Классификация и приведение к каноническому виду уравнений с частными производными второго порядка (110

дважды непрерывно дифференцируемы в этой области и ϕy ( x, y ) ≠ 0,

ψ y ( x, y ) ≠ 0 для всех ( x, y ) W0 .

Таким

образом,

через

точку M0

проходят

две

характеристики

ϕ ( x, y ) = C1

и ψ ( x, y ) = C2 , где C1

= ϕ( x0 , y0 ), C2

=ψ( x0 , y0 ) .

ξ =ϕ ( x, y ),

Из доказательства

теоремы

следует,

что

функции

η =ψ ( x, y ) являются соответственно решениями уравнений

ξx + λ1ξy = 0 ,

(1.26)

ηx + λ2ηy = 0

(1.27)

в области W0 , а следовательно, и решениями уравнений (1.15) и (1.16) в

этой области.

Используя (1.26), (1.27),

находим, что

якобиан системы функций

ϕ ( x, y ) и ψ ( x, y ) равен

D(ϕ ,ψ)

=

ϕx

ϕy

=

− λ1ϕy

ϕy

= ( λ − λ )ϕ ψ ,

D( x, y )

ψ x

ψ y

− λ2 ψ y

ψ y

2

1

y

y

D(ϕ ,ψ)

и, так как λ1 ≠ λ2 , ϕ y ≠ 0 , ψ y ≠ 0 в области W0 , то

≠ 0 в данной об-

D( x, y )

ласти. Поэтому функции ϕ и ψ являются независимыми в области W0 .

Вдальнейшем будем предполагать, что область W0 совпадает с рассмотренной ранее окрестностью V0 точки M0 .

Вуравнении (1.1) сделаем замену независимых переменных (1.2). При этом, как показано выше, уравнение (1.1) переходит в уравнение (1.10). Так как, в силу теоремы, функции (1.2) являются соответственно решениями

уравнений (1.15) и (1.16), то A11 ( x, y ) = A22 ( x, y ) = 0 для ( x, y ) V0 .

Учитывая, что

ξ

= −λ ξ

, η

= −λ η

, λ

+ λ

=

2a

12

, λ

λ

=

a2

− d

=

a

,

x

x

1

2

2

12

22

1 y

2 y

a11

1

a112

a11

имеем

A12 = a11ξxηx + a12 (ξxηy + ξyηx )+ a22 ξyηy =

= [λ1λ2 a11 − (λ1 + λ2 ) a12 + a22 ]ξyηy = − 2d ξyηy . a11

Отсюда следует, что A12 ( x, y ) ≠ 0 в области V0 .

11

Таким образом, при замене независимых переменных (1.2) уравнение (1.1) приводится к следующему виду, называемому каноническим видом

(канонической формой) уравнений гиперболического типа с двумя независимыми переменными:

∂2v = F , (1.28)

∂ξ∂η

~

где F = −

B

~

.

2A12

x=ϕ ( ξ,η)

y=ψ~ ( ξ,η)

Произведем в уравнении (1.28) замену независимых переменных

α = 1

(ξ +η ), β =

1

(ξ −η )

2

2

и положим w ( α, β ) = v( α + β, α − β ) = v( ξ, η). Тогда

v

=

1

( w

+ w

), v =

1

( w

− w

),

ξ

α

β

α

β

2

η

2

v

=

1

∂

( w

+ w

) =

1

( w

− w

),

ξ η

2 ∂η

α

β

4

αα

ββ

и мы приходим к так называемой второй канонической форме уравнений гиперболического типа с двумя независимыми переменными:

∂ 2 w	−	∂ 2 w	= F	,
∂α 2		∂β 2	1

где F1 = 4F ξ =α+β .

η = α−β

Б) Уравнения параболического типа

Пусть уравнение (1.1) имеет параболический тип в области W Ω.

Пусть	M0	= ( x0 , y0 ) –	некоторая фиксированная	точка области W	и
Ω0 W	–	окрестность	точки M0 , в которой	a11 ( x, y ) ≠ 0 . Так	как
d( x, y ) = 0 в области W , то

λ1 ( x, y ) = λ2( x, y ) = a12 ( x, y ) a11 ( x, y )

для ( x, y ) Ω0 . Поэтому уравнения (1.26) и (1.27) совпадают и сводятся к одному уравнению

12

ξx +	a12	ξy = 0 .	(1.29)
	a11
Так же, как и в случае уравнений гиперболического типа, мы будем
предполагать, что найдется окрестность V0 Ω0 точки			M0 , в которой

уравнение (1.19) имеет общий интеграл ϕ ( x, y ) = const , причем функция

ϕ дважды непрерывно дифференцируема в области V0	и ϕy( x, y ) ≠ 0 для
( x, y ) V0 . Таким образом, через каждую точку M0 W	проходит одна ха-

рактеристика ϕ ( x, y ) = C1 , где C1 = ϕ( x0 , y0 ) (иногда говорят,				что через
точку M0	проходят две характеристики, которые совпадают между собой).
В уравнении (1.1) сделаем замену независимых переменных
		ξ = ϕ ( x, y ), η = x ;		(1.30)
при этом	D(ξ ,η )	= −ϕy ≠ 0 в области V0	1).
	D( x, y )

В силу теоремы, функция ξ = ϕ ( x, y ) является решением уравнения

(1.15), и поэтому A11 = 0 в области V0 . Используя (1.12), (1.13), (1.29), (1.30), находим, что

A12 = a11ξx + a12ξy = 0 , A22 = a11 ≠ 0 , ( x, y ) V0 .

Таким образом, при замене независимых переменных (1.30) уравнение (1.1) приводится к следующему виду, называемому каноническим видом

(канонической формой) уравнений параболического типа с двумя независимыми переменными:

~

где F = − B

a11

∂2v = F ,

∂η2

x= η	.
y=ψ~ ( ξ, η)

В) Уравнения эллиптического типа

Предварительно напомним определения и некоторые свойства аналитических функций от одной или двух переменных.

1)В данном случае наряду с заменой переменных (1.30) можно использовать замену

ξ= ϕ ( x, y ) , η = ψ ( x, y ) , где ψ ( x, y ) — произвольная дважды непрерывно дифферен-

	цируемая функция, удовлетворяющая условию	D(ϕ ,ψ)	≠ 0 в области V0 (см., напри-
		D( x, y )
	мер, [8, гл. II, § 3]).

13

Функция f ( x ), определенная в некоторой окрестности точки x0 R ,

называется аналитической в точке x0 , если существует такое число δ > 0 ,
что на интервале (x0 −δ, x0 + δ ) (то есть в δ -окрестности точки	x0 ) она
представима в виде степенного ряда
∞
f ( x ) = ∑ cn ( x − x0 )n ,	(1.31)

n= 0

где сn – постоянные, называемые коэффициентами данного ряда.

Если функция f ( x ) является аналитической в точке x0 , то можно по-
казать, что она бесконечно дифференцируема на интервале (x0						−δ, x0 + δ )
и коэффициенты ряда (1.31) имеют вид
cn =	f (n)( x	0	)		, n = 0, 1,…
	n!
Ряд (1.31) с указанными коэффициентами cn носит название ряда Тей-
лора.						R , если
Функция f ( x ) называется аналитической на интервале

она является аналитической (аналитична) в каждой точке этого интервала. Рассмотрим теперь понятие аналитической функции

h( z ) = α( y,s ) + iβ ( y, s )

комплексной переменной z = y + i s (здесь α( y,s ) и β ( y, s ) – веществен-

нозначные функции, называемые соответственно вещественной и мнимой частями функции h( z ); i – мнимая единица). В дальнейшем через C ys бу-

дем обозначать комплексную плоскость точек z = y + i s .

Функция h( z ) называется аналитической в области Q C ys , если она

дифференцируема во всех точках этой области. Можно показать, что функция h( z ) является аналитической в области Q тогда и только тогда, когда в

этой области существуют непрерывные частные производные функций α и

β по переменным y и s , связанные соотношениями (условиями) Коши – Римана

αy ( y,s ) = βs ( y,s ), αs ( y,s ) = −βy ( y,s ), ( y, s ) Q

(см., например, [4, гл. 1, § 4]). При этом

h′( z ) =αy ( y,s ) + iβ y ( y,s ) = βs ( y,s ) − iαs ( y,s ).

В теории функций комплексной переменной доказывается также, что аналитическая в области Q функция h( z ) бесконечно дифференцируема в

каждой точке z0 Q и в некоторой окрестности этой точки является суммой своего ряда Тейлора:

14

∞		( n)	( z0	)
h( z ) = ∑	h				( z − z0 )n .
		n!
n= 0

При этом функции α( y,s ) и β ( y, s ) бесконечно дифференцируемы в области Q [5, гл. VI, п. 3].

Пусть C 2 – двумерное комплексное пространство точек w = x + i σ и z = y + i s . Функция двух комплексных переменных p ( w, z ) называется

аналитической в точке ( w0 , z0 ) = ( x0 + i σ0 , y0 + i s0 ) C 2 , если сущест-

вуют числа ρ1 > 0 и ρ2 > 0 , такие, что при w − w0 < ρ1 , z − z0 < ρ2 она является суммой абсолютно сходящегося двойного степенного ряда [1, § 38]

∞
p( w, z ) = ∑ cmn ( w − w0 )m( z − z0 )n .						(1.32)
m,n= 0
Здесь cmn – комплексные числа, называемые					коэффициентами ряда
(1.32).		w − w0			< ρ1 ,		z − z0		< ρ2 анали-
Можно доказать [6, гл. I, § 4], что при

тическая функция p ( w, z ) бесконечно дифференцируема по каждой из пе-
ременных w , z и
c	mn	=	1		∂ m+ n p ( w	0	, z	0	)		, m, n = 0, 1,…
			m!n!		∂wm ∂zn

Таким образом, ряд (1.32) является обобщением ряда Тейлора на случай функций двух комплексных переменных.

Пусть уравнение (1.1) имеет эллиптический тип в некоторой области W Ω. Тогда d( x, y ) < 0 для ( x, y ) W и функции λ1 ( x, y ) и λ2 ( x, y )

принимают комплексные значения:
λ1 ( x, y) = a12 ( x, y ) + i − d( x, y )	,
a 11 ( x, y )
λ2 ( x, y) = a12 ( x, y ) − i −d( x, y )	;
a 11 ( x, y )

при этом λ1 ( x, y ) = λ2 ( x, y ) . В дальнейшем будем считать, что коэффици-

енты a11 ( w, z ), a12 ( w, z ) ,			a22 ( w, z ) являются аналитическими функциями в
каждой	точке	M0	= ( x0 , y0 ) W (рассматриваемой	как	точка
( x0 + i 0, y0 + i 0 )		пространства C 2 ). Тогда можно доказать (см.			[7, гл. I,

15

§ 3, 4; 9, гл. I, § 2, 6]), что для любой указанной точки M0 найдется такая окрестность V0 W , в которой уравнение

ωx + λ1 ( x, y )ωy = 0	(1.33)
имеет аналитическое решение ω = ω ( x, y ) = ϕ( x, y ) + iψ( x, y ),	причем

ω y ( x, y ) ≠ 0 для ( x, y ) V0 (так же, как и раньше, предполагается, что

a11 ( x, y ) ≠ 0 в некоторой окрестности Ω0 W точки M0 и V0 Ω0 ).

Из условия λ1 = λ2 и из (1.33) следует, что комплексно сопряженная к ω функция удовлетворяет уравнению

ω	x + λ2 ( x, y )					ω	y = 0 , ( x, y ) V0 .	(1.34)
Заметим, что ϕ и ψ бесконечно дифференцируемы в области V0								и эти
функции можно записать в виде
ϕ( x, y ) =		1		[ω ( x, y ) + ω( x,y )],				(1.35)
		2
ψ ( x, y ) =		1			[ω ( x, y ) − ω( x,y )].			(1.36)
			2i

Используя (1.33) – (1.36), а также тот факт, что определитель произведения двух квадратных матриц одного и того же порядка равен произведению определителей этих матриц (см. [2, гл. 1, § 1, 2]), находим, что

D(ϕ ,ψ)

=

ϕx

ϕy

=

ϕωωx +ϕ

ω

ω

x

ϕωωy +ϕ

ω

ω

y

=

D( x, y )

ψ x

ψ y

ψωωx +ψ

ω

ω

x

ψωωy +ψ

ω

ω

y

=

ϕω ϕ

ω

ωx

ωy

= −

1

ωx

ωy

=

1

(λ − λ )ω

ω

=

ψω ψω

ω

x

ω

y

2i

ω

x

ω

y

2i

1 2 y y

=

− d ω

2

≠ 0 , ( x, y ) V .

a11

y

0

Отсюда следует, что функции ϕ и ψ являются независимыми в облас-

ти V0 .

Так как функция ω ( x, y ) является решением уравнения (1.33) в области V0 , то в этой области она удовлетворяет и уравнению

a ω2	+ 2a	12	ω	ω	y	+ a ω2	= 0 .	(1.37)
11 x			x			22 y

16

Учитывая, что ω =ϕ + iψ и используя (1.37), находим, что

a ϕ2

+ 2a

12

ϕ

ϕ

y

+ a ϕ2

= a

ψ 2

+ 2a

12

ψ ψ

+ a

ψ 2

,

(1.38)

11 x

x

22 y

11 x

x y

22

y

a11ϕxψ x

+ a12 (ϕxψ y + ϕyψ x )+ a22 ϕyψ y = 0 .

(1.39)

В уравнении (1.1) сделаем замену независимых переменных (1.2). Используя выражения для коэффициентов уравнения (1.10) и формулы (1.38), (1.39), получим, что уравнение (1.1) принимает вид

∂ 2v

∂ 2v

~

A

+

+ B

= 0 .

(1.40)

2

2

11

∂ξ

∂η

Так как d( x, y ) = a2

( x, y ) − a

11

( x, y )a

22

( x, y ) < 0 ,

( x, y ) V , то, со-

12

0

гласно критерию Сильвестра [2, гл. 7, § 4], квадратичная форма a11( x, y )t12 + 2a12 ( x, y )t1t2 + a22( x, y )t22

является знакоопределенной (положительно определенной при a11 ( x, y )> 0 и отрицательно определенной при a11 ( x, y )< 0 ). Отсюда следует, что коэффициенты A11 и A22 = A11 могут обратиться в нуль только в том случае, когда

ϕx = ϕy =ψ x =ψ y = 0 .

Однако, в силу условия ωy ( x, y ) = ϕy ( x, y ) + iψ y ( x, y ) ≠ 0 , ( x, y ) V0 ,

равенство ϕy =ψ y = 0 не выполняется ни в одной точке области V0 . Поэто-

му A11 ( x, y )≠ 0 , ( x, y ) V0 , и уравнение (1.40) можно разделить на A11 . Таким образом, при замене независимых переменных (1.2) уравнение

(1.1) приводится к следующему виду, называемому каноническим видом

(канонической формой) уравнений эллиптического типа с двумя независимыми переменными:

	∂ 2v	+	∂ 2v	= F ,
	∂ξ 2		∂η2

~
где F = −	B		~	.
	A11		x= ϕ ( ξ, η)
			y=ψ~ ( ξ, η)

Заметим теперь, что решения уравнений (1.19) и (1.20) при d < 0 при-

нимают комплексные значения, и поэтому данные уравнения следует записывать в виде

17

d z d x

d z d x

= λ1	( x, z ) = a12 ( x, y ) + i − d( x, y )
	a 11 ( x, y )
= λ2	( x, z ) = a12 ( x, y ) − i − d( x, y )
	a 11 ( x, y )

,

y= z

,

y= z

(1.41)

(1.42)

где z = y + i s и функции y = y( x ) и s = s( x ) принимают вещественные

значения. В дальнейшем будем рассматривать уравнение (1.41); уравнение (1.42) можно рассматривать совершенно аналогично.

Предположим, что V0 =

1 ×

2 , где

1 ={x : x0 −δ1 < x < x0 +δ1 },

2 ={y: y0 −δ2 < y < y0 +δ2 },

и δ1 и δ2 – достаточно малые положительные постоянные,

такие, что

V0 W и

def

a11( x, y )

> 0 .

ε0 =

inf

( x, y) V0

Пусть D – область в комплексной плоскости C ys , содержащая отрезок

2 , в которой функции a11 ( x, z ),

a12 ( x, z ), a22 ( x, z )

являются аналитиче-

скими по переменной

z при каждом фиксированном

x

1 , и D1 – огра-

ниченная

подобласть

области

D , содержащая отрезок

2 и

такая, что

Пусть α( x, y, s ) и

β ( x, y, s ) – вещественная и мнимая части

D1 D .

функции a11 ( x, z ) и

a( x, y, s ) = α 2 ( x, y, s ) + β 2 ( x, y, s ) .

Так

как функция a11 ( x, y )

принимает вещественные значения, то

α( x, y, 0 ) = a11 ( x, y ) и β ( x, y, 0 ) ≡ 0 .

Из аналитичности функции a11 ( x, z ) следует, что функция a( x, y, s )

непрерывна по совокупности переменных в замкнутой области

1 ×

D1 , а

следовательно, и равномерно непрерывна в этой области. Поэтому для любого числа ε > 0 можно указать число δ =δ ( ε) > 0 , такое, что для любых

точек x				,	y*			и всех ( y, s )		, удовлетворяющих условию
	1					2			D
								1
( y− y* )2	+ s 2				<δ , выполняется неравенство

a( x, y, s ) − a( x, y* , 0 ) <ε

и, следовательно,

18

a( x, y, s ) = a11 ( x, z ) > a( x, y* , 0 ) −ε = a11 ( x, y* ) −ε > 0 ,

если 0 <ε <ε0 .

Таким образом, при всех x 1 функция a11 ( x, z ) отлична от нуля в окрестности каждой точки z *= ( y* ,0 ), где y * 2 . Кроме того, d ( x,z ) ≠ 0

при всех

x

1 и z G′, где G′ C ys – некоторая область, содержащая от-

резок

(так как функция d ( x,z )

непрерывна и d( x, y ) < 0 для

x

1 и

2

y

2 ).

Отсюда и из аналитичности коэффициентов a11 ( x, z ),

a12 ( x, z ),

a22 ( x, z ) следует, что при всех x

1 функция λ1( x,z )является аналитиче-

ской по переменной z в некоторой области G C ys , содержащей отрезок

2 .

Уравнение (1.41) эквивалентно системе двух уравнений относительно вещественных функций y и s :

	d y	= p( x, y, s ),	(1.43)
	d x
	d s	= q( x, y, s ),	(1.44)
	d x
где p( x, y, s ) и q( x, y, s ) – соответственно вещественная и мнимая части

функции λ1( x,z ).

Так как функция λ1( x,z ) является аналитической по каждой из переменных x 1 и z G , то функции p( x, y, s ) и q( x, y, s ) непрерывны и

имеют непрерывные частные производные всех порядков на множестве 1 ×G . Отсюда и из теоремы существования и единственности решения

системы обыкновенных дифференциальных уравнений [3, § 3] следует, что

								~	~
система (1.43), (1.44) имеет единственное решение y ( x ), s ( x ) , удовлетво-
ряющее начальным условиям						~
				~	) = y0 ,			= 0
				y ( x0		s ( x0 )
и определенное на интервале ~					1 = ( x0	− σ, x0 + σ )			1 . Выбирая число δ1
достаточно малым, можно считать, что ~							1 =	1 .
	Предположим теперь, что интегрирование уравнения (1.41) приводит к
соотношению
					ω( x, z ) = C					(1.45)
(C = C1		+ iC2		– комплексная постоянная), выполняющемуся на множестве
~	~		~	– окрестность точки x0		, содержащая интервал				~
	×G , где									1 , G – об-
ласть в		комплексной плоскости C ys ,				содержащая			интервал	2 , причем

19

функция ω( x, z ) является дифференцируемой по переменной x на интер-

вале	~			~
		при каждом фиксированном z G , аналитической по переменной z
		~			~	и
в области G при каждом фиксированном x
				ω z( x, z ) ≠ 0 (1.46)
при	x 1 ,		z = y	2 . Соотношение (1.45) будем называть комплексным
общим интегралом уравнения (1.41).
		~	~	~
	Пусть z ( x ) = y( x ) + i s ( x ) – решение уравнения (1.41), определенное
на интервале			1 . Заметим, что функция z ( x )			не может тождественно рав-
				~

няться постоянной, так как правая часть уравнения (1.41) отлична от нуля.

Пусть
~	~	x 1 }
γ = {( y, s ): y = y( x ), s =s ( x ),

– интегральная кривая на плоскости C ys , проходящая через точку ( y0 ,0 ),

	которая отвечает решению				~	уравнения (1.41), и пусть			~
					z = z ( x )				C – ком-
	плексная постоянная, такая, что					~
					~				(1.47)
		ω( x, z ( x ) ) = C , x 1 .
	Дифференцируя тождество (1.47) по x и используя (1.41), имеем:
	ω x( x, z ) + ω z( x, z )	d z			=ω x( x, z ) + λ1( x, z )ω z( x, z )			~	= 0 ,
		d x
					~			z= z ( x )
					z= z ( x )				x 1 ,
	или, что то же самое,
	ω x( x, z ) + λ1( x, z )ω z( x, z ) = 0 , x 1 , z γ .								(1.48)

~	, лежащий в
Пусть G′′ = G ∩G и γ ′– произвольный участок кривой γ
области G′′. Очевидно, что функция в левой части равенства (1.48) является
аналитической по переменной z при каждом фиксированном	x 1 . Так
как данная функция обращается в нуль в точках кривой γ ′ G′′, то, в силу

теоремы о единственности определения аналитической функции [4, гл. 2, § 3],

ω x( x, z ) + λ1( x, z )ω z( x, z ) = 0	,	x	1 ,	z G′′.	(1.49)
Так как область G′′ содержит интервал		2 , то из (1.49) следует, что
ω x( x, y ) + λ1( x, y )ω y( x, y ) = 0	,	x	1 ,	y 2 .	(1.50)

20