Применение функций чувствительности в задачах математического моделирования систем с распределенными параметрами. Ч. 1 (120

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана

А.Ю. Бушуев

Применение функций чувствительности в задачах математического моделирования систем с распределенными параметрами

Часть 1

Методические указания к курсовому и дипломному проектированию

Москва Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана

2011

УДК 536.24 ББК 16.4.1 Б90

Рецензент С.В. Аринчев

Бушуев А.Ю.

Б90 Применение функций чувствительности в задачах математического моделирования систем с распределенными параметрами: метод. указания к курсовому и дипломному проектированию. – Ч. 1. – М. : Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011. – 44, [4] с. : ил.

Рассмотрены вопросы применения функций чувствительности к различным задачам, возникающим в инженерной практике при проектировании технических систем, описываемых уравнениями в частных производных.

Для студентов старших курсов, обучающихся по специальности «Прикладная математика». Методические указания могут быть использованы при выполнении курсовых и дипломных работ.

Рекомендовано Учебно-методической комиссией НУК ФН МГТУ им. Н.Э. Баумана.

УДК 536.24 ББК 16.4.1

МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011

ВВЕДЕНИЕ

Аппарат функции чувствительности применяют для анализа и синтеза технических систем. Анализ чувствительности основан на изучении влияния изменения параметров технических систем на их поведение. Например, при проектировании конструкции необходима информация о влиянии параметров проектирования на целевую функцию задачи и функции ограничений. Частные производные этих функций по проектным параметрам и называют

функциями чувствительности (ФЧ). Плодотворность и эффек-

тивность данного подхода подтверждена разнообразным применением в технике. Так, ФЧ широко используют при оптимальном проектировании механическихконструкций[1, 2], идентификации математических моделей сложных динамических систем [3], оптимальном планировании эксперимента [4]. Перечисленные направления исследований представлены в монографиях или научных статьях и сложны для первоначального знакомства студентов.

В предлагаемой первой части методических указаний рассмотрено применение ФЧ в задачах моделирования систем с использованием уравнения теплопроводности.

1.ПРИМЕНЕНИЕ ФУНКЦИЙ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ

ВЗАДАЧЕСИНТЕЗАМНОГОСЛОЙНОЙ КОНСТРУКЦИИ

Многие энергетические установки, паровые и газовые турбины, парогенераторы, теплообменники элементы конструкций ракет и двигателей летательных аппаратов содержат дорогостоящие теплоизоляционные и теплозащитные материалы. Возможности повышения экономичности, надежности и ресурса

3

работы таких установок в значительной мере зависят от совершенства применяемой теплозащиты, ее оптимизации. Поэтому актуальна проблема проектирования многослойной тепловой защиты конструкций по различным критериям.

Неразрушающиеся теплозащитные покрытия (ТЗП) широко применяют на летательных аппаратах в том случае, когда их геометрические размеры в процессе гиперзвукового полета в плотных слоях атмосферы должны сохраняться. Типовые примеры летательных аппаратов такого типа – «Спейс шатл» и «Буран».

Рассмотрим следующую проектную задачу. Требуется определить толщины слоев h h1, h2 , ..., hm конструкционного пакета

(КП), подверженного воздействию высокотемпературной среды, из условия обеспечения равенства температур на границе слоев заданным значениям:

время, с; – момент времени достижения максимальной температуры в контролируемом узле; ˆ – правое значение временного интервала; I(i) – номер границы КП, на которой действует i-е ог-

раничение; m – число контролируемых температур (число варьируемых толщин); n – число слоев в КП.

Температурный режим конструкции находится из решения следующей краевой задачи:

где x – координата, м; сk – удельная теплоемкость k-го слоя КП, Дж/(кг·К); k – коэффициент теплопроводности k-го слоя КП, Вт/(м·К); k – плотность материала k-го слоя КП, кг/м3; T0 – начальная температура конструкции, К.

Граничные условия на поверхностях w0 и wn КП в общем случае имеют вид

где qw0 , qwn – плотность тепловых потоков, подводимых к грани-

цам w0 и wn КП, Вт/м2.

Решение поставленной задачи находят в рамках двухконтурного итерационного алгоритма. При этом задача подбора толщин решается во внутреннем контуре, где применяется приближенная математическая модель, отличающаяся от (1.2) – (1.7) использованием фиксированных значений теплофизических характеристик для каждого слоя пакета. Кроме того, решение задачи прогрева здесь требуется найти для существенно меньшего числа узловых значений искомых функций. Корректировка этой математической модели осуществляется во внешнем контуре на базе решения исходной постановки задачи (1.2) – (1.7) при толщине слоев, найденных во внутреннем контуре, и должна обеспечивать идентичность температур в узлах приближенной математической модели, найденных при одинаковой толщине слоев пакета в исходной и упрощенной постановках.

Указанная проблема может решаться разными способами. Так, в статье [5] она проводилась путем использования во внутреннем

5

контуре значений максимально допустимых температур, отличных от Ti , которые вычислялись по достаточно сложному алгоритму.

В данной работе эта задача решается более естественным путем: введением в аналог уравнения (1.2) дополнительной корректи-

рующей функции Q x, , под которой понимается невязка уравнения теплопроводности, решаемого во внутреннем контуре, для функции T (2) x, , построенной во внешнем контуре, т. е. уравнение (1.2) преобразуется к виду

Во внешнем контуре используются математическая модель (1.2) – (1.7), учитывающая зависимость теплофизических свойств от температуры, и подробная сетка разбиения при решении задачи прогрева.

Поиск толщин слоев, удовлетворяющих нелинейному уравнению (1.1), проводится модифицированным методом Ньютона. При этом частные производные от температур по толщинам варьируемых слоев в контролируемых узлах рассчитывают с использова-

нием ФЧ h, j (x, ) T hj .

Один из возможных способов вычисления ФЧ базируется на их конечно-разностной аппроксимации, что, естественно, сопряжено с необходимостью многократного решения нестационарной задачи теплопроводности. Такой подход достаточно прост в реализации. Однако с увеличением числа варьируемых слоев в КП резко возрастает время решения задачи. Кроме того, вызывает большие трудности выбор оптимального шага конечно-разностной аппрок-

симации производных h, j .

6

Шаг 4. Определить корректирующую функцию (1.9) и перейти к шагу 1.

Построение численных решений, как прямой задачи теплопроводности, так и задачи по определению функций чувствительности, осуществляется с использованием неявных разностных схем для уравнений (1.2), (1.8) и метода прогонки [6].

Согласно описанному алгоритму, были проведены численные расчеты ряда методических задач, отличающихся выбором начального приближения, структуры КП и характером теплового нагружения.

Вкачествеиллюстрациивыполненныхисследованийприведено решение для модельной задачи из работы [5].

Требуется подобрать толщины трех слоев, ближайших к нагреваемой поверхности w0 КП, таким образом, чтобы температуры на границах слоев были равны заданным значениям:

Теплофизическиесвойстваматериаловслоевприведенывтабл. 1.1. В табл. 1.1 T T1000 .

Индекс у теплофизических свойств означает номер используемого материала и совпадает с номером слоя КП. За начальные тол-

9

щины варьируемых слоев приняты следующие: h1 5 мм, h2 5 мм, h3 10 мм. Толщиначетвертого слояфиксирована(3 мм). Тепловые потоки на граничных поверхностях w0 и wn КП рассчитывают по формулам

здесь w0 , wn – степень черноты граничных поверхностей КП; σ –

постоянная Стефана – Больцмана.

Сходимость итерационного процесса во внешнем контуре иллюстрируется результатами расчетов, помещенными в табл. 1.2.

Анализ проведенных расчетов позволяет сделать вывод об эффективности двухконтурного алгоритма, с помощью которого решение обратной проектной задачи находят с необходимой точностью, при ограниченном использовании строгой математической модели.

10