388

Министерство образования Российской Федерации Омский государственный университет

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН

Лабораторный практикум (для студентов физического факультета)

специальность 010400 «Физика»

УДК 528.1 О23

Рекомендовано к изданию учебно-методическим советом ОмГУ. Протокол № 1 от 28 апреля 2004 г.

О23 Обработка результатов измерения физических вели-

чин: Лабораторный практикум (для студентов физического факультета) / Сост.: Г.М. Серопян, И.С. Позыгун. – Омск:

Омск. гос. ун-т, 2004. – 20 с.

Материал соответствует Государственному образовательному стандарту по специальности 010400 «Физика».

Может быть использован студентами других специальностей.

УДК 528.1

© Омский госуниверситет, 2004

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН

Измерением называется определение значения физической величины опытным путем. Значение величины, найденное таким способом, называется результатом измерения. Измерения классифицируются на прямые и косвенные.

Прямым называется измерение, при котором искомое значение величины находится непосредственно из опыта путем отсчета по шкале измерительного прибора, например: измерение длины линейкой, определение температуры тела термометром и т. д.

Косвенным называется измерение, при котором искомое значение величины находят на основании известной зависимости между этой величиной и величинами, подвергаемыми прямым измерениям, например: определение плотности тела по его геометрическим размерам и массе, определение силы тока по напряжению и сопротивлению и т. д.

Как известно, никакое измерение не может быть выпол-

нено абсолютно точно, поэтому результат измерения в той или иной мере отклоняется от истинного значения измеряемой величины. Разница между результатом измерения и истинным значением измеряемой величины называется абсолютной погрешностью измерения и определяется формулой:

xi = xi – X,

где Х – истинное значение измеряемой величины; хi – результат i-того измерения; xi – абсолютная погрешность i-того измерения.

Наряду с абсолютной погрешностью используется относительная погрешность ε, равная отношению абсолютной погрешности к истинному значению измеряемой величины:

εi = xi / X.

Существует три типа погрешностей: систематические, случайные и промахи.

Систематическими называются погрешности, величина которых не меняется при повторении измерений данной величины при тех же способах измерения. Систематические погрешности возникают в тех случаях, когда не учитывается влияние на результаты эксперимента различных постоянно действующих факторов, например: температуры, давления, сопротивления подводящих проводов и т. д. Источником систематических погрешностей может быть также неточность градуировки измерительного прибора или его неисправность.

Случайными называются погрешности, величина и знак которых меняется непредсказуемым образом при повторных измерениях данной величины в тех же условиях. Источником случайных ошибок может быть и сам экспериментатор из-за несовершенства органов его чувств. Так, например, результаты повторных измерений периода колебаний математического маятника с помощью очень точного секундомера обязательно окажутся несколько отличными друг от друга вследствие того, что моменты нахождения маятника в соответствующих фазах отклонения фиксируются неточно: при пуске секундомера экспериментатор может несколько замешкаться при его остановке или, наоборот, поспешить. Случайные погрешности отклоняют результат то в одну, то в другую сторону от истинного значения измеряемой величины, поэтому результаты большого числа измерений симметрично располагаются относительно Х.

ским результатом серии измерений. Так как при большом числе измерений величина x очень мала, то можно считать, что x X . Чем больше n, тем точнее выполняется это равенство.

Промах – это грубая погрешность, вызванная невнимательностью экспериментатора (неверный отсчет показаний прибора, описка при записи показаний и т. д.). Промахи могут сильно исказить результаты измерений, особенно в тех случаях, когда их число невелико. Их следует исключать из результатов измерений.

НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПОГРЕШНОСТЕЙ

Если погрешности носят чисто случайный характер, то по результатам измерений можно оценить вероятности их появления. Пусть х1, х2…хn – результаты отдельных измерений. Примем, что n достаточно велико, и при оценке погрешностей будем считать, что

Определив погрешности xi, рассортируем их по величине. Для этого весь диапазон полученных значений xi разобьем на малые одинаковые интервалы Δε и подсчитаем, сколько раз величина ошибки попадает в каждый интервал. Если в интервале номер «k» оказалось заключено nk значений погрешности, то вероятность попадания погрешности в этот интервал

В большинстве случаев распределение погрешностей соответствует так называемому нормальному закону, найденному Гауссом. Согласно гауссову распределению, плотность вероятности y

где σ2 – некоторый постоянный параметр, называемый дисперсией распределения. Вид кривой распределения, соответствующий некоторому значению σ, показан на рис. 1.

Рис. 1. Кривая распределения Гаусса

вероятности случайных погрешностей

P(Dxk) = y(Dxk)·De.

Численно эта вероятность равна площади черного прямоугольника под точкой С с основанием Δε (см. рис. 1). Вероятность того, что модуль погрешности не превзойдет некоторого значения, изобразится площадью заштрихованной фигуры АВС с основани-

ем 2 xk.

На рис. 2 представлены кривые распределения, соответствующие разным σ. Как видно, с ростом σ максимум кривой распределения понижается, а ее «крылья» поднимаются. Это означает, что с ростом σ вероятность малых погрешностей уменьшается, а

вероятность больших растет. Следовательно, чем больше дисперсия распределения σ2, тем меньше точность измерений.

Рис. 2. Влияние дисперсии на вид кривой распределения

вероятностей случайных погрешностей

Следует отметить, что кривая y( xi) характеризует не конечную серию измерений, а совокупность бесконечного числа измерений данной величины в одних и тех же условиях.

СРЕДНЕКВАДРАТИЧНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ

Пусть х1, х2…хn – результаты некоторой серии n измерений, проведенных в одинаковых условиях. Как уже подчеркивалось, величина случайной погрешности непостоянна и меняется от опыта к опыту. Возникает необходимость охарактеризовать погрешности результатов отдельных измерений данной серии некоторой средней величиной. Иногда в качестве такой характеристики используют среднюю арифметическую погрешность:

Однако удобнее использовать так называемую среднеквадратичную погрешность выборки Sn, определяемую формулой:

Можно показать, что при достаточно большом числе измерений Sn σ и, следовательно, дисперсия распределения

Таким образом, дисперсия распределения приблизительно равна среднему квадрату погрешности отдельных измерений, найденному при достаточно большом числе n. Для генеральной совокупности (n → ∞) равенство (5) выполняется точно. Из него следует, что величина дисперсии зависит от условий, в которых проводятся измерения: чем благоприятнее условия измерений, тем меньше разброс результатов и меньше дисперсия.

СРЕДНЕКВАДРАТИЧНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ СРЕДНЕГО

Допустим, что мы провели серию n измерений некоторой величины х, результаты которых равны х1, х2,…хn. Наилучшим приближением к истинному значению является величина

x = 1 ån xi , n i=1

называемая средним выборочным значением измеряемой величины. Если серию по n измерений в каждой повторить m раз, то мы получим m значений x , несколько отличающихся друг от друга и от истинного значения Х измеряемой величины. Погрешности xk = xk − X являются случайными и, так же как погрешности

отдельных измерений xi = xi – Х, подчиняются гауссову распределению, но с другой дисперсией σ x2 <σ 2 . Величина σ x2 , называе-

мая дисперсией среднего, является мерой погрешности среднего значения x , найденного в серии из n измерений. В теории погрешности доказывается, что

Таким образом, среднеквадратичная погрешность среднего результата n измерений в n1/2 раз меньше среднеквадратичной погрешности отдельных измерений.

ДОВЕРИТЕЛЬНЫЙ ИНТЕРВАЛ И ДОВЕРИТЕЛЬНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ

Как уже указывалось, для любой конечной выборки x ≠Х. Практически очень важно оценить возможную величину отклонения среднего значения x от истинного Х, т. е. x –Х. Интервал x ± Х, в который с заданной вероятностью α попадает истинное значение Х измеряемой величины, называется доверительным, соответствующим вероятности α. Вероятность α называется также

доверительной вероятностью или надежностью. Величина Х характеризует точность оценки. Чем меньше разность x –Х, тем выше точность.

Надежность, соответствующую заданной точности Х, можно вычислить теоретически, воспользовавшись гауссовым распре-

делением, если известна дисперсия σ x2 . Так как σ x2 = σ2/n, то на-

дежность, соответствующая заданной точности Х, растет с ростом числа измерений и величины дополнительного интервала. Если n мало, то используют распределение, выведенное Госсетом (псевдоним «Стьюдент»).

Враспределении Стьюдента плотность распределения

вероятностей рассматривается как функция величины

Распределение Стьюдента зависит от n и при n→∞ переходит в распределение Гаусса.

Вычислив по результатам измерений Sx и задав величину

X, можно найти t и α, соответствующие данному n. Или, наоборот, задав надежность α, можно вычислить tα,n и соответствующую

точность X = tα,n· Sx при данном значении n. Соответствующие

друг другу значения α и tα,n при разных n приводятся в специальных таблицах (см. приложение 1). На практике задание величины

X определяется конкретными условиями. В лабораторных условиях обычно довольствуются надежностью α = 0,90; 0,95.

Для оценки доверительного интервала прямых измерений предлагается следующий порядок:

1.Провести серию измерений изучаемой величины Х и оценить среднее выборочное x по формуле:

x= 1 ån xi . n i=1

2. Найти абсолютную погрешность единичного измерения хi : xi = xi – x .

3.Определить среднюю квадратичную ошибку среднего арифметического:

X= S x × tα ,n .

5.Записать доверительный интервал для истинного значения измеряемой величины:

СОВМЕСТНЫЙ УЧЕТ СИСТЕМАТИЧЕСКОЙ И СЛУЧАЙНОЙ ПОГРЕШНОСТЕЙ

Строгий учет систематической погрешности является затруднительным. Если систематическая погрешность обусловлена точностью прибора, то можно оценить верхнюю границу возможных ошибок, зная класс его точности. Если точность, обусловленная случайной погрешностью – Х, а величина систематической погрешности – δ, то величина суммарной точности Х* определяется формулой:

где kα = tα(∞) – коэффициент Стьюдента при n = ∞.

Существует два способа оценки погрешности косвенного измерения. В большинстве случаев имеют дело с косвенными измерениями. Пусть x, y, z – непосредственно измеряемые величины, а W = f(x, y, z) – их функция, т. е. величина, измеряемая косвенно. Рассмотрим два способа оценки погрешности величины W.

1-й способ: если косвенные измерения проводятся в невоспроизводимых условиях, то значения Wi вычисляются для каждого отдельного измерения, а затем обрабатываются как прямые измерения.

2-й способ: позволяет вычислить погрешность косвенного измерения как функцию погрешностей прямых измерений. Далее остановимся подробнее на этом способе.

ПОГРЕШНОСТЬ КОСВЕННОГО ИЗМЕРЕНИЯ

Обрабатывая прямые измерения, мы находим их выборочные средние значения x, y, z …, являющиеся, как было показано выше,

искомой функции, будет также случайной величиной. Задача, как и в случае прямых измерений, состоит в том, чтобы определить, с какой вероятностью искомая величина W может быть заключена в некотором заданном интервале W± W.

В общем случае эта задача весьма сложна, и мы ограничимся лишь ее приближенным решением.

Очень часто бывает удобно вычислить относительную погрешность результата косвенного измерения

εW = dWW .

Если W = W(x) – функция одной переменой, тогда относительная погрешность определяется как

т. е. для нахождения εW необходимо сначала прологарифмировать выражение W(x), а затем продифференцировать его по х. В случае многих переменных можно, как и для абсолютных погрешностей, ввести частные относительные погрешности, равные:

ε z = ¶¶х lnW × Dz .

Тогда общая относительная погрешность определится как

Расчет погрешности по формулам (10) и (11) особенно удобно производить в случае, когда функция имеет одночленную (ло-

гарифмическую) формулу. Пусть, например, W = A x4y , где А –

константа. Используя правило (10), имеем: lnW = ln A + 4ln x − 12 ln y,

ε = 16x2 × Dx2 + 41y2 × Dy2 ;

Замечание. Прежде чем сделать расчет по формуле (11), произведите оценку относительных погрешностей по отдельным аргументам, вычисленных по формулам (10). Если при этом отдельные частные погрешности меньше максимальной хотя бы в три раза, ими можно пренебречь. В таком случае общая формула (11) значительно упростится.

Определив относительную погрешность ηW, можно рассчитать абсолютную погрешность (точность) по формуле:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ ТЕЛА ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ФОРМЫ

Цель работы: статистическая обработка результатов измерения плотности тела цилиндрической формы.

Приборы и оборудование: тело цилиндрической формы, штангенциркуль, микрометр, весы.

Порядок выполнения работы

1.Измерить высоту h и диаметр основания d цилиндрического тела.

2.Измерить массу тела m весами.

3.Измерения по пунктам 1 и 2 провести не менее 10 раз.

4.Рассчитать плотность тела ρ по формуле:

ρ = 4m .

πd 2 h

5.Рассчитать погрешность прямых измерений высоты, диаметра и массы тела.

6.Рассчитать погрешность косвенного измерения плотности тела.

7.Сравнить измеренное значение плотности вещества исследуемого тела со справочными данными.

РЕКОМЕНДАТЕЛЬНЫЙ БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Жукова И.С., Бутина Л.И., Крылова С.И. Введение в лабора-

торный практикум по курсу общей физики. Петрозаводск: Изд-во Петрозаводск. гос. ун-та, 1999.

2.Деденко Л.Г., Керженцев В.В. Математическая обработка и оформление результатов эксперимента. М.: Изд-во МГУ, 1977.

3.Зайдель А.Н. Ошибки измерения физических величин. Л.: Нау-

ка, 1974.

4.Кассандрова О.Н., Лебедев В.В. Обработка результатов измерений. М.: Наука, 1970.

5.Соловьев В.А., Яхонтова В.Е. Элементарные методы обработки результатов измерений. Л.: Изд-во ЛГУ, 1977.

Приложение 1

Значения коэффициентов Стьюдента

Приложение 2

Некоторые правила оформления лабораторных работ

По результатам каждой лабораторной работы в рабочей тетради составляется отчет, который должен включать:

1.Краткую формулировку идеи метода, расчетную формулу, пояснение физического смысла входящих в нее символов.

2.Таблицы с результатами измерений и расчетов.

3.Статистическую обработку результатов измерений.

4.Выводы.

При построении графиков необходимо соблюдать ряд правил:

1.Графики нужно строить только на миллиметровой бумаге.

2.На осях необходимо нанести масштабную сетку, указать единицы измерения и символы изображаемых величин.

3.Масштаб должен быть простым, удобным для отсчета его долей. Например, 1 см = 0,1; 1; 2 или 10 единиц. Кроме того, масштаб выбирают так, чтобы все экспериментальные точки вошли в график и достаточно далеко отстояли друг от друга. Иногда для этой цели бывает удобно сместить вдоль осей начало отсчета. Масштаб по осям Х и У может быть различен.

4.Экспериментальные точки следует наносить с максимальной точностью так, чтобы они четко выделялись на фоне графика, не сливаясь с ним.

5.График должен представлять собой плавную кривую без изломов и перегибов. Нужно стремиться провести кривую так, чтобы экспериментальные точки равномерно распределялись по обе стороны от нее.

Примечание. Приводя значение измеренной величины, проверьте, согласуется ли порядок приведенных значащих цифр с по-

рядком погрешности. Порядок последней значащей цифры из-

меренной величины и порядок погрешности должны быть одинаковы! Например, запись Е = (18451,27 ± 20) 107 Па неграмотна. Величина ошибки свидетельствует о том, что неуверенно определяется уже четвертый знак, поэтому результат должен быть соответственно округлен: Е = (18450 ± 20) 107 Па.

Учебно-практическое издание

Составители Г.М. Серопян, И.С. Позыгун

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН

Лабораторный практикум (для студентов физического факультета)

специальность 010400 «Физика»

Технический редактор М.В. Быкова

Редактор Л.Ф. Платоненко

Подписано в печать 21.05.04. Формат бумаги 60х84 1/16. Печ. л. 1,25. Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 200 экз. Заказ 312.

Издательско-полиграфический отдел ОмГУ 644077, г. Омск-77, пр. Мира, 55а, госуниверситет