Теория вероятностей и математическая статистика. Ч. 1 (90

Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова Кафедра общей математики

Теория вероятностей и математическая статистика

Часть 1

Практикум

Рекомендовано Научно-методическим советом университета для студентов,

обучающихся по направлениям Экономика, Менеджмент организации

Ярославль 2012

УДК 519.2(076.5)

ББК В171я73 + В172я73 Б53

Рекомендовано Редакционно-издательским советом университета

в качестве учебного издания. План 2012 года

Рецензент кафедра общей математики

Ярославского государственного университета им. П. Г. Демидова

Теория вероятностей и математическая статисти-

Б 53 ка. Ч. 1: практикум / сост. Л. П. Бестужева, Н. Л. Майорова ; Яросл. гос. ун-т им. П. Г. Демидова. – Яро-

славль : ЯрГУ, 2012. – 48 с.

Практикум (часть 1) содержит материалы, необходимые для изучения «Теории вероятностей» – одного из разделов дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика»: теоретические сведения, формулы, примеры решения задач по темам, а также контрольные и самостоятельные работы.

Предназначены для студентов, обучающихся по направлениям 080100 Экономика и 080200 Менеджмент организации (дисциплина «Теория вероятностей и математическая статистика», математический цикл (блок ЕН)), очной формы обучения.

УДК 519.2(076.5)

ББК В171я73 + В172я73

©Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова, 2012

2

P A CMm CNn mM . CNn

2. Геометрическое определение вероятности

Пусть в некоторую ограниченную область наудачу бросили точку. Слово «наудачу» означает, что в таком эксперименте все точки области «равновозможны». Вероятность попадания этой точки в некоторую подобласть A определяется по формуле P A ммераера А , где мера – это длина, площадь или объем.

Здесь элементарными исходами называются точки множества , а благоприятствующими исходами – точки множества A .

Задача 2 (задача о встрече). Аня и Вася условились встретиться около аудитории 202 между 9 и 10 часами. Пришедший первым ждет другого в течение 20 минут, после чего уходит. Чему равна вероятность встречи Ани и Васи, если приход каждого из них может произойти наудачу в течение указанного часа и моменты прихода независимы.

Решение. Пусть x – момент прихода Ани, y – момент прихода Васи. Рассмотрим множество точек x, y на плоскости, коор-

4

(масштаб 1 минута). Здесь пространство элементарных исходов – множество точек квадрата со стороной 60.

Для того чтобы встреча произошла, необходимо и достаточно, чтобы x y 20. Множество точек

x, y на плоскости, координаты которых

удовлетворяют этому условию, представляет собой заштрихованную полосу.

Вероятность встречи равна отношению площади заштрихованной фигуры к площади квадрата:

P A 602 2402 5 . 60 9

3. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Условная вероятность

Суммой (объединением) двух событий A и B называется событие A B A B , которое состоит в том, что произойдет

событие A , либо событие B , либо события A и B одновременно.

Произведением (пересечением) двух событий A и B назы-

Отрицанием (противоположным событием) для события A

называется событие A , которое происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие A .

События A и B называются несовместными (непересе-

i 1

Теорема 1 (сложения вероятностей несовместных событий).

Если A B , то P A B P A P B .

Теорема 2 (сложения вероятностей произвольных событий). Для любых событий A и B P A B P A P B P A B .

5

Теорема 3 (умножения вероятностей). P A B P A P B / A или P A B P B P A / B , где P B / A – вероятность события B при условии, что событие A произошло или P A / B – вероят-

ность события A при условии, что событие B произошло (услов-

ные вероятности).

События A и B независимы, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого.

Теорема 4 (умножения вероятностей независимых событий).

P A B P A P B

Задача 1. В ящике 12 белых и 8 черных шаров. Достают наудачу два шара. Найти вероятность того, что они одного цвета.

Решение. A A1 A2 , где событие A ={достали два шара одного цвета}, A1 ={достали два белых шара}, A2 ={достали два черных

Задача 2. Два стрелка стреляют в цель. Первый стрелок поражает цель с вероятностью 0.8, а второй стрелок – с вероятностью 0,9. Найти вероятность того, что цель будет поражена.

Решение. 1-й способ. A B1 B2 B3 A1 A2 A1 A2 A1 A2 .

Здесь событие A ={цель поражена}, событие B1 ={первый стрелок поразил цель, а второй промахнулся}, событие B2 ={первый стрелок промахнулся, а второй поразил цель}, событие B3 = {оба

A = {цель не поражена, т. е. первый стрелок промахнулся и второй промахнулся}.

Замечание 1. События A1, A2 и противоположные им события A1, A2 – независимые события.

6

Замечание 2. Второй способ решения задачи более рациональный. Это особенно очевидно, если количество стрелков более двух, например три (как в следующей задаче).

Задача 3. Три стрелка стреляют в цель. Первый стрелок поражает цель с вероятностью 0,8, второй стрелок – с вероятностью 0,9, а третий стрелок – с вероятностью 0,7. Найти вероятность того, что цель будет поражена.

Решение. Очевидно, что при решении задачи первым способом событие A ={цель поражена} имеет много вариантов и поэтому вычисление вероятности этого события трудоемко. Вычисление вероятности события A вторым способом дает следующий результат:

P A 1 P A 1 P A1 A2 A3 1 P A1 P A2 P A3

1 0,2 0,1 0,3 1 0,02 0,994.

4.Формула полной вероятности

иформула Байеса

Пусть событие A может произойти только при появлении одного из событий H1, H2 , Hn , образующих полную группу. То-

гда вероятность события A вычисляется по формуле полной вероятности

P A P H1 P A / H1 P H2 P A / H2 P A / Hn ,

опыта событие A произошло, то появляется возможность «пересмотреть» вероятности гипотез, т. е. вычислить вероятности P H1 / A , P H2 / A , , P Hn / A (апостериорные вероятности) по

формуле Байеса:

7

Задача 1. В первом ящике 3 белых, 5 черных и 2 красных шара. Во втором ящике 2 белых, 1 черный и 3 красных шара. В третьем ящике 4 белых, 3 черных и 5 красных шаров. Наудачу выбрали ящик и из него достали один шар. Найти вероятность того, что он белый.

Решение. Найдем априорные вероятности гипотез. Гипотеза H1 = {выбрали первый ящик}; P H1 13 .

Гипотеза H2 = {выбрали второй ящик}; P H2 13 .

Гипотеза H 3 = {выбрали третий ящик}; P H3 13 . Событие A = {достали белый шар}.

P A / H1 103 – вероятность того, что белый шар достали из первого ящика;

P A / H2 62 – вероятность того, что белый шар достали из второго ящика;

P A / H3 124 – вероятность того, что белый шар достали из

третьего ящика.

По формуле полной вероятности P A 13 103 13 62 13 124 9029 . Задача 2. В первом ящике 3 белых, 5 черных и 2 красных ша-

ра. Во втором ящике 2 белых, 1 черный и 3 красных шара. В третьем ящике 4 белых, 3 черных и 5 красных шаров. Наудачу выбрали ящик и из него достали красный шар. Из какого ящика вероятнее всего его достали?

Решение. Гипотезы и их априорные вероятности те же, что и в задаче 1.

Событие A = {достали красный шар}.

P A / H1 102 – вероятность того, что красный шар достали из первого ящика;

8

P A / H2 63 – вероятность того, что красный шар достали из второго ящика;

P A / H3 125 – вероятность того, что красный шар достали из

третьего ящика.

Найдем апостериорные вероятности гипотезH1, H2 , H3 при ус-

ловии, что событие A произошло (достали красный шар), по формуле Байеса:

Ответ: красный шар достали, вероятнее всего, из второго ящика.

Задача 3. В ящике 5 белых и 3 черных шара. Из ящика достали один шар и выбросили. Затем снова достали один шар. Найти вероятность того, что он белый.

Решение.

Гипотеза H1 = {выбросили белый шар}; P H1 85 .

Гипотеза H2 = {выбросили черный шар}; P H2 83 . Событие A = {достали белый шар}.

P A / H1 74 – вероятность того, что из ящика достали белый шар, если сначала выбросили белый шар;

9

P A / H2 75 – вероятность того, что из ящика достали белый шар, если сначала выбросили черный шар.

По формуле полной вероятности P A 85 74 83 75 85 .

Задача 4. В первом ящике 5 белых и 7 черных шаров, а во втором ящике три белых и 2 черных шара. Из первого ящика во второй переложили один шар, а затем из второго ящика достали один шар. Он оказался черным. Найти вероятность того, что переложили белый шар.

Решение.

Гипотеза H1 = {из первого ящика во второй переложили белый

шар}; P H1 125 .

Гипотеза H2 = {из первого ящика во второй переложили черный

шар}; P H2 127 .

Событие A = {из второго ящика достали черный шар}.

P A / H1 62 – вероятность того, что из второго ящика достали

черный шар, если из первого ящика во второй переложили белый шар;

P A / H2 63 – вероятность того, что из второго ящика достали

черный шар, если из первого ящика во второй переложили черный шар.

Найдем вероятность гипотезы H1 при условии, что событие A произошло (достали черный шар):

10