Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Владимирский государственный университет им. Столетовых

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие по дисциплине «Алгебра и геометрия». Тестовые задания (90

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

1.19 Mб

Скачать

☆

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

Федеральное агентство связи

Государственное федеральное образовательное учреждение высшего профессионального образования

ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ

ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕЧНАЯ СИСТЕМА

Самара

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО СВЯЗИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ

Кафедра высшей математики

Блатов И.А., Сергиевская И.М. УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

ПО ДИСЦИПЛИНЕ

Алгебра и геометрия

Тестовые задания

Самара

ПГУТИ

2011

УДК 621.391

Блатов И.А., Сергиевская И.М. Алгебра и геометрия. Учебное пособие. Тестовые задания. - Самара: ГОУВПО ПГУТИ, 2011. - 55 с.

Учебное пособие включает краткие теоретические сведения и тестовые задания разной степени сложности по разделам линейной алгебры, аналитической и дифференциальной геометрии.

Учебное пособие может быть использовано для самостоятельной работы и подготовки к тестированию.

Редактор:

Старожилова О.В. – к.т.н., доц., доцент кафедры высшей математики ПГУТИ Рецензент:

Головкина М.В. – к.ф.-м.н., доц., доцент кафедры физики ПГУТИ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики

Блатов И.А., Сергиевская И.М., 2011

Содержание

Введение……………………………………………………………4

Теоретические сведения.

Комплексные числа………………………………………………..5

Определители. Матрицы. Решение систем линейных алгебраических уравнений. Линейные преобразования……………...……………………………………...5 Векторная алгебра …………………………………………………6

Системы координат на плоскости и в пространстве. Прямая на плоскости. Плоскость и прямая в пространстве.………………………………………………………..7

Кривые и поверхности второго порядка.………………………………………………………………9

Алгебраические структуры. Квадратичные формы.………………………………..................................................9

Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей.………………………………………………………11

Тестовые задания.

Комплексные числа………………………………………………..12

Определители. Матрицы. Решение систем линейных алгебраических уравнений. Линейные преобразования……………...……………………………………..16 Векторная алгебра …………………………………………………30

Системы координат на плоскости и в пространстве. Прямая на плоскости. Плоскость и прямая в пространстве.……………………………………………………….34

Кривые и поверхности второго порядка.……………………………………………………………..38

Алгебраические структуры. Квадратичные формы.………………………………………………………………42

Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей.………………………………………………………46 Литература……………………………………………………….....55

Введение

Курс «Алгебра и геометрия» является одним из основных при подготовке программистов. Большая часть специальных дисциплин базируется на понятиях и методах линейной алгебры и аналитической геометрии.

Кроме того, знания алгебры и геометрии используются и в дисциплинах математического цикла.

В настоящее время применяются формы контроля знаний студентов в виде тестов. Данное пособие может помочь организовать тестовый контроль знаний студентов специальностей 230105 «Программное обеспечение вычислительных

иавтоматизированных систем», 230201 «Информационные системы и технологии», поскольку написано в соответствии с Государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования по названным специальностям. Пособие может быть использовано и студентами других специальностей в кусе математики.

Тестовые задания затрагивают такие разделы курса как комплексные числа, определители, матрицы, системы линейных алгебраических уравнений, линейные преобразования, векторная алгебра, системы координат на плоскости

ив пространстве, прямая на плоскости, плоскость и прямая в пространстве, кривые и поверхности второго порядка, алгебраические структуры, квадратичные формы, дифференциальная геометрия кривых и поверхностей.

Теоретические сведения. Комплексные числа.

Если z1 x1

iy1 , z2

iy2 , то

iy1

iy2

Модуль комплексного числа z

x iy

вычисляется по формуле

y2 (так

же вычисляется

полярный радиус

точки

M x, y в

полярной

системе

координат).

Аргумент

комплексного

числа

вычисляется

по

формуле

arctg xy , (x, y) в I и IV четверти, arctg xy , (x, y) во II и III четверти.

Тригонометрическая форма комплексного числа z

cos

i sin .

Показательная форма комплексного числа z

ei .

Определители.

Матрицы.

Решение

систем

линейных алгебраических

уравнений. Линейные преобразования.

Определитель второго порядка

a11

a12

a11a22

a12 a21 .

a21

a22

Определитель

третьего

порядка

a11

a12

a13

a21

a22

a23

a11a22a33 a12a23a31

a21a32a13

a13a22a31

a31

a32

a33

a12 a21a33

a23a32 a11.

Правило Крамера

решения

системы

линейных

алгебраических

уравнений.

где

- определитель

системы,

определитель

неизвестного

x ,

определитель

неизвестного

y ,

определитель

неизвестного z .

Алгебраическое дополнение элемента

матрицы A

1 i

j M

, где M

минор элемента aij (получается из матрицы A вычеркиванием строки i и

столбца

j ).

Пусть дана матрица A

aij

m n

. Тогда элемент матрицы C A cij aij .

Пусть даны матрицы

aij

bij

Тогда элемент матрицы C

m n

cij

aij

bij .

Пусть даны матрицы

aij

bij

Тогда элемент матрицы

m k

cij

aik bkj .

l 1

a11

a12

a13

A11

A21

A31

Пусть матрица

A a

. Тогда обратная матрица A 1

a31

a32

a 33

A13

A23

A 33

	a11	a12	a13
где	a21	a22	a23	, а Aij - алгебраическое дополнение элемента aij .
	a31	a32	a33

Ранг матрицы – наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.

Собственные значения матрицы A вычисляются из уравнения

Линейное преобразование плоскости

R2 определяется матрицей

A .

Линейное

преобразование

переводит

векторы

базиса

и e2

в векторы

f1 и f2

соответственно ( Aei

Векторная алгебра.

Даны точки A x1, y1, z1

x2 , y2 , z2 . Тогда вектор a

x1; y2

y1; z2

z1 .

Дан

вектор

a ;a ;a

. Длина вектора

a2 .

Вектор

a1; a2 ; a3 .

Даны

векторы

a1;a2 ;a3 ,

b1;b2 ;b3 .

Тогда

вектор

b3 .

a b a1 b1; a2

b2 ;a3

Скалярное произведение векторов

Векторное произведение векторов

и b

ab a1b1

a2b2

a3b3 .

и b

a b

Даны векторы a

a1;a2 ;a3 , b

b1;b2 ;b3 , c

c1; c2 ; c3 . Смешанное произведение

векторов

, b ,

abc

Векторы

и b

коллинеарны тогда и только тогда, когда a

b .

перпендикулярны тогда и только тогда, когда a

0 .

Векторы

и b

компланарны тогда и только тогда, когда

Векторы

, b ,

abc 0 .

Площадь треугольника, построенного на

векторах

, приложенных к

одному началу,

Объем тетраэдра, построенного на векторах a , b , c , приложенных к одному

началу, V	1		.
		abc
	6

Системы координат на плоскости и в пространстве. Прямая на плоскости. Плоскость и прямая в пространстве.

Каноническое уравнение прямой на плоскости Ax By D 0 .

n1n2

Каноническое уравнение плоскости Ax

0 .

Канонические уравнения прямой в пространстве

Расстояние от точки

x0 , y0

до прямой Ax By

Ax0

By0

A2 B2

Расстояние

между

точками

A x1, y1, z1

B x2 , y2 , z2

2 .

Расстояние

от

точки

x0 , y0 , z0

до

плоскости

Cz D 0

Ax0

By0

Cz0

Прямые

параллельны тогда и только

тогда, когда

Прямые

y1 z

только тогда, когда m1m2

Плоскость Ax By Cz D

только тогда, когда Am

Плоскость

тогда и только тогда, когда.

x x2

y y2

z z2

перпендикулярны тогда и

p1 p 2

0 .

0 параллельна прямой

z z1

тогда и

0 .

перпендикулярна

прямой

y1 z z1

Кривые и поверхности второго порядка.

Каноническое уравнение эллипса

Каноническое уравнение гиперболы

Каноническое уравнение параболы y2 2 px .

Каноническое уравнение цилиндрической поверхности с образуюшими, параллельными оси Oz F x, y 0 .

Каноническое уравнение конуса

0 .

Каноническое уравнение эллипсоида

1 .

Каноническое уравнение эллиптического параболоида

2z .

Каноническое уравнение гиперболического параболоида

2z .

Каноническое уравнение однополостного гиперболоида

1 .

Каноническое уравнение двуполостного гиперболоида

Алгебраические структуры. Квадратичные формы.

Полугруппа

– это множество с операцией, аналогичной

сложению или

умножению, обладающей свойством ассоциативности (

a, b

a(bc)

(ab)c или

a (b c) (a

c ). Группа G – это множество с

бинарной

операцией,

аналогичной сложению или умножению, обладающей свойством

ассоциативности ( a, b, c

G a(bc)

(ab)c или

b) c ). В

группе

обязательно

есть

нейтральный

элемент

e (

обладающий

свойством

( a

a a

G ),

для

любого

элемента

группы

найдется

обратный

(противоположный)

элемент:

G a 1 aa 1

a 1a e

( a

a a

(

Если

операция

обладает

свойством

коммутативности

(

a, b

G ab

или

a, b

G a

b b

a ),

то

группа

называется абелевой.

Кольцо

K –

это

множество

двумя

бинарными

операциями,

удовлетворяющими свойствам:

a, b, c K a (b c)

(a b)

c ,

K ,

a K

a a ( a)

a a

a, b

K a

a .

a, b, c K a(b c)

ab ac ,

a, b, c K (a b)c ac bc .

Если выполняется свойство

a, b, c K a(bc)

(ab)c ,

то кольцо называют ассоциативным. Если к тому же выполняется

a, b ab

ba ,

кольцо ассоциативно-коммутативно. А если в таком кольце

a 1 aa 1

a 1a e ,

то кольцо называется полем.

Умножение

подстановок

на

множестве

осуществляется

по

правилу

s1 * s2 (x) s2 (s1 (x)) .

Матрица квадратичной формы – квадратная симметричная матрица, элементы на главной диагонали равны коэффициентам при квадратах, а элементы aij aji

и равны половине коэффициента при произведении xi xj .

Если собственные значения матрица квадратичной формы только

положительны	(только	отрицательны,	все	неотрицательны,	все
неположительны,	знаконеопределенны) то		квадратичная форма называется
					9

положительно определенной (отрицательно определенной, положительно полуопределенной, отрицательно полуопределенной, знаконеопределенной.

Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей.

u, v

Уравнение

касательной

плоскости

поверхности

u, v

, имеет

вид

u, v

Y y

0 . Уравнения нормали

Уравнение

касательной

плоскости

поверхности

x, y, z

0 имеет

вид

x Fx

y Fy

z Fz

0 . Уравнения нормали

Кривизна кривой вычисляется по формуле

. Кручение кривой

Тестовые задания.

Комплексные числа.

Выражение

, где i

2i .

i .

мнимая единица, равно

i .

…

i .

Выражение

, где

i .

мнимая единица, равно

i .

…

i .

2i .

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]