Уравнения математической физики в системе MAPLE (110

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

М.И. Быкова, С.А. Шашкина

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ В СИСТЕМЕ MAPLE

Учебно-методическое пособие

Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета

2012

1

Утверждено научно-методическим советом факультета прикладной математики, информатики и механики 30 марта 2012 г., протокол № 7

Рецензент д-р физ.-мат. наук, проф., зав. кафедрой математического анализа ВГУ А.Д. Баев

Учебно-методическое пособие подготовлено на кафедре математического и прикладного анализа факультета прикладной математики, информатики и механики Воронежского государственного университета.

Рекомендуется для студентов 3-го курса факультета прикладной математики, информатики и механики.

Для направлений: 010400 – Прикладная математика и информатика; 010500 – Математическое обеспечение и администрирование информационных сетей; 010800 – Механика и математическое моделирование; 010300 – Фундаментальная информатика и информационные технологии

2

ВВЕДЕНИЕ

Настоящее методическое пособие посвящено одному из важных разделов математической физики, знание которого представляется весьма существенным для научных исследований, сопряженных с математическими расчетами.

Следует отметить, что в настоящее время специалист по прикладной математике не мыслится без хорошего знания компьютера. К числу наиболее замечательных программ, позволяющих автоматизировать вычисления и высококачественно оформить их, можно отнести программу Maple. Этот пакет широко используется для преподавания математики во многих учебных заведениях. Для студентов Maple является неоценимым помощником в изучении разнообразных математических методов, освобождая их от рутинных математических вычислений и сосредотачивая их внимание на существе изучаемого метода. В заключении предлагаемого методического пособия приведены примеры решения задач с использованием замечательных возможностей пакета Maple.

В предлагаемом методическом пособии рассмотрены основные специальные функции, изучаемые в курсе математической физики. Кроме того, предложены примеры задач, решения для которых получены не аналитически, а в системе компьютерной математики Maple. Эта система в последнее время стала полезной для многих пользователей ПК, которые занимаются математическими вычислениями, простирающимися от решения учебных задач в вузах до моделирования сложных физических объектов, систем и устройств. Несомненно, любая научная лаборатория или кафедра вуза должны располагать математической системой, если они всерьез заинтересованы в автоматизации выполнения математических расчетов любой степени сложности. Несмотря на свою направленность на серьезные математические вычисления, системы класса Maple необходимы для широкой категории пользователей: студентам и преподавателям вузов, инженерам, аспирантам, научным работникам и даже учащимся математических классов общеобразовательных и специальных школ. Все они найдут в Maple многочисленные достойные возможности для применения. Надо отметить, что интерфейс Maple интуитивно понятен, простота управления параметрами и легкость подготовки графических процедур позволяет легко визуализировать решения математических задач. Высочайший «интеллект» этой системы символьной математики объединяется в ней с прекрасными средствами математического моделирования, что дает возможность применения такой системы, как Maple, при преподавании и при обучении от самых основ до вершин математики.

3

СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

В ряде случаев, например, при пользовании методом Фурье разделения переменных в цилиндрических и сферических координатах, мы приходим к так называемым специальным функциям: цилиндрическим, сферическим и

др. Специальными (или высшими трансцендентными) функциями называются все не элементарные функции. Характерная особенность этих функций состоит в том, что многие из них являются решениями уравнений с особыми точками вида

где коэффициент р(х) обращается в нуль в одной или нескольких точках промежутка изменения переменной х. Решения таких уравнений имеют ряд специфических свойств.

Специальные функции находят применения в широком круге задач. Рассмотрим основные свойства цилиндрических и сферических функций, а точнее, простейшего их класса — полиномов Лежандра. Изложение элементов теории специальных функций начнем с описания гамма-функции, что стало уже традиционным в учебной литературе. Приведем примеры специальных функций:

Г(x) = ∞∫e−t t x−1dt — гамма-функция;

Цилиндрическими функциями называются решения уравнения Бесселя

Специальные классы цилиндрических функций известны в литературе как функции Бесселя, и иногда это название присваивается всему классу ци-

4

линдрических функций: u(x) = Jv (x) — функция Бесселя, или цилиндриче-

ская функция первого рода.

Сферическими функциями называются решения уравнения

(1 – х2 )и" – 2хи' + v ( v + 1) и = 0,

и( х) = P v (x) — сферическая функция Лежандра первого рода. Гипергеометрическая функцияu(x) = F(α, β,γ, x) , где α, β,γ – парамет-

ры, является решением уравнения

x(1 − x)u′′+[γ −(α + β +1)x]u′−αβu = 0 .

ФУНКЦИЯ БЕССЕЛЯ

Многие задачи приводят к необходимости решать уравнение вида

К такому уравнению мы придем, например, при решении задач методом разделения переменных, если будем пользоваться цилиндрическими (или полярными) координатами (задача о колебании круглой мембраны, об остывании круглого цилиндра и др.). Уравнение (1) называется уравнением Бесселя. Решения этого уравнения, не равные тождественно нулю, называ-

ются цилиндрическими (или Бесселевыми) функциями. Здесь z — комплекс-

ное переменное, v — некоторый параметр, вообще говоря, комплексный. Один класс цилиндрических функций мы построим следующим образом.

Будем искать решение уравнения (1) в виде обобщенного степенного ряда

подставим значения u , zu', и z2u" в уравнение (3) и соберем члены с одинаковыми степенями z:

zσ a0σ2 −a0v2 + zσ+1 a1(σ+1)2 −a1v2 + zσ+ 2 a 2 (σ+ 2)2 −a 2v2 +a0 +...+ + zσ + n an (σ + n)2 −anv2 + an −2 +... ≡ 0 .

5

Чтобы ряд (2) был решением уравнения (3), необходимо выполнение равенств:

a0 σ 2 −v2 = 0 ; a1 (σ +1)2 −v2 = 0 ;

a2 (σ + 2)2 −v2 + a0 = 0 ;

…

an (σ + n)2 −v2 + an −2 = 0 ;

…

Из первого равенства находим σ = ±v , так какa0 ≠ 0 . Возьмем σ = v . Тогда из второго равенства находим a1 = 0 . Далее,

где z — комплексное переменное, принадлежащее плоскости с разрезом (−∞,0):| z |< ∞ , | arg z | <π ; v — параметр, который может принимать любые вещественные или комплексные значения. Ограничение, наложенное на z, необходимо для однозначности функции zv и может быть отброшено, если v – целое число.

Докажем, что ряд (4) сходится. Обозначим общий член этого ряда

(−1)k z 2k +v uk = k!Г(k +2v +1) .

6

кости с разрезом (−∞, 0), определим цилиндрическую функцию, линейно независимую с функцией Бесселя:

Yv (z) = J v (z) cos(vππ) − J −v (z) , | z | < ∞, | arg z | <π . sin(v )

Эта функция называется цилиндрической функцией второго рода

(функцией Вебера). Для ее обозначения используется символ Yv (z) . (В неко-

торых работах, посвященных теории функций Бесселя, ее называют функ-

цией Неймана и обозначают Nv (z) ).

Рассмотрим также следующие функции:

H v(1) (z) = Jv (z) +iYv (z) , H v(2) (z) = J v (z) −iYv (z) .

Это цилиндрические функции третьего рода (функции Ханкеля). Оче-

видно, они линейно независимы с функцией первого рода и между собой. Функции Ханкеля определены для | z | < ∞, | arg z | <π . Следует отметить, что все цилиндрические функции при фиксированном z есть целые функции параметра v .

Цилиндрические функции имеют весьма широкую область применения в математической физике и технике. Наиболее известными примерами приложения цилиндрических функций к задачам математической физики являются задача о колебаниях круглой мембраны, задача Дирихле для цилиндра и др.

РЕКУРРЕНТНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ФУНКЦИЙ БЕССЕЛЯ

Будем исходить из представления (6):

Умножим это равенство на zv и продифференцируем по z, получим

Таким образом,

9

Функции Бесселя второго и третьего рода удовлетворяют тем же рекуррентным соотношениям, что и функции первого рода, т. е. соотношениям (7)–(14). При v, отличном от целого числа, справедливость этих формул для функций Бесселя второго рода (функций Вебера) вытекает из определения функции Вебера и соответствующих формул для функций первого рода. Для целого v требуемый результат следует из непрерывности рассматриваемых функций по отношению к индексу v, что позволяет осуществить в соотношениях (7)–(14) предельный переход при v → п. Отметим еще формулы:

Формулы (15) и (16) получаются путем повторного применения равенств (7) и (8). Приняв v = 0, из (13), (14) получим