Электродинамика и электромагнитные волны Ч. 1 (90

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию

Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова Кафедра радиофизики

В. А. Тимофеев Т. К. Артёмова

Электродинамика и электромагнитные волны

Часть 1

Задачник

Рекомендовано Научно-методическим советом университета для студентов,

обучающихся по специальностям Радиотехника, Радиофизика и электроника и направлениям Телекоммуникации, Радиофизика

Ярославль 2009

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

УДК 537.86

ББК В 336я73

Т 41

Рекомендовано Редакционно-издательским советом университета

в качестве учебного издания. План 2009 года

Рецензент кафедра радиофизики

Ярославского государственного университета им. П. Г. Демидова

гос. ун-т им. П. Г. Демидова. – Ярославль: ЯрГУ, 2009. – 38 с.

Задачник содержит краткие теоретические сведения и набор заданий различной степени трудности, необходимые для самостоятельного решения.

Первая часть издания состоит из четырех разделов. В них собран материал, включающий упражнения с векторами электромагнитного поля, приведены задачи на структуру и параметры поляризации плоских электромагнитных волн при их распространении в однородных изотропных средах, а также при взаимодействии электромагнитного излучения с плоской границей раздела различных сред.

Предназначен для студентов, обучающихся по специальностям 010801 Радиофизика и электроника, 210302 Радиотехника, направлениям 210400 Телекоммуникации и 010800.62 Радиофизика (дисциплины «Физика волновых процессов», «Электромагнитные поля и волны», «Электродинамика и распространение радиоволн», «Электродинамика СВЧ», блок ЕН, ОПД, ДС), очной и заочной форм обучения.

УДК 537.86

ББК В 336я73

♥ Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова, 2009

2

1. Векторы электромагнитного поля. Формулировка электродинамических задач

Для описания физических полей принято использовать их математические модели – скалярные и векторные поля – функции, заданные на множестве точек пространства. В произвольной системе координат скалярное поле φ приобретает вид

некоторой функции φ(x1, x2 , x3 ), принимающей численные значе-

ния – действительные или комплексные. Векторное поле А задается тремя проекциями на единичные векторы (орты) выбранной системы координат.

Для характеристики величины и направления скорости изменения скалярного поля в пространстве вводят градиент этого поля

где h1,h2 ,h3 – коэффициенты Лямэ по координатам x1, x2 и x3 . Приведем значения коэффициентов Лямэ для наиболее упот-

Среди скалярных полей выделяют центральное (функция φ

принимает одинаковые значения для всех точек, находящихся на равных расстояниях от некоторого центра, как, например,

φ = cr2 , φ = r ) и осевое (если функция принимает одинаковые

значения для всех точек, равноотстоящих от некоторой оси). Описание дифференциальных свойств векторного поля не-

сколько сложнее. Векторное поле À принято характеризовать

3

скалярным полем – дивергенцией (расхождением) divA и вектор-

ным полем – ротором (вихрем, кручением) rotA.

Дивергенцию векторного поля вычисляют путем дифференцирования его проекций по определенным правилам. В произвольной ортогональной криволинейной системе координат

Ротор векторного поля – это вектор, определенный в любой точке поля и являющийся его объемной производной, взятой с обратным знаком.

В декартовой, цилиндрической и сферической системах координат:

Векторные поля могут быть сферическими (все векторы поля проходят через 1 точку – центр, и длина их зависит только от расстояния от этого центра), цилиндрическими.

Среди всех интегралов полей выделим только два.

4

Циркуляция вектора – криволинейный интеграл по замкнутому контуру С, причем С проходится против часовой стрелки, а единичный вектор dl является касательным в каждой точке к С:

Σ

где вектор dS – вектор «лицевой» нормали к поверхности Σ , натянутой на контур C . Величина его равна площади поверхности Σ , а направление таково, что если смотреть на его конец, то обход контура C совершается против часовой стрелки, он как бы ввинчивается в площадку при правильном обходе C .

Векторное поле называется соленоидальным (полем без ис-

точников), если divA = 0 , и потенциальным (если это сила, то ее

работа по замкнутому контуру равна нулю), если rotA = 0 . Знание скалярных и векторных производных и интегралов

векторов поля позволяет характеризовать структуру поля, а решения уравнений Максвелла с различными граничными и начальными условиями позволяют определить значения векторов поля в каждой точке пространства в любой момент времени, связать создаваемое источниками поле с параметрами источников.

Задачи для решения

1.1. В прямоугольном волноводе сечением a × b на основной волне отлична от нуля только одна компонента электрического поля Ey = Ey0Sin(πxa)exp(−γ 10z) , где Ey0 и γ 10 – константы. Оп-

ределите divE и охарактеризуйте это электрическое поле по типу

впроизвольной точке A(x, y, z).

1.2.В прямоугольном волноводе сечением a × b на волне H20

отлична от нуля только одна компонента электрического поля Ey = Ey0Sin(2πxa)exp(−γ 20z) , где Ey0 и γ 20 – константы. Опре-

делите divE и охарактеризуйте это электрическое поле по типу в произвольной точке A(x, y, z).

5

1.3. В прямоугольном волноводе сечением a × b плоская волна имеет напряженность магнитного поля H y = H0e−γz , где H0 и

γ – константы. Определите divH и охарактеризуйте это электрическое поле по типу в произвольной точке A(x, y, z).

1.4.В прямоугольном волноводе сечением a × b плоская волна имеет напряженность электрического поля Ex = E0e−γz , где E0

иγ – константы. Определите divE и охарактеризуйте это электрическое поле по типу в произвольной точке A(x, y, z).

1.5.В прямоугольном волноводе сечением a × b на волне E11 отличны от нуля только две компоненты магнитного поля:

H x = H0Sin(πxa)Cos(πxb)exp(−γz) ,

H y = H0Cos(πxa)Sin(πxb)exp(−γz) .

Определите divH , rotH :

а) в произвольной точке A(x, y, z) ; б) в точке x = a / 2 , y = b / 2 , z = 0; в) в точке x = 0, y = 0, z = 0;

г) в точке x = a , y = 0, z = 0.

1.6. В прямоугольном волноводе сечением a × b на волне H11 отличны от нуля только две компоненты электрического поля:

Ex = −E0Cos(πxa)Sin(πxb)exp(−γz) ,

Ey = −E0Sin(πxa)Cos(πxb)exp(−γz) .

Определите divE , rotE для точек, указанных в предыдущей задаче.

1.7. В прямоугольном волноводе a × b на волне H10 отличны от нуля компоненты:

Ey = −E0Sin(πxa)exp(−γz), H x = H x0Sin(πxa)exp(−γz),

Hz = Hz0Cos(πxa)exp(−γz) .

Определите в произвольной точке A(x, y, z): а) П; б) divП;

в) rotП.

6

1.8. У волны в свободном пространстве отличны от нуля компоненты:

Ex = E0 exp(−γz) , H y = H0 exp(−γz).

Определите в произвольной точке A(x, y, z) : а) П; б) divП;

в) rotП.

1.9. Магнитное поле магнитного диполя в дальней зоне имеет одну компоненту: Hθ = Hθ 0Sinθ exp(−ikr) . Определите divH ,

rotH , охарактеризуйте тип поля.

1.10. Электрическое поле электрического диполя в дальней зоне имеет одну компоненту: Eθ = Eθ 0Sinθ exp(−ikr) . Определи-

те divE , rotE .

1.11. Магнитное поле электрического диполя в ближней зоне имеет одну компоненту: Hϕ = Hϕ 0Sinθ . Определите divH ,

rotH .

1.12. Электрическое поле площадки Гюйгенса в дальней зоне имеет одну компоненту: Eϕ = −Eϕ0 Sinϕ (1 + I Cosθ ), где I

– константа. Определите divE , rotE , охарактеризуйте тип поля.

1.13. Поле магнитного диполя в дальней зоне имеет компоненты:

Hθ = Hθ 0Sinθ exp(−ikr) , Eϕ = Eϕ 0Sinθ exp(−ikr) .

Определите: а) П; б) divП; в) rotП.

1.14. Поле электрического диполя в дальней зоне имеет компоненты:

Eθ = Eθ 0Sinθ exp(−ikr) , Hϕ = Hϕ 0Sinθ exp(−ikr) .

Определите: а) П; б) divП; в) rotП.

1.15. Поле электрического диполя в ближней зоне имеет компоненты:

Hϕ = Hϕ 0Sinθ , Eθ = −Eθ 0Sinθ , Er = Er0Cosθ .

Определите: а) divH ; б) divE ; в) rotH ; г) rotE .

7

1.16. Для диполя из предыдущей задачи определите: а) П;

б) divП; в) rotП.

1.17. В диэлектрике с относительной проницаемостью ε

создали однородное электрическое поле напряженностью E . В нем прорезаны две очень узкие щели – одна вдоль поля, другая поперек (рис. 1.1). Определите напряженность поля внутри щелей.

E 1

2

Рис. 1.1

1.18.Граница раздела сред является экранирующей либо: а) по электрическому полю; б) по магнитному полю. Определите величину и направление электрического и магнитного полей в обеих средах.

1.19.Определите величину и направление поверхностного тока на границе раздела сред 1 и 2, если: а) H1 = H2 ; б) H1 > H2 ;

в) H1 < H2 .

1.20. Определите величину и знак поверхностного заряда на границе раздела сред 1 и 2, если: а) E1 = E2 ; б) E1 > E2 ;

в) E1 < E2 .

1.21. Испытания метеорита показали, что на частоте 1 МГц

он имеет σ = 10−3 См/м, ε = 6. Является вещество метеорита диэлектриком или проводником на этой частоте? Предполагается, что вещество однородно.

1.22. В веществе с электропроводностью 10−7 10−7 См/м создано электрическое поле E = 2Sin(2π 10−6 t) , ε = 2 . Определите

8

ε ′,ε ′′, tgδ и род вещества: а) для частоты 1 МГц; б) для частоты

1кГц.

1.23. К конденсатору с диэлектриком, имеющим ε = 3, приложено напряжение, создающее напряженность электрического поля внутри E = E0 sinωt . Определите величину и "направление"

тока смещения, если E0 = 2 В/м, ω = 2πf , f = 50 Гц.

1.24. К веществу с ε = 2 , tgδ = 10−2 приложено электрическое поле Em = eˆx + eˆy . Определите комплексную амплитуду

электрической индукции, угол в пространстве между векторами

E и D , разность фаз между ними. Вещество предполагается однородным.

1.25. С помощью уравнений Максвелла выразите электрическую индукцию, создаваемую точечным зарядом Q на рас-

стоянии r от него.

1.26. Электрическая индукция на поверхности мысленной сферы радиуса 1 м направлена по радиус-вектору и равна

10−12 Кл/м2. Определите знак и величину находящегося в центре сферы заряда.

1.27.Найдите выражение для напряженности магнитного поля, создаваемого бесконечным прямолинейным постоянным током, пользуясь уравнениями Максвелла.

1.28.Индукция магнитного поля, создаваемого бесконечным прямолинейным проводником с током в свободном про-

странстве на расстоянии 1 м от оси проводника, равна 2 10−7 Тл. Определите, какой ток течет по проводнику.

1.29.Индукция магнитного поля в меди 10−6 Тл. Определите напряженность магнитного поля.

1.30.Существует ли в природе диэлектрик, в котором при E = 5 В/м индукция составляет D = 3 пКл/м2? Обоснуйте ответ.

1.31.В линейной по электрическому полю однородной и изотропной среде действует электрическое поле напряженно-

стью E = 3 В/м. При этом индукция электрического поля составляет D = 50 пКл/м2. Определите: а) диэлектрическую восприимчивость вещества; б) величину вектора поляризованности.

9

1.32. В линейной по магнитному полю однородной и изотропной среде действует магнитное поле напряженностью H = 10 А/м. При этом индукция магнитного поля составляет

144 10−7 Тл. Определите: а) магнитную восприимчивость вещества; б) величину вектора намагниченности; в) род магнита.

2.Электромагнитные волны

воднородных изотропных средах

Для случая однородной изотропной среды, когда материальные уравнения имеют вид

где ε a , μa – абсолютные электрическая и магнитная проницаемо-

сти, а σ – проводимость среды, система уравнений Максвелла для области пространства, в которой отсутствуют свободные заряды, может быть представлена как:

Из этой системы могут быть получены волновые уравнения для векторов поля. Для электрической компоненты оно имеет вид:

В случае идеального диэлектрика (σ = 0) волновое уравнение (2.3) преобразуется к следующему виду:

10