Теория пластичности

D = Ρ : S ,

(10.19)

где четырехвалентный тензор вязкопластических свойств определяется соотношением

K	γ0		(k )			n –1
Ρ = ∑			τ			M(k )M(k ) .	(10.20)
	(k )		(k )
k=1	τc		τc

Отметим, что при изменении D в k раз аналогичным образом в соответствии с (10.15)1 меняются скорости сдвигов, тогда согласно (10.18) напряжения сдвига (а следовательно, и тензор напряжений) изменяются в k1/n раз. Следует подчеркнуть, что из определения тензора свойств P очевидна нелинейность соотношения (10.19), поскольку τ(k ) определяется по искомому тензору S.

Принимается закон изотропного упрочнения, эволюционное уравнение для критического напряжения имеет вид закона Воуса

(Voce):

dτc ≡ dτ(ck )

dt dt

K

= h∑ γ(k ) k=1

				τc − τ0c		K
	= h0	1	−			∑	γ(k )	,	(10.21)
				τsc − τ0c
					k=1

где h0 – начальная скорость упрочнения, τ0c , τsc – начальное напряжение

течения и напряжение насыщения, соответственно. Макроскопический девиаторнапряженийопределяетсяосреднениемсвесамиповсемзернам.

Отмечается, что степенной закон (10.18) может рассматриваться лишь как приближенный закон, не имеющий под собой должного физического обоснования. В связи с этим в работе предлагается модифицировать указанный закон для учета скорости деформации в широком диапазоне ее варьирования и влияния температуры. В основу указанной модификация положена так называемая модель механического порогового напряжения, предложенная Фоллансби и Куксом [120]. Последняя представляет собой изотропную «скалярную» модель для предсказания напряжения течения в зависимости от скорости деформации, температуры и текущего состояния, описываемого параметром состояния, называемым механическим порогом.

321

При использовании этой модели для поликристаллов эффективное одноосное напряжение заменяется на критическое напряжение сдвига τ(ck ) , а эффективная одноосная скорость деформации – на суммар-

ную скорость сдвигов по всем системам скольжения. При этом рассматривается только изотропный закон упрочнения Тейлора, поскольку учет скоростной чувствительности и учет упрочнения по каждой системе скольжения весьма сложны.

Для устранения скоростной чувствительности из соотношения (10.18) (при фиксированном n, обычно принимаемом равным 20) γ0 в нем заменяется на интенсивности скорости деформации

De= (2/3 D: D)1/2, что согласуется с принятой в модели Тейлора гипотезой Фойгта. Действительно, в этом случае при изменении D в k раз аналогичным образом в соответствии с (10.15)1 меняются скорости сдвигов, тогда согласно (10.18) напряжения сдвига остаются неизменными.

Критическое напряжение сдвига τ(ck ) для учета влияния скорости деформации и температуры масштабируется «механическим порогом» τˆ , представляющим собой сопротивление сдвигу при 0 К: последний разделен на атермическую составляющую τˆa и термиче-

скую составляющую τˆlt , так что

ˆ ˆ	ˆl	(10.22)
τ = τa	+ ∑ τt .

l

Следует отметить, что использование термина «термическая составляющая» (введенного в исходной статье [120]) для второго члена правой части (10.22) представляется не совсем корректным, поскольку «пороговое напряжение» τˆ определено как сопротивление сдвигу при нулевой абсолютной температуре, а первый член правой части по определению не зависит от температуры θ.

Отмечается, что составляющая τˆa характеризует нечувствительное к скорости взаимодействие дислокаций с дальнодействующими барьерами (например, границами зерен), а τˆlt – чувствитель-

322

ные к скорости деформации взаимодействия дислокаций с близкодействующими препятствиями (например, дислокациями леса, примесными атомами), которые могут быть преодолены за счет термической активации. При изменяющихся температурах и скоростях деформации соответствующий вклад в критическое напряжение сдвига τlt связан со своим исходным аналогом τˆlt масштабирующей функ-

цией Slt (De , θ) , так что τlt = τˆlt Slt (De , θ) .

Критическое напряжение сдвига для всех СС определяется аналогично «механическому порогу»:

τc

ˆ

l

ˆ

l

=

τa

+

∑

τt

=

τa

+ ∑ Stl (De

, θ)

τt

.

(10.23)

G

G

G

l

G

l

G

0

Здесь G0 – некоторое отсчетное значение модуля сдвига G, опреде-

ляемого соотношением:

G = G(θ) = G0

–

D0

,

(10.24)

θ0

exp

– 1

θ

D0, θ0 – экспериментально определяемые константы.

Для описания кинетики взаимодействия на короткодействующих препятствиях используются соотношение Аррениуса и феноменологическое выражение для свободной энергии как функции напряжений, тогда каждая компонента τlt может быть записана в виде:

	l			ˆ
	τt	= Stl (De	, θ)	τt
	G			G0

		kθ			De0		1q 1 p
= 1	−			ln
			3		De
	g0Gb

τˆ t . (10.25)

G0

Здесь k – константа Больцмана, b – модуль вектора Бюргерса, g0 – нормализованная энергия активации дислокаций для преодоления препятствий, De0 – константа, p, q – константы, характеризующие форму препятствий ( 0 ≤ p≤ 1, 1≤ ≤q 2 ).

323

В стандартной MTS – модели используются два термических члена, обозначаемые как τˆ1t = τˆi , τˆ2t = τˆε , тогда соотношение (10.23) перепишется в виде:

τc

ˆ

ˆ

ˆ

=

τa

+ S (D

, θ)

τi

+ S (D

, θ)

τε

G

G

i

e

G0

ε

e

G0

где

1

1

kθ

De0i

pi

qi

Si (De

, θ) = 1 −

ln

,

3

g0iGb

De

qε

1

kθ

De0ε

1

pε

Sε (De

, θ) = 1 −

ln

3

g0εGb

De

, (10.26)

(10.27)

.

В этих соотношениях τˆi описывает термическую составляющую сопротивления деформации (в данной работе этот член не учитывается), а τˆ ε – взаимодействие подвижных дислокаций с лесом дислокаций (учитывается).

Эволюционное уравнение для τˆ ε в скоростной форме аналогично соотношению (10.21):

ˆ		K
dτε	= h(θ, De , τˆ	ε )∑		γ(k )
dt		k=1

K
= (h0 – hr (θ, De , τˆε ))∑		γ(k )		,	(10.28)

k=1

где h0 отражает упрочнение, обусловленное накоплением дислокаций (принимается постоянным), а hr описывает скорость динамического возврата. Наиболее употребимыми функциональными формами скорости упрочнения h являются запись через гиперболический тангенс (Фоллансби – Кукс), или в виде степенного закона (Кукс и др.):

324

h = h0 1 −

ˆ

τˆ

s

ˆ(k) κ

tanh ατε

(k )

ε

h

h

τ

,

=

0

1 –

ε

,

(10.29)

tanh(α)

ˆ

G

G0

τεs

где α, κ – эмпирические константы, τˆεs – пороговое напряжение на-

сыщения. В обоих соотношениях h0 описывает начальную скорость упрочнения; скорость упрочнения h с ростом деформации уменьшается и стремится к насыщению. Применение подобных моделей для деформаций, превосходящих единицу, исключено, так что невозможно описать IV стадию упрочнения.

Пороговое напряжение насыщения τˆεs является функцией скорости деформации и температуры:

	De			g0εsGb	3		ˆ
ln			=			ln	τεs	,
				kθ
	De0	ε					ˆ
							τεs0

где De0ε , g0εs , τˆεs 0 – эмпирические константы.

Рассматриваемая MTS-модель является, таким образом, незначительной модификацией вышеизложенной модели поликристалла. Уравнения (10.18), (10.20) и (10.21) теперь запишутся в виде:

(k )

ˆ

(k )

(k )

τ(k )

n

(k )

γ

= γ

(τ

) = De

sign(τ

)

,

(10.30)

τc(k )

K

De

τ(k )

n –1

(k )

(k )

Ρ = Ρ(S)

= ∑

M

M

,

(10.31)

(k )

(k )

k=1

τc

τc

ˆ

K

(k )

G

ˆ

κ

K

(k )

dτ

ε

= h∑

γ

1 −

τ

∑

γ

= h0

ε

,

(10.32)

ˆ

dt

k=1

G0

k=1

τεs

где использована степенная зависимость (10.29)2.

325

Подробно описывается численная процедура; для интегрирования по времени используется неявная разностная схема, система нелинейных уравнений решается методом Ньютона – Рафсона (Ньютона – Канторовича). Для установления шага по времени решена задача на одноосное сжатие при 10, 20, 40 и 100 постоянных шагах по времени; различие между результатами расчета напряжения сжатия при 10 и 100 шагах не превысило 0,24 %.

Верификация предлагаемой модели осуществляется сопоставлением полученных с ее помощью результатов расчета напряжений

срезультатами стандартной изотропной модели MTS. Скоростная и температурная зависимости определялись в опытах на сжатие алюминиевого сплава Al 5182 при температурах 200 и 300 °С при скоростях деформации 0,001 и 1,0 с–1. Показано очень хорошее соответствие результатов.

Анализ предсказания моделью формирования текстуры осуществлен сопоставлением с результатами, полученными Kalidindi et al.

сиспользованием модели Тейлора; отмечается хорошее качественное соответствие результатов.

Отдельный раздел работы посвящен процедуре идентификации модели. С этой целью записывается функция квадратичного отклонения определяемых расчетным путем компонент тензора напряжений от экспериментально измеряемых значений; для регуляризации добавлен штрафной член, представляющий собой квадратичное отклонение искомых параметров модели от первоначально заданных. Решение поставленной задачи минимизации этой функции осуществлялось градиентным методом. Проведены расчеты для случаев сжатия и кручения образцов из стали HY100 (ОЦК-решетка, в рассмотрение включены все 48 потенциально возможных систем скольжения) при различных скоростях деформации и температурах. Полученные результаты позволили с удовлетворительной точностью описать поведение стали при отсутствии начальной текстуры. Аналогичные результаты получены для начально текстурированной танталовой пластины.

326

Представляется целесообразным кратко остановиться на работе [101], содержащей значительное количество экспериментальных данных по лучевым и двухзвенным траекториям деформации листового алюминиевого сплава, пригодным для идентификации и верификации теоретических моделей. Подробно описана методика экспериментальных исследований, включающих как чисто механические измерения, так и анализ текстуры и дислокационных субструктур. Теоретические исследования проведены с использованием вязкопластических моделей со степенным законом, «полностью стесненной» и самосогласованной. Обе модели дают близкие результаты как по зависимостям напряжений от работы на пластических деформаций, так и по полюсным фигурам; отмечается, что полюсные фигуры в теоретических расчетах получаются более четко выраженными («острыми»), чем в экспериментах.

В работе [168], как и во многих других, также используется мультипликативное разложение градиента места. Упругими деформациями пренебрегается, в силу чего упругая составляющая градиента места описывает только поворот кристаллической решетки, Fe = RL . Получено аддитивное разложение градиента скорости перемещений в промежуточной конфигурации L:

L = D + WL + Wp ,

где	D ≡ D		K	γ		,	W		= R		R
			= ∑MS
		p	(k )		(k )			L		l -1	l

k=1

K

Wp = ∑M(Ak ) γ(k ) , причем тензоры MS( k ) и M(Аk )

k=1

– спин решетки,

(симметричная и ан-

тисимметричная части ориентационного тензора) определены также в промежуточной конфигурации. Используется гипотеза Фойгта, т.е. деформации скорости принимаются одинаковыми в каждый момент времени во всех зернах поликристалла. Скорости сдвигов на СС определяются степенным законом, аналогичным (10.30).

Следует отметить, что в вязкопластических моделях активными в каждый момент времени могут быть любые из возможных для

327

данного типа кристалла СС, хотя не все они будут линейно независимы; например, на каждой кристаллографической плоскости линейно независимыми могут быть только две из трех СС. В работе предлагается эвристическая, чисто геометрическая процедура определения активных СС, число которых на каждой плоскости не более двух; например, для ГЦК-кристаллов общее число активных СС, таким образом, не превышает восьми. Для определения скоростей сдвигов на СС ставится задача оптимизации, критерием является минимальность евклидовой нормы вектора скоростей сдвигов; кинема-

K

тическое ограничение D = ∑MS(k ) γ(k ) вносится с использованием

k=1

множителей Лагранжа. Детально описан пошаговый алгоритм реализации предлагаемого подхода. С использованием последнего решены тестовые задачи одноосной осадки и простого сдвига монокристаллов с различной начальной ориентацией, одноосной осадки, осадки

вусловиях плоско-деформированного состояния и простого сдвига поликристаллических образцов. Сопоставление результатов расчета эволюции ориентаций кристаллитов с теоретическими результатами, полученными с использованием других моделей, и экспериментальными данными обнаруживает хорошее соответствие.

Значительное внимание в физических теориях (как упругопластических, так и вязкопластических) уделяется модификации законов упрочнения в связи с новыми экспериментальными данными, полученными с применением высокоразрешающей аппаратуры (в особенности, электронных микроскопов).

Краткий обзор существующих теорий упрочнения приведен

вработе [160]; особое внимание уделяется теориям, основанным на рассмотрении эволюции дислокационных субструктур. Выделена модель [179, 180], в которой зерно представляется совокупностью блоков ячеек; для описания блоков вводятся ориентации потенциально возможных границ и присущие границам плотности дислокаций. Следуя указанным статьям, предлагаются эволюционные уравнения для плотности дислокаций, «налипающих» на границах блоков ячеек. Критические напряжения сдвига определяются по объемной

328

доле границ блоков в зерне и накопленной плотности дислокаций. Входящие в эволюционные уравнения и выражение критического напряжения параметры модели предлагается определять методом наименьших квадратов по экспериментальным данным; приведены соответствующая постановка задачи оптимизации и алгоритм ее решения. Предлагаемый закон упрочнения был использован в самосогласованной вязкопластической модели для анализа деформирования при сложном нагружении поликристаллической меди (ГЦК-решетка). Сложное нагружение осуществлено по следующей схеме: образцы из отожженной меди прокатывались за один проход на 5,6, 10,5 и 18,8 %, затем из них вырезались цилиндрические образцы в направлении прокатки, поперечном направлении и в направлении нормали к плоскости прокатанного листа. В дальнейшем полученные образцы подвергались осадке до деформаций от 24 до 44 %. Для случая прокатки на 5,6 и 10,5 % и последующей осадки предлагаемая модель показывает хорошее соответствие с экспериментальными данными; несколько худшее соответствие результатов имеет место при деформировании на первом этапе (прокатки) до 18,8 %, в связи с чем авторы отмечают необходимость дальнейшей доработки модели упрочнения для описания IV стадии.

В статье [188] детально анализируются законы кинематического внутризеренного упрочнения (или – законы, определяющие эволюцию остаточных микронапряжений ρ). Каждое зерно представляется совокупностью внутренностей и стенок ячеек, материал внутри ячейки полагается упругопластическим, стенки рассматриваются состоящими из упругого материала. Для получения аналитического решения рассматривается простая геометрия ячеек (сферическая и круговая цилиндрическая). Определение остаточных микронапряжений осуществлено с помощью моделей Kröner и Berveiller and Zaoui в предположении изотропии кристаллов. Согласно модели Kröner тензор остаточных микронапряжений ρk в определяется как

ρk = –2G(1 – β)(εpk – εp ) ,

329

где β – геометрический фактор (для сферического включения решение Эшелби дает β = 2(4–5ν)/(15(1–ν)), ν – коэффициент Пуассона, εpk – пластическая составляющая тензора деформаций внутри k-й

ячейки, εp – средняя по кристаллу пластическая деформация. Berveiller and Zaoui предложили уточненное соотношение:

ρ		= –2G(1 – β)		1			(εp – εp ) ,
	k		1	+ 3	G	εup	k
				2		σu

где εup , σu – интенсивности средних по кристаллу пластических де-

формаций и напряжений. С учетом предположения о деформировании стенок ячеек упругим образом последнее соотношение модифицировано к виду

			fw				1			N
ρk	= –			G(1 – β)						∑ γi (ni mi + mini ) ,
			− fw				+ 3		p
	1				1			G	εu i=1
							2		σu

где fw – объемная доля границ ячеек. Результаты расчетов сопостав-

лялись с известными данными экспериментальных исследований, проведенных на растяжение и циклическое нагружение монокристаллов; показано удовлетворительное соответствие экспериментальных и теоретических результатов, полученных с помощью модифицированной модели. Результаты расчетов по модели Kröner на один-два порядка превышают экспериментально измеренные.

10.2. Упруговязкопластические модели

Одной из первой работ, в которой представлены теоретические результаты, удовлетворительно согласующиеся с экспериментальными данными, была статья [201]. Модель, предложенная в цитируемой работе, базируется на теории термоактивируемого движения

330