Механика и молекулярная физика. Поступательное и вращательное движение твердого тела (90

			J = J	0	+ 4m R2	(2)
					1
здесь J	0	= 2,9 ×10	−3 кг × м2 , m = 0,193кг,			расстояние R от
				1

оси вращения до центров масс грузов определяется измерением. Вращающий момент М сил, приложенных к маятнику, состоит

из момента силы натяжения нити M Н и момента сил трения МТР :

М = МН - МТР ,	(3)
где МН = Т × r , T – сила натяжения нити, r –	радиус шкива,
MТР = 0,3 ×10−2 Н × м.

Силу натяжения нити Т находим из уравнения второго закона Ньюто- на для поступательного движения платформы (рис.2):

T = mg − ma ,

(4)

где m – масса платформы с гирьками (обозначена на платформе и на гирьках), а – линейное ускорение платформы, g – ускорение свобод- ного падения.

Тогда вращающий момент М равен

	M = m(g - a)r - MТР					(5)
	Угловое ускорение маятника а связано с линейным ускорением и
	радиусом шкива уравнением
	ε =		a			(6)
			r
	Линейное ускорение а может быть найдено из уравнения равно-
	ускоренного движения:
	a =	2h				(7)
		t 2

где высота падения платформы h и время ее падения t измеряются в эксперименте.

31

IV.Схема установки

Рис. 1 Схема установки.

III.Измерения и обработка результатов.

1.Установить подвижный (верхний) кронштейн с фотоэлектрическим датчиком ФЭ-1 на заданную высоту (по указанию преподавателя).

Измерить расстояние h между верхним и нижним фотоэлектриче- скими датчиками по линейке, нанесенной на колонне прибора.

2.Установить нужное количество грузов на платформу и определить общую массу m платформы с грузами (масса обозначена на платформе и на грузах).

3.Установить подвижные грузы m1 на крестовине маятника в край-

32

нее положение (на концы стержней) и измерить расстояние от оси вращения до их центров масс.

4.Включить сетевой шнур (220В) и нажать кнопку "СЕТЬ" на милли- секундомере прибора. Привести миллисекундомер в исходное поло- жение нажатием кнопки "СБРОС", при этом индицируются нули на табло и одновременно освобождается блокировка электромагнитного тормозя маятника.

5.По указанию преподавателя выбрать тот или иной шкив для намот-

ки нити, радиусы шкивов равны r1 = 2,1см, r2 = 4,2см. Враще-

нием маятника перевести платформу с грузами в верхнее положение и установить нижний край платформы точно вровень с чертой на корпу- се верхнего фотоэлектрического датчика ФЭ-1. Отжать кнопку "ПУСК", тем самым включается электромагнитный тормоз маятника. 6. Нажать повторно кнопку "ПУСК" (при этом тормоз выключается) и измерить по электронному миллисекундомеру с точностью до I мс

время падения t1 платформы с грузами. Измерение повторить три

	раза и определить среднее значение времени падения t =	1	n
			∑ti .

n i =1

После каждого измерения следует нажимать кнопку "СБРОС".

7.Повторить измерения по п.6 при различных положениях подвиж- ных грузов на крестовине (у центра, на середине стержней).

8.Повторить измерения по п.6, изменив массу грузов на платформе.

9.Результаты всех измерений занести в таблицу 1.

10.По формулам (7), (б), (5), (2) последовательно для каждого изме- рения найти: а – линейное ускорение платформы, ε – угловое уско-

рение маятника, М – вращающий момент сил, J – момент инерции маятника. Вычисленные значения записать в таблицу 1.

11. Вычислить отношение момента сил к моменту инерции маятника

M

в каждом измерении, результаты записать в таблицу 1.

J

12. По результатам измерений построить график зависимости

ε = f (M J ), провести его анализ и сделать заключение о справед-

ливости основного закона ε = M J .

33

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Дайте определение абсолютно твердого тела.

2.Что называется: моментом силы относительно оси?

3.Что называется моментом инерции твердого тела?

4. Сформулируйте и запишите основное уравнение динамики враща- тельного движения твердого тела вокруг неподвижной оси.

5. Из чего состоит момент инерции маятника Обербека? б. Получите формулу (5).

Литература:[1, с.139], [2, с.41], [3, c.86], [4, c.88].

Таблица 1

№

h,м

m,кг

t, c

R, м

r, м

a, м с2

ε −2

М,Н×м

2

M

,c−2

оп

ыт

,с

J,кгм×

J

а

1

t1=

t2=

t3=

tcр=

2

t1=

t2=

t3=

tcр=

3

t1=

t2=

t3=

tcр=

4

t1=

t2=

t3=

tcр=

5

t1=

t2=

t3=

tcр=

34

Лабораторная работа 106

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ТЕЛ МЕТОДОМ КОЛЕБАНИЙ

Цель работы: Ознакомится с понятием момент инерции твердого те- ла. Экспериментальное определение моментов инерции некоторых тел методом колебаний.

Приборы и принадлежности: цилиндр на горизонтальной оси, шар на горизонтальной оси, секундомер.

I.Теория метода

В динамике вращательного движения момент инерции играет ту же роль, что и масса в динамике поступательного движения: он опреде- ляет величину углового ускорения ε , получаемого телом под дейст- вием данного момента силы:

ε =	M	,	(1)
	J

где М – момент силы относительно оси вращения; J – момент инер- ции относительно той же оси. Другими словами, момент инерции тела определяет инерционность тела.

Величина момента инерции определяется не только массой тела, но и распределение той же массы относительно оси вращения. Одно и то же тело может иметь различные моменты инерции относительно раз- ных осей, а тела различной массы при определенном распределении масс в них могут иметь одинаковые моменты инерции.

Момент инерции сплошного цилиндра относительно оси враще- ния совпадающей с его осью,

J =	1	mr 2	(2)
2

Момент инерции шара относительно оси, совпадающей с любым диаметром,

J =	2	mr 2	(3)
5

35

Момент инерции в системе СИ измеряется в

	2
	кг × м2 , а в системе СГC – в г × см . Момент
	инерции экспериментально можно определить раз-
	личными способами. Один из них рассматривается
	в данной работе.
	Исследуемое тело (с неизвестным моментом
	инерции) с прикрепленным к нему дополнитель-
	ным грузом (с известным моментом инерции)
	можно рассматривать как физический маятник,	Рис. 1
	которым может быть любое твердое тело, подве-
	шенное на оси, не проходящей через центр тяжести
	(рис.1).

При отклонении маятника от положения равновесия на угол φ возникает вращательный момент М, стремящийся вернуть его в поло- жение равновесия:

М = - mga Sinφ,

где m – масса маятника, g – ускорение свободного падения, а – расстояние между точкой подвеса 0 и центром тяжести С.

Основной закон динамики вращательного движения в примене- нии к физическому маятнику запишется в виде:

J j = mga Sin φ,

(4)

где J – момент инерции физического маятника относительно оси вра- щения 0, ϕ– угловое ускорение.

При малых угловых отклонениях Sin φ ≈ φ (в радианах) формула (11) переходит в уже известное нам уравнение гармонического коле- бания

				ϕ+ ω02ϕ = 0.		(5)
	В данном случае круговая частота колебаний физического маят-
	ника выражается формулой:			ω0 =	mga	, а период колебаний :
					J
	Τ=2π	J
			.

mga

36

Итак, в нашем случае период колебания физического маятника определяется по формуле

T = 2π	J	1	,		(6)
	m1 ga
где J1 – момент инерции системы; m1 – ее масса; a –					расстояние от
центра тяжести тела до оси вращения. Величина L =					J1	называется

m1a

приведенной длиной физического маятника.

Определив из опыта Т и зная m1 и а (из табл.2) , можно найти суммарный момент инерции тела с грузом:

	J1	=	T1m1 ga	,	(7)
			4π 2

Момент инерции исследуемого тела (вследствие аддитивности момен- та инерции)

J = J1 − J Г ,

(8)

где J Г – момент инерции дополнительного груза относительно оси вращения системы (он может быть вычислен на основании теоремы Штейнера).

II. Схема установки

Прибор состоит из шара и цилиндра, которые могут вращаться во- круг горизонтальной оси с малым трением (рис. 2). Ось вращения проходит через центр тяжести исследуемого тела, которое находится в безразличном равновесии. Если к исследуемому телу прикрепить вспомогательный груз (вне оси вращения), то состояние безразлично- го равновесия системы заменится состоянием устойчивого равнове- сия. Если тело вывести из положения равновесия, то оно будет совер- шать колебания с некоторым периодом Т.

37

Рис.2

V.Выполнение измерений

Вывести исследуемое тело из положения равновесия и с помощью секундомера определить время полных колебаний. Результат записать в таблицу 1. Опыт повторить 3 раза.

							Таблица 1
	Вре-
	мя
Иссле	де-		J1 ,	J ,	JT ,		J − JT
дуе-	сяти	Т
							×100%
		,
мое	коле		кг × м2	кг × м2	кг × м2		JT
тело	ба-	с
	ний
	t, c
Ци-	t1=
линдр	t2=
	t3=
	tcр=
Шар	t1=
	t2=
	t3=
	tcр=

38

IV. Обработка результатов

1.Найти среднее значение времени одного колебания, т.е. период ко- лебаний Т.

2.По формулам (7) и (8) определить момент инерции исследуемого тела.

3.По формулам (2) и (3) рассчитать значения моментов инерции JT

для цилиндра и шара соответственно. Значения J Г , m, m1 и r

приведены в таблице 2.

4. Полученные данные записать в таблице 1.

					Таблица 2
Иссле-	Масса	Масса	Момент	Расстояние от	Радиус иссле-
дуемое	исследуе-	исследуе-	инерции	центра тяже-	дуемого тела
тело	мого тела	мого тела	дополни-	сти системы	r, м
	m, кг	с грузом	тельного	до оси враще-
		m1 , кг	груза	ния а, м
			J Г , кг × м2
Ци-	2,502	2,566	0,165·10-3	1,118·10-3	69,1·10-3
линдр
Шар	1,419	1,498	0,251·10-3	2,932·10-3	49,5·10-3

Контрольные вопросы

1.Что называется моментом инерции материальной точки?

2.Что называется моментом инерции тела? В каких единицах он из- меряется? Его роль в динамике вращательного движения.

3.Основной закон динамики вращательного движения твердого тела. Проанализировать этот закон.

4.Что такое физический маятник? От чего зависит период колебания физического маятника?

5.Объяснить содержание теоремы Штейнера.

Литература: [I, с.143]; [2, с.44]; [4, с.95].

39

Лабораторная работа № 106а

ИЗМЕРЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА МЕТОДОМ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ

Цель работы: Ознакомиться с элементами теории крутильных колебаний твердого тела и методикой измерения моментов инерции твердых тел с помощью крутильного маятника. Приобрести навыки

работы с крутильным маятником.

Приборы и принадлежности: Крутильный маятник с универ- сальным секундомером, эталонное и исследуемое тела цилиндриче- ской формы

I . Теория метода

Крутильные колебания – это вращательное движение тела под дейст- вием момента упругой силы, который возникает при закручивании натянутой нити. Пусть тело А (см.рис.1) зажато в рамке Б, приделан- ной к двум нитям (или струнам), которые закреплены в натянутом со- стоянии в точках В и Г. Если закрутить рамку вокруг направления ни- ти на некоторый угол ϕ , то в нити возникает возвращающий упругий

момент:

ϕ

= -

πd

2

G

1

+

1

×

ϕ

(1)

М = -k

32

l2

l1

где d - диаметр нити, G - модуль сдвига материала нити, l1 и l2 -

длины верхнего и нижнего обрезков нити.

40