Теория электрической связи. Лабораторные работы (90

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию

Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова Кафедра динамики электронных систем

Е.И. Кротова

Теория электрической связи

Лабораторные работы

Методические указания

Рекомендовано Научно-методическим советом университета для студентов, обучающихся по направлению

Телекоммуникации

Ярославль 2008

1

УДК537.1 ББК 388–01я73

К 83

Рекомендовано Редакционно-издательским советом университета

в качестве учебного издания. План 2008 года

Рецензент кафедра динамики электронных систем

Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова

Кротова, Е.И. Теория электрической связи. Лабора-

К83 торные работы: метод. указания / Е.И. Кротова ; Яросл. гос. ун-т. – Ярославль: ЯрГУ, 2008. – 44 с.

Методические указания включают в себя методику выполнения четырех лабораторных работ.

Описание каждой работы содержит цель, краткую теорию по исследуемому вопросу, описание лабораторной установки, методику выполнения лабораторной работы, расчетные формулы для обработки экспериментальных данных, список контрольных вопросов.

Методические указания содержат описание методики обработки результатов измерения с помощью компьютерной программы в ходе выполнения данного цикла лабораторных работ.

Предназначены для студентов, обучающихся по направлению 210400 Телекоммуникации (дисциплина «Теория электрической связи», блок ОПД), очной и заочной форм обучения.

УДК537.1 ББК 388–01я73

♥ Ярославский государственный университет, 2008

2

Лабораторная работа № 1

Исследование согласованного фильтра для прямоугольного видео- и радиоимпульса

Цель работы: исследование статистических характеристик согласованного фильтра для прямоугольных видео- и радиоимпульсов.

Оборудование: персональный компьютер ПК.

Краткая теория

Врадиосвязи, радиолокации и других системах передачи информации сигнал, предназначенный для передачи полезных сообщений, в процессе передачи маскируется помехами и подвергается искажениям.

Предположим, что в отсутствие помех и искажений сигнала на выходе приемника точно воспроизводится переданное сообщение. Тогда при наличии помех и искажениях сигнала сообщение на выходе того же приемника будет воспроизводиться не точно, а с искажениями. Приемник, для которого искажения сообщения в определенном смысле минимальны, называется оптимальным или идеальным (наилучшим) в этом смысле.

Этот минимальный уровень искажений часто называют потенциальной помехоустойчивостью.

При заданных условиях радиоприема потенциальная помехоустойчивость не может быть превзойдена реальным радиоприемником и можно лишь стремиться к ее достижению.

Взависимости от целевого назначения разные системы передачи информации работают в различных условиях и к ним предъявляются разные требования. Исходя из этих требований, а также из методических соображений, для типовых систем условно можно сформулировать шесть частных задач, рассматриваемых в теории. Основные задачи теории оптимальных методов радиоприема:

1. Обнаружение сигнала.

2. Различение сигналов.

3

3.Оценка параметров сигнала.

4.Фильтрация сообщения.

5.Разрешение сигналов.

6.Распознавание образов.

Собственный шум радиоприемника и тепловые шумы окружающего пространства складываются линейно с полезным сигналом на входе приемника. Помехи, которые складываются (суммируются) с сигналом линейно, называются аддитивными помехами.

Для простоты будем считать шум белым. Это предположение существенно упрощает математические вычисления.

В дальнейшем будем предполагать, что полезный сигнал s(t,λ) принимается на фоне аддитивного белого шума n(t) с нулевым математическим ожиданием, т.е. колебание ξ(t), принятое на конечном интервале времени Т, представляет собой случайный процесс

где N – односторонняя спектральная плотность шума; δ(х) – дельта функция.

Оптимальный линейный фильтр

В отличие от линейных фильтров, предназначенных для оптимальной фильтрации случайных сигналов по критерию минимума среднего квадрата ошибки, оптимальные и согласованные линейные фильтры применяются при обнаружении и различении детерминированных сигналов, причем критерием оптимальности применения таких фильтров является получение на выходе фильтра максимально возможного отношения пикового значения сигнала к среднеквадратическому значению помехи.

Получим выражения с комплексной частотной и импульсной характеристикой оптимального фильтра.

4

Пусть на вход искомого линейного фильтра с комплексной частотной характеристикой К(jω) воздействует сумма полностью известного сигнала s(t) и помехи n(t), представляющей собой стационарный в широком смысле случайный процесс с известной

спектральной плотностью Sn(jω).

Обозначим полезный сигнал на выходе фильтра через sв(t) и помеху на выходе через nв(t). Известно, что если на вход линейной системы с комплексной частотной характеристикой К(jω) воздействует сигнал s(t), имеющий комплексный спектр

−∞

то комплексный спектр сигнала на выходе фильтра определяется произведением S(jω)| К(jω)|2, а сам выходной сигнал – выражением

Спектральная плотность помехи на выходе фильтра определяет выражением Sn(jω)| К(jω)|2. Поэтому дисперсия помехи на выходе фильтра равна

На основании (4) и (5) получаем выражение для отношения сигнал-помеха по мощности на выходе фильтра в некоторый момент времени t0:

−∞

Задача заключается в том, чтобы найти такую функцию К(jω), при которой отношение (6) в некоторый момент времени t0 достигает максимума. Эта задача может быть решена с помощью неравенства Шварца – Буняковского. Неравенство Шварца – Буняковского гласит, что если имеются две произвольные, в общем случае комплексные функции f(х) и g(х), то выполняется соотношение

5

причем знак равенства имеет место в том и только в том случае, когда

где с0 – некоторая постоянная; f (х) – функция, комплексно сопряженная f(х).

Запишем неравенство (7) в виде следующего отношения

Отсюда следует, что максимально возможное значение отношения сигнал помеха определяется правой частью этого соотношения, т. е. величиной

Согласно (8) это значение достигается лишь при выполнении условия

K( jω ) Sn ( jω ) = c0 S ( jω )e− jωt0 / 2πSn (ω )

или

где с – некоторая постоянная; t0 – момент времени, соответствующий наибольшему отношению пикового значения сигнала к среднеквадратичному значению помехи. Зная комплексную час-

6

тотную характеристику оптимального фильтра (12), по известной формуле можно найти импульсную характеристику.

Таким образом, комплексная частотная характеристика оптимального линейного фильтра определяется формулой (12), а наибольшее отношение сигнал-помеха – формулой (11).

Согласованный линейный фильтр

Согласованный фильтр – линейный фильтр, на выходе которого получается максимально возможное пиковое отношение сигнал-шум при приеме полностью известного сигнала на фоне гауссовского белого шума.

Применимы полученные формулы из предыдущего раздела к данному случаю. Для этого нужно положить Sn(ω) = N/2 = const.

Тогда, например, формулы (11) и (12) примут соответственно

ванного фильтра пропорциональна амплитудно-частотному спектру входного сигнала (амплитудно-частотная характеристика согласована со спектром сигнала), а фазочастотная характеристика равна сумме фазочастотного спектра сигнала, взятого с обратным знаком, и фазового спектра задержки (-ωt0).

Подставив в (4) частотную характеристику (14), получаем выражение сигнала на выходе согласованного фильтра

7

Отсюда видно, что сигнал на выходе согласованного фильтра определяется только амплитудно-частотным спектром входного сигнала и не зависит от его фазочастотного спектра. Последнее объясняется тем, что взаимные фазовые сдвиги спектральных составляющих входного сигнала компенсируются фазочастотной характеристикой фильтра. Поэтому все гармонические составляющие одновременно достигают амплитудных значений в момент времени t=t0 и, складываясь, дают пик выходного сигнала

Следовательно, импульсная характеристика согласованного фильтра целиком определяется формой сигнала (согласована с сигналом). Чтобы представить себе функцию h0(t), обратимся к рисунку. На рис. 1 изображен импульсный сигнал s(t) длительностью τи, появившийся в момент времени t=τ0 . Очевидно, что функция s(t0+t) появляется на время t0 раньше, чем сигнал s(t). Функция же s(t0-t) является зеркальным отображением функции ks(t0+t ) относительно оси ординат.

Умножив функцию s(t0-t) на коэффициент k, получаем импульсную характеристику согласованного фильтра (20).

Рис. 1. Импульсная характеристика согласованного фильтра

8

Если на вход согласованного фильтра (20) воздействует принятое колебание

ξ(t) = s(t,λ) + n(t), 0≤ t ≤ T,

то напряжение на выходе согласованного фильтра можно представить в виде

где q0s(t,λ) и q0n(t,λ) – сигнальная и шумовая функции:

∞

q0s (t,λ )= 2 / N s(t0 − t + τ ,λ )s(τ ,λ0 )dτ ,

−∞

(22)

∞

q0n (t,λ )= 2 / N s(t0 − t + τ ,λ )n(τ )dτ .

−∞

Из (21) видно, что выходное напряжение согласованного фильтра представляет собой взаимокорреляционную функцию между принятым колебанием ξ(t) и входным полезным сигналом s(t,λ).

Из (21) и (22) видно, что сигнал s0(t)= (kN/2)q0s(t,λ) на выходе согласованного фильтра с точностью до постоянного множителя представляет собой «корреляционную функцию» входного полезного сигнала, причем наибольшее значение выходного сигна-

Эта формула показывает, что корреляционная функция выходного шума имеет вид «корреляционной функции» входного

Из формул (23) и (25) находим отношение наибольшего значения выходного сигнала к среднеквадратическому значению выходного шума:

пропускания согласованного фильтра (14), равная эффективной ширине спектра сигнала. Мощность шума на входе в эффективной полосе пропускания согласованного фильтра равна Pn = N f, а мощность сигнала на входе фильтра равна Рs = Е/τu,

где τu – эффективная длительность сигнала.

Подставив отдельные величины в формулу (26), получим

Произведение fτu часто называют базой сигнала. При заданной энергии сигнала Е и равномерной спектральной плотности шума N увеличение τu или f порознь не оказывает непосредственного влияния на отношение сигнал-шум на выходе согласованного фильтра; это отношение можно увеличить за счет увеличения базы сигнала.

Иногда для аппроксимации реальных импульсных сигналов используют бесконечно длинные импульсы (гауссовский, экспоненциальный и другие).

Согласованные фильтры, по существу, решают задачу – обеспечивать получение на выходе максимально возможного пикового отношения сигнал-шум. Однако схемная реализация согласованной фильтрации оказывается различной.

В практических приложениях выбор согласованной фильтрации в основном определяется простотой реализации.

Согласованные фильтры являются оптимальными, когда прием осуществляется на фоне гауссовского белого шума и полезный сигнал полностью известен. Конечно, в практических ситуациях эти условия не выполняются. Из-за причин различной природы параметры радиосигнала, как правило, являются случайными величинами или процессами. Однако эти отклонения не исключают использование согласованных фильтров в качестве важных элементов в устройствах оптимального обнаружения и

10