Виброакустическая диагностика технических объектов

ражению (4.44). Рис. 4.40 относится к примеру, аналогичному примеру на рис. 4.41. При определении кепстра на основе спектра в основном частотном диапазоне равномерно распределенные составляющие совпадают точно с частотами гармоник и все пики действительной части кепстра имеют положительные значения. При применении спектра, определенного на перемещенном в направлении к более высоким частотам участке с увеличенным масштабом частоты, пики появляются не только в действительной части кепстра, но и в отображающей его модуль |САА(τ)| кривой. Подобная ситуация может возникнуть и при применении относящегося к основному частотному диапазону спектра, в котором проекция равномерно распределенных составляющих не проходит через нулевое значение частоты, т.е., например, при модуляции несущей составляющей с частотой, которая не является субгармоникой несущей частоты. На практике такая ситуация встречается в области механических колебаний планетарных передач и подшипников качения.

Внастоящее время не имеется общего правила определения масштаба

иединиц кепстров. По нашему мнению, значения рагмоники кепстров целесообразно выражать в децибелах (размах), так как значения претерпевших логарифмическое преобразование амплитуд спектров мощности обычно определяются в децибелах и ничто не препятствует применению тех же единиц при выражении значений результатов преобразования Фурье для рагмоник этих спектров, т.е. кепстров мощности. Определение масштаба кепстра с учетом единиц децибелов (размах) иллюстрирует рис. 4.42. Спектру в виде синусоиды с амплитудой, изменяющейся в перекрывающем 80 дБ диапазоне, соответствует равное 80 дБ (размах) значение рагмоники кепстра. Следовательно, значение рагмоники кепстра отображает выраженную в децибелах среднюю меру флуктуаций соответствующего спектра с определенным распределением в частотной области. Нужно подчеркнуть, что лишь соответствующая нулевому значению квефренции составляющая рагмоника кепстров содержит информацию о действительном масштабе в определенных физических единицах. Следовательно, присущее этой составляющей значение рагмоники можно выразить в децибелах относительно определенного опорного значения. Значения всех остальных составляющих рагмоник кепстров, т.е. составляющих, соответствующих ненулевым значениям квефренции, нужно выражать в децибелах, отображающих отношения без всякого рода связи с физической размерностью (т.е. флуктуации вокруг значения «постоянного тока»).

Отметим, что применение описанных выше методов определения масштаба и единиц кепстров предполагает обработку соответствующих спектров как стационарных процессов. С учетом сказанного, в показанные на рис. 4.42 результаты была внесена поправка на сужение диапазона частот спектров на рис. 4.43, а и б. Поправки формируются за счет дополнительной обработки сигнала, приведенного на рис. 4.43, в. Данные поправки приводят к изменению модуля, представленного на рис. 4.44.

121

Рис. 4.42. Спектры вибрационных сигналов: а – от 0 до 12800 Гц основном частотном диапазоне; б – от 256 до12800 Гц

Рис. 4.43. Кепстры, действительная часть, определенные на основе относящихся к участкам с увеличенным масштабом частоты спектров

122

Рис. 4.44. Модуль аналитического сигнала, соответствующего кепстру

Вышесказанное свидетельствует о том, что результирующие кепстры всегда зависят от методов анализа и исходных сигналов. Поэтому необходимо использовать совместимые методы определения масштаба и подвергать сравнению лишь те кепстры, которые определены в идентичных или по меньшей мере почти идентичных условиях.

4.5.3.4. Комплексные спектры

Комплексные кепстры принципиально более эффективны, чем кепстры мощности, но их определение, обработка и применение более затруднительны. Главная причина этих затруднений заключается в том, что фазовый угол ωt( f )

в выражении (4.47) должен быть непрерывной функцией частоты, а не лишь главным значением, определяемым обычно по модулю 2π. На рис. 4.45 показан процесс определения фазовой функции, называемый «развертыванием фазы».

Рис. 4.45. Процесс развертывания фазы с целью определения спектра фазы в виде непрерывной функции частоты

Гладкие участки фазовой кривой нетрудно развернуть на основе несложных критериев, например, требования не превышающих π скачкообразных изменений фазового угла в интервалах между смежными дискретными

123

значениями. Однако это не всегда справедливо, а в общих случаях необходимо использовать сложные алгоритмы, например, алгоритм Триболета.

С другой стороны, в случае специальных функций, называемых функциями с минимальной фазой, вообще не нужен сложный процесс определения соответствующих фазовых функций. В специальной литературе [1] показано, что присущая любой из упомянутых специальных функций фазовая функция ωt( f )

является (обратной) трансформантой Гильберта соответствующей логарифмической амплитудной функции, т.е. ln|A(f)|. Следовательно, комплексный кепстр любой функции с минимальной фазой является каузальным, т.е. существует лишь при положительных значениях квефренции, так как его действительная и мнимая части связаны друг с другом преобразованием Гильберта. Четная часть является кепстром мощности (несмотря на то, что последний определен на основе спектра, значения которого выражены в ваттах), а нечетная часть – кепстром фазы, т.е. кепстром, присущим соответствующей фазовой функции. На основе аналогии можно заключить, что кепстр мощности и кепстр фазы любой функции с минимальной фазой идентичны друг другу в области положительных значений квефренции. Следовательно, комплексный кепстр любой функции с минимальной фазой можно определить на основе соответствующего кепстра мощности просто путем увеличения вдвое присущих составляющих, положительным значениям квефренции, и придания равных нулю значений составляющим, присущим отрицательным значениям квефренции.

Функциясминимальнойфазойявляетсяфункцией, присущейспектральной амплитудной функции, которой соответствует минимальная фазовая задержка. Соответствующая стабильной, каузальной функции передаточная функция не имеет полюсов в правой половине плоскости Лапласа, т.е. вобласти положительныхзначенийпоказателязатухания– σ. Функциясминимальнойфазойнедолжна иметь ни полюсов, ни нулей в правой половине упомянутой плоскости, так как полосы, получаемые в результате логарифмического преобразования нулей, исключали бы стабильность и каузальность кепстра. Следовательно, стабильная, каузальная функция с неминимальной фазой отличается от функции с минимальной фазой только присутствием нулей в правой половине плоскости Лапласа. Соответствующую передаточную функцию можно рассматривать как результат умножения функции с минимальной фазой на широкополосную (линейную) функцию, пары полюсов инулей которой определены общим выражением (s – a)/(s + + a*). Широкополосная (линейная) функция имеет равную единице амплитуду, но добавляет равную 2π фазовую задержку при прохождении через каждую пару полюс – нуль. По существу сказанное поясняет понятие функции с минимальной фазой. Отметим, что по причине конечной длительности импульсной характеристики широкополосной (линейной) функции соответствующая определенной ам- плитудно-частотной характеристике функция с минимальной фазой обладает импульснойхарактеристикойсминимальнойдлительностью.

124

При переходе в кепстральную область необходимо логарифмическое преобразование частотной характеристики сигнала, который более целесообразно представить в виде произведения соответствующих членов [см. выражение (4.45)], а не суммы таких членов [см. выражение (4.47)]. Более того, с учетом упрощения математической обработки при представлении учитываемой частотной характеристики сигнала целесообразно воспользоваться z-преобразованием, используемым вместо преобразования Лапласа, так как z-преобразование эквивалентно преобразованию Лапласа при обработке представленных в дискретном виде функций. Выражение, относящееся к плоскости z-преобразования, запишется в виде

				mi		m0
H (z) =		A		∏(1		− ak z−1 )∏(1− bk z)
				k =1		k =1		.	(4.53)
			pi			p0
							− dk z)
		∏(1			− ck z−1 )∏(1
		k =1				k =1

В выражении (4.53) аk и сk являются соответственно нулями и полюсами внутри единичной окружности (рис. 4.46), соответствующей левой половине плоскости s, а bk и dk являются соответственно нулями и полюсами вне упомянутой единичной окружности (т.е. в области, соответствующей правой половине плоскости s). Модули|аk|, |bk|, |сk| и |dk| имеют меньшие единицы значения.

Рис. 4.46. Традиционное представление частот в плоскости z (с действительной осью в горизонтальном положении)

125

Путем логарифмического преобразования и разложения членов log (1 – αz±1) в степенные ряды можно вывести выражение, определяющее дискретные значения кепстра на основе полюсов и нулей, причем параметром является порядковый номер п дискрет во временной области:

	mi	n		pi		n
	Ca (n) = −∑	ak		+ ∑		ck	,		n>0,
		n
	k =1			k =1		n			(4.54)
	mi	n		pi		n
	Ca (n) = −∑	bk		+ ∑	dk			,	n<0.
		n
	k =1			k =1		n

Как можно было ожидать, относящиеся к минимальной фазе члены проявляются лишь при положительных значениях квефренции, а относящиеся к неминимальной («максимальной») фазе члены связаны с отрицательными значениями квефренции. В случае стабильных, каузальных функций полюсы dk равны нулю, так что относящиеся к неминимальной фазе члены связаны только с нулями bк. Отдельные члены выражения (4.54) являются комплексными экспоненциалами (затухающими синусоидами при применении сопряженных пар), дополнительное затухание которых обусловлено умножением на гиперболическую функцию 1/n.

4.5.3.5. Область применения комплексных кепстров

При надобности возврата во временную область после модифицирования (редактирования) кепстра необходимо использовать комплексный кепстр (а не кепстр мощности).

Устранение эха. Пример, приведенный на рис. 4.47, относится к созданному путем цифрового моделирования алгоритму, который иллюстрирует основанную на применении комплексного кепстра процедуру устранения эха из сигнала во временной области. Исходный сигнал имеет вид затухающей синусоиды (импульсной характеристики системы с одной степенью свободы). На этот сигнал наложено двукратное эхо с идентичными интервалами. Несмотря на то, что этот паразитный сигнал перекрывает исходный сигнал, соответствующие ему дельта-функции в комплексном кепстре четко выделены и отделены от затухающей быстро составляющей, соответствующей исходному сигналу. Следовательно, соответствующие эху составляющие легко устранить путем модифицирования комплексного кепстра. Полученный на основе модифицированного комплексного спектра сигнал во временной области подтверждает эффективность описанного метода.

126

Рис. 4.47. Пример основанного на модифицировании комплексного кепстра методом устранения эха

127

На рис. 4.48 показаны результаты, полученные при практическом применении описанного выше метода, т.е. при определении амплитудночастотной и фазочастотной характеристик громкоговорителя, установленного в нормальном помещении. В качестве сигнала возбуждения использовался прямоугольный импульс длительностью 50 мкс. Воспринятый в помещении акустический сигнал (см. рис. 4.48, а) содержал несколько пиков, обусловленных отражениями звуковых волн и соответствующих временной задержке 6,2 мс и больше. В отличие от созданного путем цифрового моделирования и показанного на рис. 4.47 примера в данном практическом случае оказалась необходимой дополнительная обработка («развертывание» и пересчет масштаба) спектра фазы, предшествующая определению показанного на рис. 4.48, б комплексного кепстра.

Рис. 4.48. Результаты практического применения метода при определении амплитудно-частотной и фазочастотной характеристик громкоговорителя в нормальном помещении

Так как обусловленные неидеальными отражениями звуковых волн пики кепстра были разнесены в относительно широком диапазоне, при обработке использовался быстро спадающий и способствующий устранению всех отражений

128

лифтр (лифтр с характеристикой, соответствующей половине функции Ханнинга

ипринимающей нулевые значения от 5 мс). Результирующие логарифмическая амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики (в диапазоне частот до 10 кГц) исследуемого громкоговорителя показаны нарис. 4.48, в.

Допускающие сравнение и полученные методом спектрометрии с временной задержкой результаты определения тех же характеристик идентичного громкоговорителя показаны на рис. 4.49. Несмотря на то, что в ходе исследований, упомянутых последними, громкоговоритель находился в другом помещении, определенные обоими методами частотные характеристики хорошо соответствуют друг другу.

Одновременно с определением характеристик, показанных на рис. 4.48

иотносящихся к диапазону с верхним пределом 10 кГц, было осуществлено другое исследование, основанное на применении комплексного кепстра в ограниченном частотой 5 кГц диапазоне. Из-за увеличенной вдвое длины реализации паразитный шум и отражения привели к затруднениям при применении соответствующего алгоритма в процессе развертывания фазы. В трех точках спектра использовавшийся алгоритм определил скачкообразные изменения в неправильном направлении и, следовательно, создал разрывности фазовой функции.

Рис. 4.49. Амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики идентичного громкоговорителя, определенные методом спектрометрии с временной задержкой

129

Решение в данном случае заключалось в применении затухающей экспоненциальной весовой функции во временной области, благодаря которой удалось существенно уменьшить паразитный шум и отражения в окончательном участке реализации исходного сигнала. После модификации кепстра, осуществленной с целью устранения отражений, была путем соответствующих преобразований определена импульсная характеристика. На основе скомпенсированной с учетом использовавшейся экспоненциальной весовой функции импульсной характеристики были наконец определены амплитудночастотная и фазочастотная характеристики исследуемого громкоговорителя. Результирующая фазочастотная характеристика показана на рис. 4.48, в в идентичном масштабе (несмотря на увеличенное вдвое разрешение по частоте при ее определении).

Применение комплексных кепстров при исследованиях громкоговорителей обычно не сопровождается затруднениями, связанными с развертыванием фазы, так как обрабатываемые спектры фазы обычно относительно гладки и спектры амплитуды не содержат нулевых значений. Наоборот, в случае общих сигналов процесс развертывания фазы может обусловливать серьезные затруднения.

Отметим, что на рис. 4.49 также показана функция с минимальной фазой, соответствующая показанной амплитудно-частотной характеристике и определенная с применением метода, описанного в подразд. 4.3.

Разложение свертки. Одна из важных областей применения комплексных кепстров связана с анализом и синтезом речи и относится к выделению информации, относящейся к формантам, из информации, относящейся к голосу/источнику звука. Выше было показано, что преобладающая часть необходимой для сохранения понятности речи информации содержится в относительно узком участке кепстра, соответствующем малым значениям квефренции. Следовательно, эту информацию можно с высокой эффективностью передавать вместе с информацией о звонкости речи и о тональном составе последней. В приемном тракте можно осуществить синтез, в процессе которого присущая малым значениям квефренции информация используется для создания характеристики фильтра или импульсной характеристики источника звука, содержащего импульсный генератор с регулируемой частотой (для звонких участков) и генератор шума (для глухих участков). Несмотря на применение созданного таким образом искусственного голоса, воспроизводимая речь понятна и звучит естественно.

Другой областью, в которой комплексные кепстры находят все более широкое применение, является диагностика машинного оборудования и его дефектов. Сигналы, регистрируемые на поверхности машинного оборудования и отображающие его механические колебания, всегда сочетают в себе влияние источников и путей распространения этих колебаний. При нормаль-

130