Применение метода синтеза форм для расчета колебаний космического летательного аппарата (96

» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана

Учебное пособие

С.Н. Дмитриев, И.Ю. Калугин, О.Н. Тушев

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА СИНТЕЗА ФОРМ ДЛЯ РАСЧЕТА КОЛЕБАНИЙ КОСМИЧЕСКОГО

ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА

Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана

ВВЕДЕНИЕ

При построении расчетных конечно-элементных моделей сложных динамических систем широкое применение получил метод синтеза форм колебаний. Он используется как для уменьшения объема вычислений с помощью конечно-элементных моделей большой размерности, так и для упрощения процесса обмена данными между смежными организациями.

Методом синтеза форм колебаний называют метод расчета колебаний составной системы, основанный на использовании частот

иформ колебаний отдельных ее частей — подконструкций. В зависимости от условий закрепления, при которых проводится расчет подконструкций, применяют различные варианты метода синтеза форм, в частности методы свободных [1, 2] и жестких границ [3].

Наибольшее распространение в настоящее время получил вариант метода жестких границ, предложенный Крейгом и Бэмптоном [3], который в терминах обмена данными часто называют форматом Крейга — Бэмптона.

Уменьшения размерности в методе жестких границ достигают благодаря замене переменных. Вместо вектора узловых перемещений во всех узловых точках подконструкции вводят в рассмотрение вектор, состоящий из перемещений в избранных узловых точках, и вектор координат форм. Для узловых перемещений

икоординат форм используются также термины «физические координаты» и «модальные координаты». В число избранных узловых точек следует обязательно включать те, в которых данная подконструкция соединяется с другими подконструкциями. Эти узловые точки и перемещения в них называются граничными. Поскольку эти узловые перемещения учитываются при построении сокращенной динамической модели, их называют также со-

3

храняемыми степенями свободы, а оставшиеся — исключаемыми, или внутренними.

Координаты форм в векторе неизвестных сокращенной динамической модели при использовании формата Крейга — Бэмптона соответствуют формам колебаний подконструкции при закреплении всех ее сохраняемых или граничных степеней свободы, поэтому метод является разновидностью метода жестких границ. Часть высших тонов колебаний не учитывается, поэтому размерность динамической модели снижается. В работе [4] проблема построения сокращенных динамических моделей была связана с аппроксимацией амплитудно-частотных характеристик системы в некотором частотном диапазоне. Таким образом, методам конденсации было дано некоторое теоретическое обоснование применительно к решению задач о собственных колебаниях систем, состоящих из нескольких подконструкций. Метод Крейга — Бэмптона встроен в ряд пакетов программ, реализующих метод конечных элементов, в том числе широко используемый на практике NASTRAN.

1. СОБСТВЕННЫЕ ЧАСТОТЫ И ФОРМЫ КОЛЕБАНИЙ ОТДЕЛЬНОЙ ПОДКОНСТРУКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА

При использовании метода конечных элементов в форме метода жесткостей [5, 6] задача расчета собственных частот и форм колебаний сводится к решению обобщенной проблемы собственных значений вида

где [K] и [M] — матрицы жесткости и массы подконструкции соответственно; ω2 = λ — собственное число; {ϕ} — собственный

вектор, ω — круговая (циклическая) собственная частота. Собственные числа и собственные векторы, являющиеся решением (1), обладают свойствами, перечисленными ниже в пп. 1–5.

1. Собственные числа являются корнями характеристического уравнения

4

Действительно, для определения вектора собственных форм необходимо решить однородную систему уравнений

которая имеет нетривиальное решение только при условии (2). Раскрыв определитель (3), получим алгебраическое уравнение от-

носительно ω2n , где n — порядок матриц [K] и [M], равный числу степеней свободы конечно-элементной модели.

Уравнение (3) имеет n корней. Таким образом, конечноэлементная модель подконструкции позволяет определить n частот и n форм колебаний подконструкции. Поскольку модель является некоторой приближенной моделью для описания динамического поведения подконструкции, только часть найденных частот и форм (в нижней части спектра) близки к истинным.

Собственные числа можно собрать в некоторой диагональной матрице собственных чисел

а собственные векторы — в матрице форм, располагая их по столбцам:

2. Собственная форма колебаний {ϕ} определяется с точностью до постоянного множителя с. Если {ϕ} — собственная форма колебаний, то c{ϕ} — тоже собственная форма колебаний.

В справедливости данного свойства можно убедиться, подставив в уравнение (1) форму c{ϕ} в качестве собственного вектора. При делении правой и левой частей на константу получим верное равенство.

Для определенности собственные векторы нормируют. В дальнейшем предполагается, что собственные векторы нормированы с матрицей массы, т. е. выполняется соотношение

(здесь символы применяются для обозначения матрицыстроки).

5

3. Собственные формы колебаний, соответствующие некратным собственным значениям, ортогональны с матрицами массы и жесткости, т. е. имеют место равенства

Умножим уравнение (9) слева на строку ϕ , а уравнение (10) —

j

слева на строку ϕi , затем первое из полученных соотношений транспонируем:

Вычтем из уравнения (11) уравнение (12) и получим

При выполнении соотношения (13) из (11) или (12) следует, что справедливо и соотношение ортогональности с матрицей жесткости:

4. Собственные векторы, соответствующие кратным собственным значениям, являются линейно независимыми, но необязательно ортогональными с матрицей массы. Имеет место следующее свойство: если {ϕi } и {ϕj } — собственные векторы, соответст-

6

вующие кратному собственному значению λ, то любая линейная комбинация этих векторов

также будет собственным вектором для того же собственного значения λ; Ci и Cj — некоторые произвольные постоянные.

Проверить данное положение можно путем подстановки (15) в обобщенную проблему собственных значений (1). Собственные векторы в этом случае определяются неоднозначно. Однако подпространство, образованное ими, является единственным. Кратные собственные значения возникают, например, при наличии симметрии в механической системе. Другим типичным случаем являются нулевые частоты незакрепленной системы, число которых в общем случае свободной пространственной системы равно шести. Добиться ортогональности собственных векторов с матрицей массы можно, проведя их принудительную ортогонализацию. В дальнейшем будем считать, что все собственные векторы (включая собственные векторы при кратных собственных числах) удовлетворяют соотношению ортогональности с матрицей массы.

5. Собственные числа и собственные векторы связаны между собой соотношением Рэлея

которое можно получить из (1), умножив его слева на ϕ .

Если собственные векторы нормированы с матрицей массы (6), то из соотношения Рэлея получим

Свойства собственных чисел и векторов, рассмотренные выше (ортогональность с матрицами масс и жесткостей, условие нормирования и соотношение Рэлея), можно объединить в два матричных уравнения:

7

которые называются соотношениями M- и K-ортогональности; [E] — единичная матрица.

2. ОСНОВНЫЕ РАСЧЕТНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ МЕТОДА ДИНАМИЧЕСКОЙ КОНДЕНСАЦИИ КРЕЙГА — БЭМПТОНА

Рассмотрим построение сокращенной динамической модели подконструкции по Крейгу — Бэмптону применительно к задаче определения собственных частот и форм колебаний составной системы. При построении сокращенной динамической модели подконструкции ее узловые точки разделяются на граничные, в которых подконструкция соединяется с соседними, и внутренние, принадлежащие только данной подконструкции. Параметры, относящиеся к граничным узлам, будем обозначать нижним индексом 1, а к внутренним — нижним индексом 2.

Будучи частью конструкции, подконструкция не является изолированной. При колебаниях конструкции в целом по одной из ее собственных форм колебаний на подконструкцию со стороны других подконструкций действуют силы, изменяющиеся по гармоническому закону и приложенные в ее граничных узлах. Уравнение колебаний отдельной подконструкции является уравнением вынужденных стационарных колебаний с круговой частотой p. Обозначим амплитудные значения граничных перемещений как {U1}, а внутренних — {U2}, вектор амплитудных значений граничных сил — {P1}. Во внутренних узлах подконструкция не нагружена, следовательно, {P2} = 0. Матрицы жесткости [K] и массы [M] разобьем на блоки, соответствующие граничным и внутренним степеням свободы (предполагается, что граничные перемещения собраны в верхней части вектора перемещений).

Уравнение вынужденных стационарных колебаний подконструкции с учетом введенных выше обозначений можно записать в виде

8

Для получения сокращенной динамической модели в уравнении (20) в соответствии с методом Крейга — Бэмптона выполним частичную замену переменных. Преобразование осуществляется введением некоторой матрицы [T], связывающей исходный вектор

Таким образом, вектор {U1} сохраняется в уравнении, а вектор

{U2} выражается через {U1} и {q}.

Если размерности векторов в правой и левой частях уравнения (21) одинаковы, то преобразование является точным. У сокращенной модели подконструкции размерность вектора {q} меньше размерности вектора {U2}.

Для получения матрицы [T] должны быть предварительно определены собственные частоты и формы колебаний подконструкции при закрепленных узловых степенях свободы, соответствующих вектору узловых перемещений {U1}, и так называемые статические

формы, связывающие векторы {U1} и {U2} при статическом нагружении подконструкции в граничных узловых точках.

Исследования показали, что сокращенная динамическая модель должна давать точное решение статической задачи [2 – 4]. Только в этом случае она обладает приемлемой точностью. Поэтому включение статических форм в матрицу преобразования [T] является необходимым.

Обобщенная проблема собственных значений (1) для подкон-

Матрицы [M22] и [K22] имеют размер r × r, где r — число внутренних степеней свободы. Диагональная матрица собственных чисел [Λ22] содержит собственные числа, а матрица [Ф22] — собственные векторы подконструкции, закрепленной в граничных

9