияα в общем случае зависит от длины волны и температуры [3]. Согласно закону Кирхгофа (1), спектр излучения реальных тел будет отличаться от спектра АЧТ (2), а энергия излучения будет меньше.

Поясним сказанное на примере вольфрама, из которого изготавливают нити ламп накаливания. Зависимость коэффициента поглощения вольфрама от длины волны при температуре 2450 К показана на рис. 3. Из него видно, что α убывает с ростом λ: коэффициент поглощения в видимой области спектра больше, чем в инфракрасной. На рис. 4 для температуры 2450 К показаны зависимости от длины волны λ спектральной плотности энергетической светимости АЧТ (кривая 1) и вольфрама (кривая 2).

Во-первых, из графика рис. 4 видно, что на видимую область спектра (0,4…0,76 мкм) приходится незначительная часть энергии излучения, большая часть которой испускается в ИК-диапазоне. С этим связан низкий световой КПД лампы. Если температуру по-

10