Изучение электрических цепей переменного тока (90

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Оренбургский государственный университет

Кафедра общей физики

А.А. Чакак, А.В. Михайличенко

ИЗУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА

Рекомендовано к изданию Редакционно-издательским советом федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования Оренбургский государственный университет в качестве методических указаний для студентов, обучающихся по программам высшего профессионального образования по естественнонаучным и техническим специальностям и направлениям подготовки

Оренбург

2012

УДК 537: 621.3..011.7(076.5) ББК 22.33я7+31.211я7

Ч 16

Рецензент кандидат физико-математических наук, доцент А.Г. Четверикова

Чакак, А.А.

Ч 16 Изучение электрических цепей переменного тока: методические указания к лабораторным работам / А.А. Чакак, А.В. Михайличенко, Оренбургский гос. ун-т – Оренбург: ОГУ, 2012. – 31 с.

Методические указания предназначены для студентов естественнонаучных и технических специальностей и направлений подготовки, выполняющих лабораторные работы по курсу общей физики. В указаниях рассмотрены условия квазистационарности электрических процессов. Даны описания вынужденных электрических колебаний, закона Ома для цепи переменного тока; проанализированы резонанс напряжений и резонанс токов. Указания включают теоретическое изложение материала, описание методики проведения опыта и контрольные вопросы для самоподготовки.

Методические указания рекомендованы к изданию кафедрой общей физики ОГУ.

УДК 537: 621.3..011.7(076.5) ББК 22.33я7+31.211я7

Чакак А.А.,Михайличенко А.В., 2012

ОГУ, 2012

2

Содержание

3

Введение

1 Квазистационарные токи

При рассмотрении электрических колебаний приходится иметь дело с тока-

ми, изменяющимися со временем. Законы постоянного тока оказываются спра-

ведливыми и для изменяющихся (переменных) токов, если только изменение си-

лы тока происходит не слишком быстро. Если изменения тока настолько медлен-

ны, что за время установления электрического равновесия в цепи относительные изменения токов и ЭДС малы, то мгновенные значения токов и ЭДС будут под-

чиняться всем законам постоянного тока. Такие токи называют медленно меняю-

щимися или квазистационарными. Для квазистационарного тока мгновенные зна-

чения тока оказывается практически одинаковыми на всех участках цепи.

Отметим, что скорость установления электрического равновесия весьма ве-

лика, и поэтому под понятие квазистационарных токов подпадают в обычном смысле весьма быстрые процессы. Все технические переменные токи являются квазистационарными. Даже очень быстрые электрические колебания, применяе-

мые в радиотехнике, с частотами порядка миллиона колебаний в секунду, очень часто можно рассматривать как квазистационарные.

Из сказанного следует, что задачи на квазистационарные электрические про-

цессы можно решать при помощи законов постоянных токов, если применять эти законы к мгновенным значениям электрических величин. Однако при этом вместо алгебраических соотношений мы приходим к дифференциальным уравнениям,

интегрирование которых и даёт зависимость искомых величин от времени.

Чтобы процесс был квазистационарным, необходимо выполнение двух усло-

вий. Первое условие относится к процессам внутри проводника. Если в проводя-

щей среде возник избыточный объемный заряд с плотностью , то этот заряд под действием вызванного им самим поля будет уменьшаться с течением времени по закону:

4

В (1.1) 0 – объёмная плотность заряда в момент времени t = 0, а

где диэлектрическая проницаемость среды,

ее удельная электропроводность.

Время М называется временем релаксации Максвелла. Оно равно времени, в

течение которого объемный заряд уменьшается в е = 2,72 раза. Следовательно,

время релаксации Максвелла определяет порядок величины времени, в течение которого восстанавливается стационарность электрических процессов. Чтобы то-

ки можно было считать квазистационарными, характерное время рассматриваемо-

го неустановившегося процесса Т должно удовлетворять условию:

Если токи изменяются периодически (электрические колебания), то под Т следует понимать период колебаний и сформулированное условие квазистацио-

нарности примет вид:

где = 1/Т – частота колебаний.

Для изоляторов время релаксации Максвелла М минуты, для металлов М

10-17 с.

Второе условие накладывается на размеры контура ℓ. Дело в том, что при любом изменении электрического состояния в какой-либо части контура электри-

ческие возмущения распространяются вдоль контура с конечной скоростью v,

равной:

v = c /εμ .

Здесь c 3 108 м/с скорость света в вакууме, а и диэлектрическая и маг-

нитная проницаемости среды, окружающей проводники. Если ℓ – длина контура,

то время прохождения электромагнитного возмущения вдоль контура равно

5

Для периодически изменяющихся токов условие квазистационарности будет выполнено, если

где Т – период изменений тока,

= 1/Т – частота колебаний.

Вметаллах v c, и при размерах контура ℓ =3 м, время 10-8 с. Поэтому для этого контура токи можно считать квазистационарными вплоть до частот 106 Гц

(это соответствует периоду Т = 10-6 с).

В зависимости от свойств проводников одно из условий квазистационарно-

сти обычно гораздо сильнее другого, и поэтому лишь одно из них является опре-

деляющим. При изучении этой темы токи будем считать квазистационарными.

Это позволит нам использовать формулы, полученные в статических полях. В ча-

стности, закон Ома, справедливый в цепях постоянного тока, использовать для мгновенных значений квазистационарных токов.

2 Вынужденные электрические колебания (переменный электри-

ческий ток)

Рассмотрим последовательно процессы, происходящие в цепи переменного тока, содержащей резистор, конденсатор1 и катушку индуктивности2, считая ток в цепи квазистационарным. Пусть, сила тока в цепи изменяется по синусоидально-

му закону

1Конденсатор состоит из двух или более электродов (обкладок), разделённых диэлектриком. Толщина диэлектрика мала по сравнению с размерами электродов. Заряд q на обкладках конденсатора пропорционален напряжению U на конденсаторе: q = CU, коэффициент пропорциональности С – электроёмкость конденсатора.

2Индуктивность (коэффициент самоиндукции L): Электрический ток I, протекающий по контуру, создаёт вокруг него магнитное поле. Магнитный поток Ф, пронизывающий площадь, ограниченную контуром, пропорционален

силе тока I: Ф = LI, L индуктивность. ЭДС самоиндукции Е прямо пропорционален скорости изменения силы то-

dI

ка в контуре (катушке): Е = - L , L индуктивность (коэффициент самоиндукции). dt

6

Сравнивая выражение (2.4) с законом Ома для участка цепи, видим, что ве-

личина

играет роль сопротивления участка цепи, и ее называют (реактивным) ёмкостным сопротивлением. Как видно из (2.5) ёмкостное сопротивление ХС зависит от час-

тоты . В частности, для постоянного тока ( = 0) ХС , а для очень больших частот ( ) ХС 0.

3. Индуктивность L в цепи переменного тока (рисунок 3). Если бы сопротив-

ление катушки индуктивности было равно R, то закон Ома для неоднородного участка цепи записывается так:

UL = IR E.

На схеме R = 0, а ЭДС самоиндукции равна

E = LI .

Тогда

8

где

– амплитудное значение напряжения. Сравнивая выражения (2.1) и (2.6) видим,

что колебания напряжения на катушке индуктивности опережают по фазе колеба-

ния тока на /2. Это показано на векторной диаграмме (см. рисунок 3).

Сравнивая выражение (2.7) с законом Ома для участка цепи, видим, что ве-

личина

играет роль сопротивления участка цепи, и ее называют (реактивным) индуктив-

ным сопротивлением. Как видно из (2.8) индуктивное сопротивление ХL прямо пропорционально частоте . Поэтому для постоянного тока ( = 0) ХL = 0, а для очень больших частот ( ) ХL .

4. Закон Ома для цепи переменного тока. Рассмотрим цепь переменного тока,

состоящую из последовательно соединенных сопротивления R, ёмкости С и ка-

тушки индуктивности L (см. рисунок 4). В цепи протекает переменный ток, изме-

няющийся со временем по закону I(t) = I0sin t, и вызывающий на R, L, C соответ-

ствующие падения напряжения UR, UL, UC. Для получения амплитуды результи-

рующего напряжения на входе цепи воспользуемся векторной диаграммой на-

9

пряжений, используя результаты, изложенные ранее. На векторной диаграмме

(см. рисунок 4) отложены амплитуды падений напряжений на резисторе UR, ка-

тушке индуктивности UL, ёмкости UC.

Складывая UL и UC, получим одно гармоническое колебание, изображаемое вектором UP, имеющим модуль

где Х = (XL XC) – называют реактивным сопротивлением цепи.

XL и XC называют реактивными сопротивлениями потому, что в отличие от ак-

тивного сопротивления R, на XL и XC не выделяется джоулево тепло, которое, как известно, равно Q = I2Rt.

Полное напряжение U0 в цепи равно

менного тока или импедансом,

Up – реактивная составляющая напряжения,

UR – активная составляющая напряжения,

= 2 – циклическая частота колебаний,

– (линейная) частота колебаний.

Складывая Up и UR, получаем гармонические колебания напряжения в цепи:

10