Методические указания к лабораторным работам 2,3,4,5 по дисциплине «Моделирование биологических процессов и систем» (90

x1 = 0, x2 = 30 – начальное и конечное значения интервала времени t, внутри которого находится решение;

Z – матрица, содержащая значения решения уравнения и его производной в рассчитываемых точках – узлах сетки;

Z 1 – столбец, содержащий координаты узлов времени t;

Z 2 – столбец, содержащий значения решения y в этих узлах;

Z 3 – столбец, содержащий значения производной решения в этих узлах. Помимо самой программы на рис.1. представлены результаты решения в виде таблицы и графиков искомой функции y(t) и фазовой траектории системы

– зависимости y(x) имеет вид замкнутой кривой – искривленного эллипса рис.2.

Из рис.2. следует, что функции x(t) («жертвы») y(t) («хищники») имеют колебательный характер, причем максимум y(t) сдвинут по фазе относительно x(t) на определенную величину. Такой же характер имеют графики, построенные на основании экспериментальных данных при близком соблюдении условий существования биоценоза, положенных в основу уравнений Вольтера. Следовательно, развитие жизни при определенных условиях может носить колебательный характер.

Содержание отчета.

Отчет по лабораторной работе должен содержать:

1)краткую теоретическую часть, включающую в себя дифференциальные уравнения для описания данной модели;

2)программу расчета модели;

3)таблицу, содержащую значения решения уравнений в рассчитываемых точках;

4)результат решения модели по программе в виде графиков;

5)выводы по проделанной работе.

Контрольные вопросы

1)Что такое математическое моделирование, цели и задачи?

2)Опишите общий алгоритм математического моделирования.

3)Что такое имитационное моделирование?

4)Расскажите основные принципы имитационного моделирования.

5)Перечислите основные функции математического пакета программ

MathCAD, используемые для моделирования биологических систем.

6)Метод Рунге-Кутта.

7)Особенности построения модели Вольтера.

8)Составьте дифференциальные уравнения, описывающие модель биоценоза.

9)Докажите, что развитие жизни при определенных условиях может носить колебательный характер.

Библиографический список

1.Охорзин, В.А. Прикладная математика в системах MATHCAD: учебное пособие/В.А.Охорзин.-СПБ.:Лань,2009.-с.352.

2.Герман, И. Физика организма человека/ И.Герман.-М.:Интеллект,2011.-

с.992.

3.Дворецкий, С.И. Моделирование систем [ Текст ]/ С.И. Дворецкий, Ю.Л. Муромцев, В.А. Погонин, А.Г. Схиртладзе.-М.: Академия, 2009.-с.320

4.Советов, Б.Я. Моделирование систем. Практикум / Б.Я. Советов. – М.: Высшая школа, 2009.-с.295.

Лабораторная работа №3 « Моделирование процесса гликолиза».

Цель работы: закрепление знаний о функционировании биологических систем, полученных на лекциях по дисциплине «Моделирование биологических процессов и систем», приобретение навыков работы с

программным пакетом MATHCAD, составление программы расчета и ее решение для модели процесса гликолиза.

Рассмотрим живую клетку, в которой в процессе гликолиза происходят колебания концентрации реагентов протекающей биохимической реакции. Сам гликолиз представляет собой сложную цепь химических реакций, приводящих к расщеплению молекул глюкозы и синтезу вещества, с помощью которого клетка пополняет запасы энергии. Всякий раз, когда живая клетка черпает энергию, происходят концентрационные колебания. Вычисленные согласно теории периоды этих колебаний и необходимые значения концентраций реагентов, участвующих в процессе гликолиза, удовлетворительно согласуются с биохимическими экспериментами.

Процесс гликолиза, распадающийся на несколько стадий, в упрощенном виде может быть описан с помощью двух нелинейных дифференциальных уравнений, предложенных Дж. Хингинсом:

dx		1 xy,
dt					(1.6)
			1
dy		y(x
				),
dt			y

где x, у — безразмерные переменные, определяющие концентрации участвующих в реакции реагентов; , — постоянные коэффициенты,

влияющие на скорость протекания реакции.

Программа решения уравнений (1.6) приведена на рис.3. Результаты решения по программе при 100, 10 (1-й случай) и 10, 10 (2-й

случай) в виде графиков зависимостей концентраций реагентов от времени x(t)=U(t) и y(t)=V(t), а также фазовые портреты системы х(у)=U(V) приведены на рис.4.

ORIGIN 1 10

x 2

2

100

		1 x1			x2
F(t x)				x	1
x
	2			1	x2
							t:= X<1>	U:= X<2> V:=X<3>

Рис.3.Программа расчета процесса гликолиза

X rkfixed

Рис.4. Результаты расчета по программе MATHCAD

В первом случае процесс гликолиза носит колебательный характер, во втором - затухающий колебательный. Изменяя параметры легко найти их бифуркационные значения, означающие переход от одного вида колебаний к другим. Так, при =10=const система из состояния стационарных автоколебаний переходит к затухающим при 17 . В первом случае — при стационарных колебаниях — фазовый портрет имеет устойчивый предельный

цикл в виде замкнутой кривой по форме, близкой к треугольнику, во втором — при затухающих колебаниях — в виде сворачивающейся спирали с устойчивым фокусом. Затухание колебаний связано с ограниченным количеством исходного вещества, расходуемого в процессе реакции.

Период колебаний Т в системе в определенной зоне изменения параметров и слабо зависит от их значений. Так, в рассматриваемых примерах значение Т=2,35. Такое постоянство периода колебаний позволяет ввести такое понятие, как «химические часы». Во многих случаях при протекании химических реакций периодические колебания концентраций реагентов перерождаются в хаотические, а затем вновь возвращаются к периодическому характеру колебаний.

Содержание отчета.

Отчет по лабораторной работе должен содержать:

1)краткую теоретическую часть, включающую в себя дифференциальные уравнения для описания данной модели;

2)программу расчета модели;

3)таблицу, содержащую значения решения уравнений в рассчитываемых точках;

4)результат решения модели по программе в виде графиков;

5)выводы по проделанной работе.

Контрольные вопросы

1)Что такое математическое моделирование, цели и задачи?

2)Опишите общий алгоритм математического моделирования.

3)Что такое имитационное моделирование?

4)Расскажите основные принципы имитационного моделирования.

5)Перечислите основные функции математического пакета программ MathCAD, используемые для моделирования биологических систем.

6)Метод Рунге-Кутта.

7)Что такое фазовый портрет.

8)Особенности построения модели процесса гликолиза.

9)Какие параметры влияют на характер протекания процесса гликолиза? 10)Что такое «химические часы»?

Библиографический список

1)Охорзин, В.А. Прикладная математика в системах MATHCAD: учебное пособие/В.А.Охорзин.-СПБ.:Лань,2009.-с.352.

2)Герман, И. Физика организма человека/ И.Герман.-М.:Интеллект,2011.-

с.992.

3)Дворецкий, С.И. Моделирование систем [ Текст ]/ С.И. Дворецкий, Ю.Л. Муромцев, В.А. Погонин, А.Г. Схиртладзе.-М.: Академия, 2009.-с.320

4)Советов, Б.Я. Моделирование систем. Практикум / Б.Я. Советов. – М.: Высшая школа, 2009.-с.295.

Лабораторная работа №4. «Математическая модель кросскатализа».

Цель работы: закрепление знаний о функционировании биологических систем, полученных на лекциях по дисциплине «Моделирование биологических процессов и систем», приобретение навыков работы с программным пакетом MATHCAD, составление программы расчета и ее решение для модели кросскатализа.

В биологии важное место занимает класс каталитических реакций, называемый кросскатализом, т.е. «перекрестным» катализом. Схема одной из таких реакций представлена на рис. 5 .

Согласно схеме рис.5 химическая реакция протекает следующим образом: из вещества А образуется вещество X, превращаемое затем в Е, не реагирующее ни с одним из реагентов и выводимое из реакции.

Реагент Y, получаемый из X, одновременно участвует в создании X, что графически отображается с помощью петель обратной связи. Исходные концентрации всех веществ, участвующих в реакции, заданы.

A	X	E		A	X
			B	B+X	Y+D
				2X+Y	3X
				X	E

Y D

Рис.5. Структурная схема кросскатализа
Следующая система дифференциальных уравнений, разработанная	И.

Пригожиным и его сотрудниками и получившая название «брюсселятор» (по месту работы авторов уравнений в г. Брюсселе), является математической моделью химической реакции, приведенной на рис. 5:

dx			a (b 1)x x	2	y,
	dt
dy					(1.7)
		2
			bx x y,
dt

где х, у — меняющиеся в процессе протекания реакции концентрация реагентов X, Y; а, b — исходные концентрации реагентов А, В, влияющие на скорость и характер протекающей реакции.

Программа решения уравнений (1.7) приведена на рис.6, а результаты решения по ней при а = 1 и трех значениях b = 4, 3 и 1,9 — на рис.7. Расчеты

по программе и анализ полученных результатов показывает, что характер протекающего в системе процесса зависит от дискриминанта ∆ = а2 -b. При ∆>∆кр процесс изменения концентраций X, Y носит затухающий характер и система приходит в стационарное состояние, означающее постоянство концентрации веществ X, Y, определяемое условиями dx/dt=0 и dy/dt = 0. При ∆<∆ кр в

системе начинается автоколебательный процесс, связанный с колебаниями концентраций веществ X, Y с определенным периодом Т. Границе между двумя данными состояниями химической системы соответствует значение ∆кр = - 1 при а=1. Сказанное подтверждается графиками, построенными на рис.7. Фазовый портрет системы Y(X), приведенный на том же рис.7, показывает, что периодическому колебательному процессу соответствует устойчивый предельный цикл, затухающему — устойчивый фокус.

ORIGIN 1 a 1 b 3

y

2

1.4

y1

y1

2

y2

a (b 1)

F(t y)

y

2

b y

y

1

1

2

Z rkfixedy( 0 50 5001 F)

t:=Z<1>

X:=Z<2>

Y:=Z<3>

Рис.6. Программа расчета модели «брюсселятор»

Важно заметить, что характер протекающих в системе процессов не зависит от начальных условий. В заключение отметим, что автоколебательные процессы помимо рассмотренных систем свойственны и многим другим биологическим и химическим структурам. При известных математических моделях этих систем анализ протекающих в них процессов может проводиться по аналогичным программам.

Рис.7. Результаты расчета по программе MATHCAD Содержание отчета.

Отчет по лабораторной работе должен содержать:

1)краткую теоретическую часть, включающую в себя дифференциальные уравнения для описания данной модели;

2)программу расчета модели;

3)таблицу, содержащую значения решения уравнений в рассчитываемых точках;

4)результат решения модели по программе в виде графиков;

5)выводы по проделанной работе.

Контрольные вопросы

1)Что такое математическое моделирование, цели и задачи?

2)Опишите общий алгоритм математического моделирования.

3)Что такое имитационное моделирование?

4)Расскажите основные принципы имитационного моделирования.

5)Перечислите основные функции математического пакета программ MathCAD, используемые для моделирования биологических систем.

6)Метод Рунге-Кутта.

7)Что такое фазовый портрет.

8)Что такое кросскатализ?

9)Особенности моделирования химических реакций.

Библиографический список

1)Охорзин, В.А. Прикладная математика в системах MATHCAD: учебное пособие/В.А.Охорзин.-СПБ.:Лань,2009.-с.352.

2)Герман, И. Физика организма человека/ И.Герман.-М.:Интеллект,2011.-

с.992.

3)Дворецкий, С.И. Моделирование систем [ Текст ]/ С.И. Дворецкий, Ю.Л. , Муромцев, В.А. Погонин, А.Г. Схиртладзе.-М.: Академия, 2009.-с.320

4)Советов, Б.Я. Моделирование систем. Практикум / Б.Я. Советов. – М.: Высшая школа, 2009.-с.295.

Лабораторная работа №5 « Моделирование аритмии сердца». Цель работы: закрепление знаний о функционировании биологических

систем, полученных на лекциях по дисциплине «Моделирование биологических процессов и систем», приобретение навыков работы с программным пакетом MATHCAD.

В 1928 г. голландские ученые Ван-дер-Поль и Ван-дер-Марк разработали динамическую модель сердца в виде трех связанных между собой автогенераторов. С помощью созданного устройства ученые пытались моделировать некоторые болезни сердца, в том числе и аритмию. Повторим такое исследование с помощью компьютерного моделирования трех связанных автогенераторов А-1, А-2, А-З (рис.8).