Элементы алгебры в курсе математики для учащихся начальных классов

УДК 37

ББК 74.202.42 К 89

Рецензенты: старший преподаватель ПНО и ВПГПУ

Ю. Ю. Скрипова,

зав. кафедрой математики и физики, кандидат педагогических наук, доцент СГПИ

Л. Г. Шестакова.

Кузьминова, В. И.

К89 Элементы алгебры в курсе математики начальных классов [Текст] : учебно-

методическое пособие / В. И. Кузьминова; ГОУ ВПО «Соликамский государственный педагогический институт». – Соликамск: СГПИ, 2011. – 48 с. – 100 экз.

Пособиепредназначенодлястудентов-бакалавров,обучающихсяпонаправлению 050700 – «Педагогика», профиль 050707 – «Начальное образование».

Пособие нацелено на углубление и обобщение методических знаний студентов по одному из вопросов частной методики – изучения алгебраического материала в курсе математики, а также на систематизацию типов заданий, которые необходимо использовать в процессе усвоения детьми элементов алгебры.

УДК 37

ББК 74.202.42

Рекомендовано к изданию РИСо СГПИ. Протокол № 17 от 10.12.2010 г.

©Кузьминова В. И., 2011

©ГОУ ВПО «Соликамский государственный педагогический институт, 2011

Содержание

Введение

Данное учебно-методическое пособие предназначено для студентов-бакалавров, обучающихся по направлению 050700 – «Педагогика», профиль 050707 – «Начальное образование». Рекомендуется как для очного, так и для заочного отделения.

Пособие посвящено изучению одного из вопросов дисциплины «Теоретические основы и технологии начального математического образования» – методике изучения элементов алгебры в начальном курсе математики.

В пособии даны краткие исторические сведения о зарождении алгебры как науки, раскрыты общие положения, связанные с изучением алгебраического материала в начальной школе. В пособии описана методика обучения младших школьников отдельным вопросам (числовые выражения, числовые равенства и неравенства, буквенные выражения, уравнения и неравенства с одной переменной), выделены типы заданий, которые необходимо использовать при уточнении представлений об основных понятиях алгебры.

Восполняя недостаток в учебно-методической литературе по дисциплине «Теоретические основы и технологии начального математического образования», учебное пособие углубляет и обобщает знания студентов, позволяя сформировать правильный подход к изучению элементов алгебры и умение самостоятельно работать с учебно-методической литературой.

Из истории алгебры

Любой выпускник средней школы на вопрос, чему его научили на уроках алгебры, наверняка скажет: «Решать уравнения и задачи с помощью уравнений». Современные ученые придерживаются той же точки зрения на содержание алгебры. Французские математики Александр Гротендик (родился в 1928 г.) и Жан Дьедоне (родился в 1906 г.) в статье «Элементы алгебраической топологии» пишут: «Можно утверждать, что решение полиноминальных уравнений послужило исторически источником алгебры и что со времени вавилонян, индусов и Диофанта и до наших дней оно остается одной из её основных целей».

Цели алгебры оставались неизменными на протяжении тысячелетий – решались уравнения: сначала линейные, потом квадратные, затемкубические,апозжеуравненияещебольшихстепеней.Ноформа, в которой описывались алгебраические результаты, менялась до неузнаваемости. Древние египтяне излагали свои алгебраические познания в числовой форме. В папирусах, которые дошли до нас, решаются задачи практического содержания: вычисляются площади земельных участков, объёмы сосудов, количества зерна и т.д. Все задачи с конкретными числовыми данными, но в некоторых из них уже проскальзывает теоретический интерес. Например, задача из па- пирусаКахуна(околоXVIII–XVIдон.э.):«Найтидвачислах и у,для

которых x2 + y2 = 100и x÷ y=1÷ 43» (в современных обозначения).

В папирусах она решена методом «Ложного положения». Именно,

Значительные успехи в развитии алгебры были достигнуты в Древнем Вавилоне. Там решались уравнения первой, второй и даже отдельные уравнения третьей степени. Способы решения конкретных уравнений дают основания считать, что вавилоняне владели и общими правилами нахождения уравнений первой и второй степени.

Все задачи и их решения излагались в словесной форме. В одной из клинописных табличек встречается такая задача: «Я вычел из площади сторону моего квадрата, это 870». Нетрудно догадаться, что речь идёт о квадратном уравнении x2 - x = 870.

Но эти достижения ещё нельзя назвать наукой, поскольку общей теории не было.

Совсем другой вид приняла алгебра в Древней Греции. Со времени кризиса, вызванного открытием несоизмеримых отрезков, у древних греков вся математика приобрела геометрическую форму. Древнегреческие математики работали не с числами, а с отрезками. Любые утверждения и доказательства имели право на существование только в том случае, если они давались на геометрическом языке. Например, соотношение, которое мы записываем в виде формулы (a + b)2 = a2 + 2ab + b2, в «Началах» Евклида формируется так: «Если отрезок AB разделен точкой С на два отрезка, то квадрат, построенный на AB, равен двум квадратам на отрезках АС и СВвместе с удвоенным прямоугольником на АС и СВ». После этого дается длинное доказательство этого факта на геометрическом языке.

Геометрический подход к математике отражал, вероятно, определенные черты духовной жизни древних греков. Греки создали непревзойденные скульптуры, удивительные по своему совершенству храмы и другие архитектурные сооружения, пропорции которых строго математическивыверены.Этостремлениеккрасоте,гармоничности, соразмерности, способствовало геометризации математики. Геометрический путь был гениальной находкой античных математиков, но он сдерживал развитие алгебры. Алгебраические методы, ростки которых возникли в более ранних цивилизациях, в Древней Греции не получили развития.

Выделениеалгебрывсамостоятельнуюветвьматематикипроизошло в арабских странах, куда после распада Римской империи переместился центр научной деятельности. К концу VIII в. в результате захватнических войск арабы покорили почти все страны Средиземноморья, а на Востоке их владения простирались до самой Индии. Многие арабские халифы для укрепления своего могущества и славы поощряли развитие наук. В Багдаде, столице халифата, создаются новые условия для работы ученых.

Здесь открыто много библиотек, построен Дом мудрости, при нём оборудована прекрасная обсерватория. Арабские математики на

первых парах усердно изучают труды древнегреческих авторов и достижения индийских учёных. В Доме мудрости работал выдающийся узбекский учёный первой половины IX в. Ал-Хорезми. Его полное имя - Мухаммед ибн Мусса ал-Хорезми ал-Маджуси, что означает Мухаммед сын Музы из Хорезма из родов магов. Сохранились его сочиненияпоарифметике,астрономии,географии,календарнымрасчетам. Наиболее значительным является его трактат по алгебре. Здесь он впервые разработал правила преобразования уравнений. Трактат назывался «Краткая книга о восполнении и противопоставлении». В XII в. труд ал-Хорезми был переведен на латинский язык и долгое время оставался в Европе основным руководством по алгебре. Арабское название операции восполнения «ал-джебр» и дало название области математики, связанной с искусством решения уравнений.

Вслед за ал-Хорезми решению уравнений посвящают свои труды многие арабские учёные. В XI в. знаменитый математик Омар Хайям описал геометрическое решение уравнений третьей степени. Занимался кубическими уравнениями и ал-Бируни. В XV в. работал замечательный математик и астроном ал-Каши. Он изучал уравнения четвертой степени. Арабов интересовало и численное значение корней.

После успешного решения уравнений 3-й и 4-й степени математики пытались найти формулы решений уравнений более высоких сте- пеней.Феррарирешалуравнения4-йстепени.ЭрендридВальтерфон Чирнгауз (1651 – 1708), Самуэль Бринг (1736 – 1798 г.г.) вели поиски решения уравнений пятой степени. Проблемой решения уравнений пятой степени в 30-е годы XVIII в. занимался величайший из математиков этого века Леонард Эйлер. Позже продолжил исследования в этом направлении другой выдающийся математик XVIII в. Жозеф Луи Лагранж. Его исследованиями теория алгебраических уравненийбылапоставленанаправильныерельсы:вседотехпоризвестное получается с единых позиций, четко выделены трудности.

Большой вклад в историю решения алгебраических уравнений внесли Нильс Хенрик Абель (1802 г.р. – 1829 г.), Эварист Галуа (1811 г.р. – 1833 г.), жизнь которых оборвалась в раннем возрасте. Но труды их были не напрасны. Эти гениальные юноши построили фундамент современной алгебры.

Общая характеристика методики изучения алгебраического материала

Введениеэлементовалгебрывначальныйкурсматематикипозволяет с самого начала обучения вести планомерную работу, направленную на формирование у детей таких важнейших математических понятий, как алгебраическое выражение (числовое выражение, буквенное выражение), равенство (числовое равенство, уравнение), неравенство (числовое неравенство, неравенство с одной переменной). Ознакомление с буквой и её использованием как символа, обозначающего отвлеченное число из известной детям области чисел, создает условия для обобщения многих из рассматриваемых в начальном курсе вопросов арифметической теории, является хорошей подготовкой к ознакомлению детей в дальнейшем с понятиями «переменная», «функция», способствует развитию у детей функционального мышления. Алгебраическая пропедевтика позволяет осуществлять преемственность в обучении алгебраическому материалу между начальной школой и средним звеном (5 – 7 кл.), готовит к усвоению материала систематического курса алгебры в среднем (7 – 9 кл.) и старшем звеньях образования.

В основе организации процесса усвоения учащимися алгебраического материала лежат следующие положения:

–алгебраические понятия вводятся в курс математики начальной школы в тесной взаимосвязи с изучением арифметического материала и получают свое развитие в зависимости от его содержания;

–включение алгебраического материала в начальный курс математики должно, прежде всего, способствовать формированию у школьников абстрактного мышления и тем самым повышать уровень усвоения ими арифметических вопросов.

Числовые выражения

Числовые (арифметические) выражения входят в систему обучения математике довольно рано, как только младшие школьники начинают знакомство с цифрами как способами именования вполне определенных конкретных чисел. При этом дети делают шаги по пути овладения математической символикой и математическим языком. В то же время, записывая число определенной последовательностьюцифр,ребенокначинаетзнакомствосотвлеченнымчислом.Над такими отвлеченными числами можно производить арифметические действия, независимо от природы числа.

Рассматриваячислакаксистемузнаков,следуетпомнить,чтооперации над ними подчиняются точно сформулированным правилам. В этой системе и строятся числовые выражения, они составляются из числовых знаков (имен чисел) и знаков арифметических действий. Каждое число есть числовое выражение. Если два числовых выражения соединить знаком действия, то полученная запись также есть числовое выражение.

Младшие школьники знакомятся с терминами «сумма», «разность», «произведение», «частное». В словарь учащихся вводятся названия арифметических действий, их компонентов (сложение, вычитание, умножение, деление, слагаемое, вычитаемое, уменьшаемое, делимое). Помимо терминологии, они должны также усвоить и некоторые элементы математической символики, в частности, знаки действий (плюс, минус). Эта работа осуществляется при изучении смысла арифметических действий.

Далееполезнопровестиобобщениематериала.Сэтойцельюнужно раздать детям «арифметический конструктор». Он представляет собой набор цифр, знаков арифметических действий, букв, знаков математическихотношений>,<,=.Детямпредлагаетсярассмотреть содержимое «конструктора» и распределить на группы детали. Далее учащиеся рассказывают, что они знают о каждой группе объектов. Затем детям предлагается из чисел и знаков арифметических

действий «сконструировать» математические объекты 5 + 4; 9 2 + +3 – 1 7 + 12 : 4 (каждый придумывает и записывает их в тетрадь), по 8 – 10 таких выражений. Затем преподаватель учит выделять род (записи) и вид (состоящие из чисел, соединенных знаками арифметических действий) и предлагает сформулировать определение понятия«числовоевыражение».Послеэтогонужнонаучитьраспознавать такие выражения среди различных объектов, тем самым школьники учатся выделять главное, существенное и формулировать определение данного понятия. Затем предлагается снова рассмотреть все полученные выражения и распределить их на группы по определенному признаку. Варианты: выражения соединены одним знаком 8 – 3 и более, чем одним (25 3 – 12). Удобно в данном случае одну группу выражений назвать простыми, а другую сложными (составными). При этом дети обобщают, углубляют знания о простых числовых выражениях.

Так как математика описывает не непосредственно наблюдаемые предметы, явления, а абстрактные понятия, связанные с практикой, то переход от непосредственной практики к математическому описанию некоторой ситуации затруднен. Чтобы такой подход осуществить, нужно уметь выделить в рассматриваемой ситуации существенные с некоторой точки зрения характеристики, остающиеся неизменными во всех одинаковых ситуациях, отбросить все то, что несущественно, и перевести на математический язык.

Рассмотримвариантзакрепленияпредставленийопростыхчисловых выражениях на примере углубления знаний о понятии «сумма».

I. Рассматривается задача: «У Коли 5 марок, ему подарили ещё 2 марки». Выделяются несущественные признаки данной реальной ситуации. Что неважно, несущественно в этом описании? (Какие марки

удетей, какова стоимость этих марок, где хранятся, откуда взялись эти марки?) А что важно, существенно в данном описании? (Сколько марок стало у Коли?)

Важна количественная характеристика. Дети выполняют предметные действия. Выложить слева столько квадратов, сколько марок

уКоли, справа столько квадратов, сколько марок ему подарили. Что сделалисмарками–подарили.Показатьнапредметах:+придвинуть объекты справа. Больше или меньше стало марок? (Больше). Далее детям предложить построить графическую модель, а затем перейти

кматематическому описанию

5 + 2.

Аналогично рассматриваются ещё 3 – 4 подобные ситуации.

•В аквариуме было 5 рыбок, туда пометили ещё 2-х рыбок.

•В альбоме по рисованию у Вити 5 рисунков о войне, он нарисовал ещё 2 рисунка.

•В вазе лежало 5 груш, ещё положили 2 груши.

•Таня вымыла 5 тарелок, а потом ещё 2.

Дети закрепляют умение выделять существенное, отбрасывать несущественное на данный момент, выполнять предметные действия, от них переходить сначала к графическому, а затем к математическому описанию.

Далее учитель предлагает выделить сходство и отличие данных ситуаций.

Что общего, чем отличаются?

5 + 2 карточка появляется на доске.

II. Теперь предлагается рассмотреть другой вид реальной ситуации.

В букете 3 василька и 5 ромашек. Что несущественно? (Где рвали цветы, каких они размеров, где находится букет и т.д.) Что существенно, важно? (Общая численность. Сколько всего цветов.)

Дети выполняют предметные действия. Учитель предлагает слева выложить столько квадратов, сколько васильков в букете, справа столько кругов, сколько ромашек в букете, а затем объединить объекты. Задается вопрос: больше или меньше теперь объектов? (Больше).

Далее дети под руководством учителя от предметных действий переходят сначала к графическому, а затем к математическому описанию.

3 + 5.

Аналогично рассматриваются 3 – 4 подобные ситуации.

*В пенале 3 карандаша и 5 ручек.

*В вазе 3 яблока и 5 груш.

*На столе стоят 3 кружки и 5 стаканов.

*На полке 3 альбома и 5 книг.

Затем учитель предлагает выделить отличия и сходства ситуаций

3 + 5 , карточки выставляются на доске.

III. Предлагается рассмотреть еще такой вид ситуаций.

Внашем доме 6 этажей, а в другом на 3 этажа больше. Что несущественно? (Где находятся дома, что в них расположено и т.д.). Что существенно? (Последовательное приписывание к элементам одного множества элементов другого множества). (Множества упорядочены).

Дети снова выполняют предметные действия. Учитель предлагает выложить в верхний ряд столько кругов, сколько этажей в одном доме, а в нижний на 3 круга больше. Сколько объектов стало во 2 ряду? (Больше).

Дети от предметных действий переходят сначала к графическому,

азатем к математическому описанию.

6 + 3.

Аналогично рассматриваются 3- 4 ситуации

•Для постройки башни Аня взяла 6 кубиков, а Алёна на 3 больше.

•Длина одного ужа 1 метр, а другого на 2 больше.

•Высота березы 6 метров, а сосны на 3 метра больше.

Учитель предлагает сравнить ситуации и выяснить, чем они от-

личаются, а чем похожи. На доске появляется карточка 6 + 3 . (Больше на – это столько, сколько . . . да ещё).

IV. Предлагается такой жизненный сюжет. Катя нарисовала 7 флажков, а Саша на 2 флажка больше. Что неважно, несущественно? (На какой бумаге рисуют дети, какого они размера и т.д.). А что важно? (Продвижение по натуральному ряду на столько шагов вправо от первого числа, каково второе число).

7 и 2 характеризуют место в последовательности, на котором остановились действия по рисованию флажков, причем Саша продвинулся на 2 флажка больше.

.

Дети выполняют действия с предметами, затем строят графическую модель, а затем математическую модель. На доске появляется

карточка 7 + 2 .

Аналогично рассматриваются ещё несколько подобных ситуаций.

•Таня вымыла 7 кружек, а Лена на 2 кружки больше.

•Миша сорвал 7 орехов, а Антон на 2 ореха больше.

•Вера сорвала с грядки 7 ягод клубники, а Катя на 2 ягодки больше. Эти ситуации сравниваются детьми. Они выделяют отличие, а за-

тем сходство. Уточняют, что это математическое описание подобных ситуаций. Далее учитель предлагает рассмотреть все записи на карточках, которые появились на доске. Дети учатся видеть отличие и сходство. (Это числовые выражения. Числа соединены одним знаком арифметического действия +, следовательно, это просто числовые выражения).

Дети вспоминают, что такие выражения называются суммой чисел. Используются словарные карточки, выделяются компоненты.

сумма

1е слагаемое

2е слагаемое

Учатся читать выражения по-разному:

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Учитель обращает внимание на двоякий смысл термина «сумма»:

сумма – это результат действия сложения; сумма – это само выражение.

Условия данного факта представляют для младших школьников определенную трудность. (Найдите сумму чисел 9 и 1, запишите сумму чисел 9 и 1).

В результате такого целенаправленного обобщения учащиеся усваивают смысл понятия «числовое выражение», «простое числовое выражение», «сумма».

Затем через комплекс специального подобранных заданий закрепляются представления о сумме:

Какие два числа из круга в сумме дают 10? Какие два числа из круга в сумме дают 5?

Какие два числа из круга в сумме дают 14? Какие два числа из круга в сумме дают 10?

* Машина делает «числовые сардельки»:

Машина сломалась, числа выходят в неправильном порядке, их надо переставить и разложить «по сарделькам»:

* Найти для каждой пары суммы равную пару из овала:

Понятие «разность», «произведение», «частное» могут быть закреплены по аналогии с закреплением понятия «сумма».

Далее учащиеся знакомятся с числовыми выражениями, содержащими два и более арифметических действия при усвоении вычислительных приёмов:

± 2, ± 3, ± 1. Они решают примеры вида 3 + 1 + 1; 6 – 1 – 1; 2 + 2 + 2 и др., вычисляя, например, значение первого выражения, ученик поясняет: «К трём прибавить один, получится четыре, к четырем прибавить один, получится пять». Тем самым дети постепенноготовятсяквыводуправилаопорядкедействийввыражениях,

содержащих действия одной ступени (позже действия разных ступеней и со скобками).

Процесс обобщения знаний о сложных числовых выражениях и о правилах выполнения действий над ними осуществляется позже (II, III, IV кл.).

При этом работу рекомендуется организовать поэтапно.

I этап. Детям предлагается «сконструировать» сначала простые числовые выражения и закрепить знания о них, а затем сложные числовые выражения, например:

Учащиеся записывают подобные выражения в тетради.

Затем детям даются описания ряда жизненных ситуаций: они по конкретному описанию строят математическую модель, записывая её в тетради. Например:

* В альбоме было 12 марок. Туда положили 3 марки, затем достали 4 марки, потом еще 2, затем еще 3 марки. Опять положили 5 марок, еще 3 марки, снова достали 6 марок, положили 1 марку и потом еще 4 марки:

12 + 3 – 4 – 2 – 3 + 5 + 3 – 6 + 1 + 4 .

* В вазе лежало 8 конфет. Дети съели сначала 2, а потом 3 конфеты. В вазу добавили 5 конфет, затем 2 и 4. Снова съели сначала 1 конфету, а потом 2 конфеты. Опять добавили 1 конфету, а затем съели 8 конфет:

8 – 2 – 3 + 5 + 2 + 4 – 3 – 1 – 2 + 1 – 8 .

Дети сравнивают записи, выделяют отличия, сходство. Делают вывод, что такие числовые выражения являются сложными, что они содержаттолькодействиясложенияивычитания(т.е.действияодной ступени). Надо определить значения выражения.

Когда дети учатся описывать ситуации на математическом языке, они видят и понимают, что действия надо выполнять в той последо - вательности, в которой они происходили.

Для более прочного осознания данного факта можно научить детей строить графическую модель выражений. Например, дано выра-

жение 8 – 4 + 1 – 3 = 2 .

Построить график

или по данному графику восстановить числовое выражение

После выполнения подобных заданий младшие школьники формулируют правило:

«Если числовое выражение содержит только действия сложения или вычитания, то действия выполняются в том порядке, в котором они записаны слева направо».

Вданномслучаепроисходитнемеханическоезаучиваниеправила,

аего осознанное восприятие. С целью закрепления порядка действий в подобных случаях предложить задания.

* Расставьте порядок действий:

Расставьте порядок действий, впишите числа и определите значение выражения.

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

II этап. Далее дети практически овладевают другими правилами порядка выполнения действий в выражениях, содержащих скобки.

Школьники по заданию учителя записывают в тетради числовые выражения, описывающее определенную жизненную ситуации, например:

Ввазу положили 3 яблока и 4 груши, затем два фрукта взяли.

3 + 4 – 2 Как показать, что сначала положили фрукты? (Обвести овалом). Дети, рассуждая, какие фрукты могли быть взяты, получают и такие записи:

• Составьте граф данного выражения

По данному графу восстановить выражение

Данные задания способствуют осознанию детьми нового правила

ипоследующей грамотной формулировке ими этого правила.

III этап. Далее обобщаются знания учащихся о правиле порядка выполнения действий в выражениях, не имеющих скобок, и содержат действия умножения и деления.

Работу можно организовать так.

Детям предложить записать в тетрадь готовые числовые выражения и дать указание «Найдите лишнее выражение»:

•18 : 2 × 4 : 6 × 5 × 2 : 10;

•44 × 2 : 4 × 3;

•95 : 5 × 2 × 2;

•98 – 4 + 5 – 9.

Затем предлагается рассмотреть оставшиеся записи. Выяснить, чем они отличаются, а чем похожи.

Эти числовые выражения содержат только действия умножения и деления. После выполнения заданий вида «Расставьте порядок действий, постройте графическое выражение» и др. дети формулируют правило (аналогично 1 правилу).

Уточняются задания о действиях умножения и деления – «сильные» действия – это действия I ступени.

Сложение и вычитание – «слабые» действия – это действия II ступени.

IV этап. Обобщая знания о правилах выполнения действий в выражениях, не имеющих скобок и содержащих действия разных ступеней, работу можно организовать по-разному, например, так.