Математические основы теории принятия решений

цессы электрифицированы и автоматизированы. Электромагнитные излучения и быстрые частицы обладают ионизирующей способностью, опасной для человека, и их воздействие необходимо подчинять количественным ограничениям.

XX век – век стремительного развития химических производств. Многие химические вещества обладают опасным и вредным для человека действием. Способы количественного ограничения определённых химических веществ в воде, в воздухе, в продуктах питания и т.д. основаны, в частности, на понятии предельно допустимых концентраций химических веществ.

Всвязи с возникновением атомных технологий появилась новая наука – радиационная химия. Добыча, переработка и широкое использование радиоактивных материалов в производственных процессах (и в медицине) – всё это также требует соблюдения определённых норм и правил. В 1949 году были разработаны и законодательно утверждены нормы радиационной безопасности.

ВXXI веке решение глобальных оптимизационных задач в области безопасности жизнедеятельности с неизбежностью должно учитывать такие ограничения, как недостаток продовольствия, пресной (в том числе питьевой) воды, а также ограниченность запасов

полезных ископаемых, энергетических и других видов ресурсов, а также учитывать нормативные экологические требования в связи с загрязнением окружающей человека среды.

Все нормативные и законодательные документы в области безопасности жизнедеятельности разрабатываются на основе научных исследований. При их разработке, в частности, приходится решать оптимизационные задачи, включающие в себя ограничения в виде числовых неравенств. Теоретическую базу современной теории управления составляет математическая теория принятия решений, включающая в себя математическое программирование, теорию игр, статистические методы принятия решений, а также многочисленные подходы к принятию решений на основе новейших математических моделей.

11

1.2. Из истории математической теории принятия решений

Отыскания наилучшего решения на основе единственного числового критерия не всегда было таким простым делом, каким оно кажется теперь, когда теоретические основы методов программирования преподаются студентам не только математических специальностей, но также студентам экономических и технических направлений вузов.

Истоки методов современного математического программирования следует искать во Франции, где в XVI веке бурно развивались начала математического анализа, опиравшиеся на недавно распространившиеся по Европе понятия дифференциального и интегрального исчислений.

Основу математической теории принятия решений заложили теоремы об экстремальных значениях функций. В самом начале XVII века знаменитый французский математик (и юрист) Пьер Ферма сформулировал и доказал необходимые условия существования (безусловного) локального экстремума для функций одной действительной переменной. Спустя полтора века французский математик Ж. Лагранж разработал теорию и метод решения задач на условный экстремум для функции многих (действительных) переменных. Дополнительные условия заключались в том, что искомое экстремальное решение должно было удовлетворять серии ограничений в виде равенств. Метод Лагранжа сводится к построению вспомогательной функции, названной позднее в его честь функцией Лагранжа, и отысканию точек безусловного экстремума этой функции. Метод Лагранжа получил своё развитие при исследовании задач вариационного исчисления и математического программирования.

К задачам математического программирования относится транспортная задача. Транспортная задача, как задача поиска потока минимальной стоимости на транспортной сети, является частным случаем так называемых сетевых задач, которые также могут решаться методами математического программирования. По существу,

12

сетевой анализ восходит к задаче о мостах Кёнигсберга, которые нужно было обойти, пересекая реки так, чтобы на каждом мосту появиться только один раз. Эта задача в 1736 году впервые была решена великим математиком Л. Эйлером, почти всю свою долгую жизнь проработавшим в Санкт-Петербурге.

В 30-х годах XX века советский учёный А.Н. Толстой впервые сформулировал транспортную задачу как задачу о перевозках и разработал своеобразный метод её решения для случая, когда имеется не более двух поставщиков. В 1931 году венгерский математик Б. Эгервари поставил и решил задачу, получившую название «проблема выбора». Разработанный им метод решения получил название венгерского метода. В 1938 году советский учёный Л.В. Канторович решил конкретную производственную задачу для фанерного треста. В 1939 году Л.В. Канторович предложил классическую постановку транспортной задачи и метод разрешающих коэффициентов её решения. Эти результаты заложили основу линейного программирования.

Независимо от работ советских авторов, транспортная задача была поставлена в 1941 году Ф.Л. Хитчкоком (США). Метод её решения – симплексный метод, был опубликован в 1949 году американским математиком Дж. Данцигом. В том же 1949 году Канторович совместно с Гавуриным предложил другой метод решения – метод потенциалов, который широко применяется при решении транспортных задач. Во второй половине 50-х годов транспортная задача начинает широко применяться в США для составления оптимальных схем перевозок. С тех пор во всём мире транспортная задача используется не только для решения проблем перевозок.

Математическая модель транспортной задачи может описывать самые разные ситуации, весьма далёкие от перевозок. Значительное развитие методы математического программирования получили в середине XX века связи с необходимостью решать задачи планирования и управления в экономике. В 1975 году Л.В. Канторович и американский учёный Т. Купманс получили Нобелевскую премию за вклад в разработку теории оптимизации распределения ресурсов.

13

Сложность задач отыскания оптимальных решений во многом зависит от вида и числа критериев оптимизации, а также от вида и числа ограничений, налагаемых на множество допустимых значений факторов, от которых зависит искомое решение. В самом простом случае критерий один и это числовой критерий, а ограничения имеют вид числовых неравенств. В этом случае совокупность неравенств определяет множество допустимых решений, и критерий – единственную целевую функцию. Отыскание экстремума целевой функции на множестве допустимых значений – это и есть задача математического программирования. Алгоритмы решения задач математического программирования требуют значительного объёма вычислений. Эта сложность была преодолена в середине XX века в связи со стремительным развитием электронно-вычислительной техники. Повышение скорости быстродействия ЭВМ позволило решать многокритериальные задачи, в том числе путём сведения таких задач к задачам с единственной целевой функцией.

В30-е годы XX века методы математического программирования были в США применены с целью оптимизации размещения радиолокационных установок в системе обороны страны. Во время Второй мировой войны многими странами методы математического программирования и теории игр применялись с целью планирования военных операций.

Внастоящее время имеется множество математических моделей, составляющих базу теории принятия решений. Большинство из них было разработано на протяжении XIX–XX веков. Кроме методов математического программирования в теории принятия решений используются методы теории игр, особенно широкое применение получившие в военном деле и в экономике, а также статистические методы, используемые в условиях риска и неопределённости.

1.3. Роль системного анализа в теории принятия решений

Современная теория принятия решений опирается на системный анализ. Понятие системы – важнейшее понятие в теории принятия

14

решений. В настоящее время имеется несколько подходов к его определению.

Первым в 1937 году понятие функциональной системы как динамической системы, системообразующим фактором (целеполагающей функцией) которой является стремление достичь определённый (полезный) результат, ввёл русский физиолог Пётр Кузьмич Анохин, представив свои результаты на V съезде физиологов СССР. П.К. Анохин впервые сформулировал понятие системообразующего фактора как основы системогенеза.

В 1948 году американский математик Норберт Винер опубликовал свой первый фундаментальный труд. В 1952 году английский психиатр Уильям Росс Эшби опубликовал свой труд «Конструкция мозга», где впервые сформулировал закон необходимого разнообразия для развивающихся систем. После его прочтения в 1953 году Н. Винер придумал для развивающейся науки яркое и короткое название «кибернетика», отметив важность критической ступени сложности для способности системы к получению сложных результатов (в частности, к обучению). Важное значение в развитии теоретической базы системного анализа имели работы эмигранта из России Ильи Романовича (Рувимовича) Пригожина, среди которых особое место заняли работы, посвящённые теории самоорганизующихся систем (за которые в 1977 году он получил Нобелевскую премию). Понятие самоорганизации позволило прояснить понятие управляемой системы и ту ключевую роль, которую играют в управлении процессы принятия решений. Понятие самоорганизующейся системы позволило выделить социальные системы, как системы, элементы которых сознают свою деятельность и могут ею целенаправленно управлять.

Основная задача, которую решает системный анализ в теории принятия решений, – это формулировка цели и обоснование выбора оптимального варианта на основе целостного анализа возникающих в системе ограничений.

15

Принятие решений в настоящее время опирается на системы поддержки принятия решений (СППР). СППР (Decision Support Systems – DSS) включают в себя:

–базы данных;

–математические модели и методы принятия решений;

–имитационное моделирование;

–интерактивные компьютерные системы поддержки решений;

–информационные технологии поддержки принятия решений. Можно выделить три вида СППР:

1) пассивные, предлагающие использовать готовые автоматизи-

рованные системы поддержки принятия решений;

2)активные, предполагающие самостоятельность разработчика

ввыборе методов отыскания оптимальных вариантов, а также его участие в создании новых моделей и методов принятия решений;

3)гибридные, предполагающие сочетание творческого поиска с использованием готовых компьютерных программ и систем.

В любом случае для эффективной разработки и принятия оптимальных управленческих решений разработчик решения и лицо, принимающие решение, должны разбираться в основных теоретических положениях теории принятия решений, в том числе понимать роль и возможности математических моделей и методов.

Контрольные вопросы

1.Когда и почему у человека впервые возникает потребность

ванализе ресурсов и в принятии решений по их распределению?

2.Где, когда и на какой основе у человечества впервые появилась возможность анализа экономических данных? Какова была цель этого анализа?

3.Какие ограничения приходится учитывать в развитых государствах, принимая решения в области экономики?

4.Какие ограничения налагают требования безопасности человека на решения, принимаемые в области промышленного производства?

16

5.В чём состоят социальные предпосылки зарождения теории решений?

6.Какую роль в математической теории принятия решений играют результаты, полученные П. Ферма и Ж. Лагранжем?

7.Что такое транспортная задача?

8.Кто и когда заложил основы линейного программирования?

9. Что такое оптимальное решение? Что нужно иметь и что нужно учесть, чтобы поставить задачу об отыскании оптимального решения?

10.Приведите примеры задач, требующих отыскания оптимальных решений.

11.В чём состоит системный подход в теории принятия ре-

шений?

12.Опишите роль автоматизированных (компьютерных) систем поддержки принятия решений.

2.УПРАВЛЯЕМЫЕ СИСТЕМЫ

ИПРИНЯТИЕ УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ

Современная теория управления опирается на понятие системы. Люди как элементы социальных систем сознают свою деятельность и могут управлять ею, достигая поставленных целей. Важнейший акт управления – принятие управленческого решения.

Путём принятия решений человек преобразовал изначальную среду своего обитания до неузнаваемости. Технический прогресс породил технические системы огромной мощности. Взаимодействие людей, а также людей и машин становится всё более сложным. От решений, принимаемых человеком в сложных системах «человек – техника», зависит безопасность не только отдельных групп людей, но и человечества в целом. Современные методы управления и, в частности, методы принятия решений не должны более использовать волюнтаристские подходы. Современный специалист в любой сфере деятельности и, в первую очередь, в сфере обеспечения безо-

17

пасности должен опираться на системный подход в решении возникающих проблем, используя весь арсенал методов математического анализа.

2.1. Системы. Динамические и развивающиеся системы

Элемент системы – это объект, внутреннее строение которого не имеет значения при исследовании его свойств.

Система – множество элементов, связанных отношениями в единое целое под действием системообразующего фактора.

Системообразующий фактор определяет отношения (связи) между элементами, позволяющие системе выделиться из внешней среды и приобрести целостные (эмерджентные) свойства, более сложные, чем свойства отдельных элементов.

Структура системы – взаиморасположение и взаимосвязи составных частей системы. В зависимости от связей между элементами различают следующие виды структур:

–последовательные; параллельные; последовательно-парал- лельные;

–иерархические; с обратными связями; сетевые.

Иерархические системы – важнейший случай систем в теории принятия решений. По определению, в иерархической системе её элементы связаны между собой отношениями порядка.

Два важнейших класса систем – это стационарные и динамические системы. Существование стационарных систем не ограничено во времени: их структура, эмерджентные свойства и другие характеристики по определению считаются неизменными.

Характеристики динамических систем зависят от времени. Под действием системообразующего фактора динамические системы изменяют свою структуру и свойства, сохраняя целостность во внешней среде. Для поддержания связей между элементами и сохранения целостности динамической системе необходима энергия (информация).

Динамическая система может обладать свойством устойчивости. Под устойчивостью системы понимают её способность к сохранению

18

качественной определённости при изменении ее структуры и свойств элементов. Устойчивость связана со стремлением системы к состоянию статического или динамического равновесия.

Функциональные системы – это динамические системы,

вкоторых элементы складываются в единое целое для достижения полезного результата (П.К. Анохин).

Для функционирования системы необходимо, чтобы её внутренняя структура удовлетворяла закону У.Р. Эшби – закону необходимого разнообразия. Это означает, что её внутреннее устройство должно быть достаточно богатым, и в системе должно быть достаточное количество элементов.

Существование функциональных систем может быть ограничено во времени.

Функционирование системы бесконечно только в том случае, если система является открытой. Открытая система может черпать энергию (информацию) извне и иногда способна за счет её поступления к самоорганизации. Замкнутые функциональные системы в силу второго закона термодинамики теряют необходимое разнообразие,

вних растёт энтропия, и они гибнут. В частности, поэтому невозможно изобрести вечный двигатель.

Развивающиеся динамические системы – это открытые системы, состояние которых изменяется с течением времени в определённом направлении. Развивающуюся систему иногда называют организацией. Системообразующий фактор самоорганизующихся систем – стремление к состоянию динамического равновесия.

Социальные системы открыты, направление изменения развивающейся социальной системы определяется её главной целью, обычно называемой миссией.

Элементы системы и её подсистемы называют её составными частями (составляющими). Элементы технических систем – станки, машины, технологические линии и т.п. Технические системы конечны, то есть состоят из конечного числа элементов.

Понятия элемента и системы могут трансформироваться в зависимости от решаемой задачи. Например, в технологической

19

линии отдельный станок рассматривается как элемент системы, сама технологическая линия – это элемент производственного предприятия. Элементы социальных систем – люди или отдельные группы людей. Наиболее важный пример функциональной системы в техносфере – это система типа «человек – машина».

Важный признак природных систем – их открытость и бесконечность. Напомним, что множество называется бесконечным, если оно имеет часть, эквивалентную целому. Эквивалентность двух множеств означает, что между их элементами можно установить взаимооднозначное соответствие.

Впроцессе своего функционирования с целью достижения полезного результата функциональная система может изменять свою структуру под действием внешних и внутренних факторов (в частности, она может стареть). Структура системы позволяет управлять ею, используя связи отдельных элементов и подсистем.

Всистеме «человек – техника» человек выступает в двух ипостасях: как создатель системы и оператор (пользователь). Оператор

всистеме «человек – техника» управляет техникой путём принятия решений, возможность реализации решений закладывается создателем системы на этапе её проектирования.

2.2. Управляемые системы. Проблемы и проблемные ситуации

Каждая социально-экономическая система является открытой и имеет свою миссию (цель своего развития). Социально-экономи- ческие системы состоят из элементов, которые сознают процесс своей деятельности и могут соотносить развитие системы и её состояние в текущий момент времени с миссией системы.

Проблема – это различие между реальной ситуацией и миссией системы. Необходимость решения проблемы возникает в результате осознания этого различия. Ситуация, в которой имеется проблема,

называется проблемной ситуацией.

В случае осознания проблемной ситуации процесс движения системы к цели может быть управляемым, то есть её функциониро-

20