Статистика радиоактивного распада (96

Московский государственный технический университет

имени Н. Э. Баумана

И. Н. Фетисов

СТАТИСТИКА РАДИОАКТИВНОГО РАСПАДА

Методические указания к выполнению лабораторной работы Я-64

по курсу общей физики

Под редакцией Г.В. Балабиной

Москва Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана

2009

УДК 539.16 ББК 22.383

Ф451

И.Н. Фетисов ; под ред. Г.В. Балабиной. – М. : Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009. – 20 с. : ил.

Рассмотрены радиоактивные превращения, закон распада и его статистические закономерности (распределение Пуассона). Дано описание методик проверки распределения Пуассона и радиометрического определения содержания калия в веществе.

Для студентов 2-го курса.

УДК 539.16 ББК 22.383

Учебное издание

Фетисов Игорь Николаевич

Статистика радиоактивного распада

Редактор О.М. Королева

Корректор Л.Н. Петрова Компьютерная верстка И.А. Марковой

Подписано в печать 20.10.2009. Формат 60 84/16. Усл. печ. л. 1,4. Изд. № 12. Тираж 100 экз. Заказ

Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана. Типография МГТУ им. Н.Э. Баумана. 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., 5.

© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009

2

Цель работы – ознакомление с радиоактивностью, изучение статистических закономерностей распада (распределения Пуассона), радиометрическое определение содержания калия, расчет статистических погрешностей измерения.

Теоретическая часть

1. Радиоактивные превращения

Атомы состоят из ядра и электронной оболочки. Линейные размеры атома около 10–10 м, а ядра – на 4–5 порядков меньше. Ядра состоят из протонов и нейтронов (нуклонов). Между нуклонами действуют ядерные силы притяжения. Протон имеет положительный элементарный заряд 1,6 · 10–19 Кл, а нейтрон – не заряжен. Масса нуклона примерно в 1840 раз больше массы электрона. Химические элементы различаются количеством протонов Z, изменяющимся от 1 для водорода до 94 для плутония. Число Z называют зарядовым числом, или порядковым номером элемента. Количество нуклонов в ядре (массовое число) обозначают A. Ядро элемента X

записывают в виде ZA X , например, ядро гелия 42 He. Атомы одного и

того же химического элемента, различающиеся числом нейтронов, называются изотопами. Например, для водорода известны три изо-

топа: 11H , 12 H и 13 H.

Некоторые ядра (радионуклиды) самопроизвольно (спонтанно) испускают частицы, превращаясь в другое ядро (А. Беккерель, 1896). Это явление получило название «радиоактивность» [1, 2]. Распадающееся ядро называют материнским, а образующееся после распада – дочерним. Некоторые дочерние ядра стабильны, другие радиоактивны.

К основным радиоактивным превращениям относятся - и - распады.

Альфа-распад. При -распаде ядро (обычно тяжелое) испускает ядро гелия, называемое -частицей. Схему -распада представляют в виде

ZA X 42 He + ZA 42 Y

где X и Y – символы химических элементов.

3

Например, превращение радона в полоний происходит по схеме

22286 Rn 42Не+ 21884 Ро

Квантовая механика объясняет -распад туннельным эффектом – проникновением -частицы через потенциальный барьер на

поверхности ядра, образующийся под действием сил ядерного притяжения нуклонов и электрического отталкивания протонов.

Бета-распады. При -распадах в ядре происходит превращение нейтрона в протон, электрон и электронное антинейтрино e :

n p + 01 e + e ,

или превращение протона в нейтрон, позитрон и нейтрино: p n + 01 e + e.

При этом число нуклонов в ядре не изменяется, а зарядовое число изменяется на 1. Известны три разновидности -распада:

электронный -распад ( –-распад), который протекает по схеме

при этом электрон и антинейтрино покидают ядро;позитронный -распад ( +-распад). В этом случае ядро ис-

пускает позитрон и электронное нейтрино:

AZ X AZ 1 Y+ 01e + e .

Позитрон является античастицей электрона, имеющей такую же массу, но противоположные по знаку электрический заряд, лептонный заряд и магнитный момент [1];

электронный захват – захват ядром собственного орбитального электрона, чаще с ближайшей K-оболочки:

При этом в ядре протон и электрон превращаются в нейтрон и нейтрино

p + 01e n+ ve.

4

Нейтрино и антинейтрино – электрически незаряженные частицы, различающиеся знаком лептонного заряда. Масса покоя этих частиц много меньше массы электрона (этот вопрос физики изучают в настоящее время). Нейтрино чрезвычайно слабо взаимодействует с веществом, поэтому его можно зарегистрировать только в специальных опытах.

При распаде выделяется определенная для данного нуклида энергия в интервале примерно от 20 кэВ до 17 МэВ, что на 3–6 порядков больше энергии химических реакций. Эта энергия делится между продуктами распада таким образом, чтобы выполнялся закон сохранения импульса. (Электрон-вольт – энергия, приобретаемая

частицей с элементарным зарядом в электрическом поле с разностью потенциалов 1 В; 1 эВ = 1,6 · 10–19 Дж.)

Атомное ядро, состоящее из двух и более нуклонов, может находиться в состояниях с различными дискретными значениями внутренней энергии. Состояние с минимальной энергией называется основным, а с большей энергией – возбужденным. Ядро перед распадом находится в основном состоянии, а дочернее ядро может оказаться как в основном, так и в возбужденном состояниях. В последнем случае практически мгновенно после распада дочернее ядро переходит в основное состояние, испуская один или несколько фотонов большой энергии, называемых -квантами. Энергия

-квантов на 4–6 порядков больше энергии фотонов видимого света, равной примерно 2 эВ.

Радионуклиды подразделяют на естественные и искусственные. Принципиального различия между ними нет. Естественными радионуклидами являются семейства урана и тория, калий и др. Природный калий состоит из смеси трех изотопов – двух стабильных и радиоактивного 40K, доля которого = 1,18 10–4. Калий в 89 % слу-

чаев испытывает –-распад (см. (1)), превращаясь в стабильный кальций:

В 11 % случаев происходит электронный захват (см. (2)):

Ядро аргона образуется в возбужденном состоянии и испускает-квант с энергией 1,46 МэВ, переходя в основное (нерадиоактив-

ное) состояние (рис. 1). Электроны распада имеют максимальную энергию Emax = 1,3 МэВ. Таким образом, на 100 распадов испускает-

ся в среднем 89 электронов и 11 -квантов. В случае распада (3) приборы регистрируют электроны, а распады (4) обнаруживают по-излучению.

Рис. 1. Схема распада изотопа 40K

Содержание калия в земной коре составляет 2,5 %. Наиболее важные минералы – это сильвин KCl, сильвинит (K, Na)Cl и др. В заметном количестве калий содержится в слюде, древесной золе, продуктах питания. За счет радиоактивного распада калия земля получает заметное количество внутренней теплоты. Калий играет важную роль в жизнедеятельности животных и растений; его используют в качестве удобрения. Калий, присутствующий в теле человека, вносит заметный вклад в дозу естественного облучения. Соли калия – доступный и безопасный источник слабой радиоактивности.

6

2. Закон радиоактивного распада

Каждое радиоактивное превращение – случайное событие. Однако для большого числа распадов наблюдается закономерность: убывание по экспоненциальной зависимости количества нераспавшихся ядер. Закон распада имеет следующее теоретическое объяснение.

Пусть в момент времени t имеется большое число N одинаковых нераспавшихся ядер. За время dt распадается в среднем dN ядер:

где – вероятность распада ядра в единицу времени, называемая

постоянной распада.

Среднее число распадов за единицу времени

называется активностью препарата.

Единица активности – беккерель (Бк), один беккерель соответствует одному распаду в секунду. Внесистемная единица активности – кюри, 1 Ки = 3,7 · 1010 Бк (такова активность 1 г радия).

Приращение числа нераспавшихся ядер за время dt (см. (5)):

где N0 – число нераспавшихся ядер в момент времени t = 0.

Соотношение (7) выражает закон радиоактивного распада:

число нераспавшихся ядер убывает со временем по экспоненциальной зависимости. Активность, пропорциональная числу нераспавшихся атомов (см. (6)), убывает по такому же закону:

где A0 = N0 – начальная активность. Опыты подтверждают зависимость (8).

Время жизни радионуклида характеризуют средним временем жизни 1/ и периодом полураспада, за который распадается половина ядер:

T = (ln 2) / = 0,693 / = 0,693 .

7

Запишем закон распада через период полураспада:

Рис. 2. Убывание радиоактивности со временем

Убывание активности показано на рис. 2. Для различных радионуклидов период полураспада изменяется от менее микросекунды до 1018 лет. Период полураспада калия-40 T равен 1,3 · 109 лет.

3.Статистика радиоактивного распада

Вфизике, технике и различной практической деятельности встречаются измерения, в которых подсчитывают число событий, происходящих случайно, но в определенном среднем темпе, например число радиоактивных распадов. При этом результат измерения выражается целым числом.

8

При измерении радиоактивности счетчиком Гейгера заряженные частицы пролетают через счетчик. Каждый пролет сопровождается электрическим импульсом, которые подсчитывают. Пусть за

время t получено N импульсов. Многократно повторяя опыт, получают различные целые числа Ni: N1, N2, …, Nk, изменяющиеся случайным образом. Из результатов большого числа k измерений найдем среднее число зарегистрированных частиц (не целое число)

Величина N / t характеризует скорость распада, она пропор-

циональна активности (см. (6)).

Зарегистрированное в однократном измерении значение N имеет случайное отклонение от интересующей нас величины N . Вероятность P(N) того, что в результате одного измерения зарегистрируем N импульсов при среднем N , дается распределением Пуассона [3]:

Анализ распределения Пуассона показывает, что среднеквадратическое отклонение результата измерения N от среднего N

Если число N достаточно большое (десятки, сотни или больше), то в (13) вместо среднего можно подставить результат однократного измерения N:

Для иллюстрации распределения Пуассона рассмотрим гистограммы на рис. 3. Для случая N = 0,8 (рис. 3, а) с наибольшей

вероятностью результат одного измерения N будет равен нулю или единице, с меньшей вероятностью – двум и с очень малой вероят-

ностью – трем или больше. При таких малых N распределение асимметрично.

9

Рис. 3. Распределение Пуассона:

а – при N = 0,8; б – при N = 9

Однако по мере увеличения N распределение Пуассона ста-

новится все более симметричным и стремится к распределению Гаусса с тем же средним значением и среднеквадратическим отклонением. Напомним, что распределение Гаусса часто описывает случайный разброс результатов измерения непрерывных величин [4]. На рис. 3, б, где вертикальными линиями показано распределение

Пуассона для N = 9, а кривой представлено распределение Гаусса

для N = 9 и = N 1/ 2 , видно, что оба распределения близки.

Таким образом, при измерении радиоактивности статистическую (случайную) погрешность можно найти из одного измерения, а

10