Основы теории цепей. Часть 2

Ценность метода заключается в том, что расчет переходных процессов сводится к расчету установившихся гармонических режимов и, следовательно, к возможности получения результата без составления и решения дифференциальных уравнений. Этот метод в чистом или приближенном виде широко применяется в теории автоматического регулирования и радиотехнике.

4.8.1. Применение преобразования Фурье для определения спектра сигнала

Спектр любой непериодической функции f (t) , удовлетворяю-

щей условиям Дирихле и абсолютной интегрируемости в бесконечных пределах, может быть найден с помощью прямого преобразования Фурье

∞
F ( jω) = ∫ f (t ) e− jωt dt .	(4.71)

−∞

Вещественная функция времени через комплексную функцию частоты F ( jω) определяется с применением обратного преобразова-

ния Фурье

∞

f (t ) = 1 ∫ F ( jω)e jωt dω. (4.72)

2π−∞

Уравнения (4.71) и (4.72) являются основными в теории спектрального анализа.

Обратное преобразование Фурье (4.72) обычно находят численным интегрированием, в связи с чем целесообразно перейти от комплексной формы интеграла к вещественной.

В общем случае спектральная плотность (или амплитуднофазовая характеристика), представляющая собой непрерывный спектр функции f (t) , имеет вид

F ( jω) = F (ω)e jΘ(ω) = F (ω) + jF (ω) ,		(4.73)
1	2

где F (ω) – амплитудно-частотная характеристика, Θ(ω) – фазочастотная характеристика,

281

F1 (ω) – вещественная частотная характеристика, F2 (ω) – мнимая частотная характеристика,

Нетрудно заметить, что F ( jω) и F (− jω) являются сопряжен-

ными комплексными величинами, тогда для их модулей и фаз можно записать

F (ω) = F (−ω); Θ(ω) = −Θ(−ω) .

Следовательно, F (ω) является четной функцией ω, а Θ(ω) –

нечетной функцией. Поэтому, представив подынтегральную величину в выражении (4.72) в виде

F ( jω)e jωt = F (ω) cos[ωt +Θ(ω)] + jF (ω)sin [ωt +Θ(ω)] ,

получим

F ( jω)e jωt + F (− jω)e− jωt = 2F (ω) cos[ωt +Θ(ω)] ,

следовательно, формулу (4.72) можно записать в виде

		1	∞
	f (t ) =		∫ F (ω)cos[ωt +Θ(ω)]dω,	(4.74)
		π
			0

представляющем собой интеграл Фурье (обратное преобразование Фурье) в тригонометрической форме.

Формула (4.74) показывает, что непериодическую функцию, удовлетворяющую указанным выше условиям, можно рассматривать как сумму бесконечного множества гармонических составляющих

с бесконечно малыми амплитудами π1 F (ω)dω и начальными фазами

Θ(ω) . То, что амплитуды в этом случае оказались в два раза больше,

чем при рассмотрении выражения (4.72), объясняется тем, что в (4.74) ω изменяется от 0 до +∞ , а не от −∞ до +∞ и, соответственно, гармоники с частотами ω и −ω, содержащиеся в (4.72), просуммирова-

ны в (4.74).

282

Интеграл Фурье в вещественной форме также может быть представлен в виде

	f (t ) =	2		∞
				∫ Re(F ( jω)) cos ωtdω,			(4.75)
		π
				0
	и
	f (t ) = −		2			∞
						∫ Im(F ( jω))sin ωtdω,	(4.76)
			π
						0

Прямое преобразование Фурье с помощью формулы Эйлера также может быть записано как

∞
F ( jω) = ∫ f (t )[cos ωt − j sin ωt] dt .	(4.77)

−∞

Тогда для четных функций

∞	∞
F ( jω) = 2∫ f	(t )cos ωtdt = 2 Re ∫ f (t ) e− jωt dt ,	(4.78)
0	0
для нечетных функций
∞	∞
F ( jω) = −2 j∫	f (t )sin ωtdt = 2 Im ∫ f (t ) e− jωt dt .	(4.79)
0	0

Эти формулы и используются на практике при расчете переходных процессов частотным методом.

4.8.2. Определение частотных характеристик заданной функции времени

Определение спектров типовых сигналов рассмотрим на следующих примерах.

Пример 1. Определить амплитудно-частотную и фазочастотную характеристики сигнала (рис. 4. 129).

∞

He

−

(

α+ jω

t

∞

F ( jω) = ∫ He−αt e− jωt dt =

)

=

−(α+ jω)

0

0

=

H

(e∞ −e0 ) =

H

=

H (α − jω)

.

−(α+ jω)

(α+ jω)

α2 +ω2

283

H

Таким

образом,

спектральная

плотность сигнала

He−αt

t

F ( jω)

= H (α − jω) .

α2 +ω2

Рис. 4.129

Поскольку

F ( jω) = F (ω)e jΘ ,

амплитудно-частотная характеристика

H

H

F (ω) = α2 +ω2

α2 +ω2 =

α2 +ω2

и фазочастотная характеристика

Θ(ω) = −arctg

ω .

F

α

Амплитудно-частотная

и

фазочастотная

характеристики

заданного сигнала

представле-

ω

ны на рис. 4.130.

Θ

π 2

Пример

2.

Определить

амплитудно-частотную и фазо-

частотную характеристики сиг-

ω

нала (рис. 4. 131).

Спектральная

плотность

− π 2

сигнала (см. рис. 4.131)

F ( jω) = ∫ Heαt e− jωt dt +

Рис. 4.130

+∫ He−αt e− jωt dt = 2∫ He−αt Re (e− jωt )dt = 2H Re ∫ e−αt e− jωt dt =

1

α

ω

2H α

2 .

= 2H Re

= 2H Re

α

2

2 − j

α

2

2

=

α

2

+ω

α + jω

+ω

+ω

284

Таким образом, амплитудночастотная и фазочастотная характеристики сигнала (см. рис. 4.131) имеют вид

F (ω) = α22 H+αω2 , Θ(ω) = 0.

Пример 3.

Для сигнала (рис. 4.132) спектральная плотность имеет вид

	F ( jω) = 2 Im ∫ He−αt e− jωt dt =
	= 2H	− jω	= −2H	jω	.
		α2 +ω2		α2 +ω2

Амлитудно-частотная и фазочастотная характеристики соответственно определяются как

F (ω) = α22 H+ωω2 ,

	f
Heαt	He−αt
	t
	Рис. 4.131

f

t

Рис. 4.132

Θ(ω) = − π .

2

Пример 4.

Спектральная плотность одиночного прямоугольного импульса (рис. 4.133) имеет вид

F ( jω)

∆

He

− jωt

∆

H

(e− jω∆ −e0 ) =

= ∫ He− jωt dt =

=

0

− jω

0

− jω

He−

jω∆

jω∆

−e−

jω∆

2He−

jω∆

jω∆

−e−

jω∆

H

2

e 2

2

2

e 2

2

=

(1

−e− jω∆ ) =

=

.

jω

ω

j

ω

2 j

Введем обозначения

ω∆ = x .

Тогда,

принимая во внимание,

e jx −e− jx

2

что

=sin x , получим

2 j

285

f

∆

− j ω∆

H

F ( jω) =

2He

2

H sin x∆e− jx

2

sin x =

=

ω∆

x

t

2

H ∆sin x

∆

=

e− jx .

x

Рис. 4.133

Обозначим H ∆ =Q , тогда

F ( jω) =Qe− jx sin x . x

Таким образом, амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики одиночного прямоугольного импульса:

F (ω) =Q sin x , Θ(ω) = x. x

Полученная спектральная плотность является периодической

	функцией,	причем период ее равен	2π	. Следует отметить, что
			∆
	Re (F ( jω))
		может быть как положительной, так и отрицательной,

что соответствующим образом отражается на фазочастотной характеристике Θ. Амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики

286

одиночного прямоугольного импульса представлены на рис. 4.134. Величина Θ изменяется скачком на π при каждом изменении знака величины sin x x .

4.8.3. Расчет переходных процессов частотным методом

Пусть имеем систему, на вход которой подается сигнал x(t), а реакция на выходе равна y(t). Входное воздействие в общем случае – это непериодическая функция, которая может быть представлена в виде совокупности спектральных составляющих с помощью обратного преобразования Фурье,

∞

x (t ) = f (t ) = 1 ∫ F ( jω)e jωt dω.

2π−∞

Подынтегральное выражение представляет собой одну из бесконечного множества элементарных стационарных составляющих

с комплексной амплитудой 1 F ( jω) . 2π

Из основ символического метода расчета цепей известно, что для стационарного гармонического режима комплексная амплитуда выходного сигнала определяется через комплексную амплитуду входного сигнала,

Y&	=W ( jω) X&	m	,	(4.80)
m

гдеW ( jω) – комплексная передаточная функция, которая может быть

определена с помощью комплексного сопротивления или проводимости.

Применив для каждой комплексной компоненты выходного сигнала обратное преобразование Фурье, получим искомый сигнал y(t)

			1
	Y&m	=		F ( jω)dω W ( jω) .	(4.81)
			2π
		14444244443

X&m

287

Следовательно,

	y (t ) =			1	∞	(F ( jω)W ( jω)dω)e jωt =
					∫
				2π
					−∞	(4.82)
		1	∞
	=		∫ F ( jω)W ( jω)e jωt dω.
		2π
			−∞

Таким образом, полученная формула (4.82) позволяет установить связь между комплексными спектрами входного и выходного сигналов,

Y ( jω) =W ( jω) X ( jω) ,

(4.83)

которая не только определяет спектр выходного сигнала (реакции), если известны передаточная функция цепи и спектр входного сигнала (воздействия), но и лежит в основе спектрального метода расчета переходных процессов.

Алгоритм расчета спектральным методом состоит из следующих этапов:

1.Для заданного входного сигнала f(t) с помощью (4.71) определяется спектр F(jω).

2.С помощью символического метода определяется передаточная функция W(jω).

3.Определяется спектр выходного сигнала с помощью (4.83) по известным F(jω) и W(jω).

4.Определяется выходной сигнал y(t) с помощью обратного преобразования Фурье (4.82).

Сам по себе этот путь расчета не дает каких-либо существенных преимуществ по сравнению с изложенным выше операторным методом. Существенное преимущество частотного метода обнаруживается при нахождении тока i(t) по заданному напряжению u(t) ,

когда имеем практически осуществленную сложную линейную электрическую цепь или вообще какое-либо сложное устройство с линейными электрическими элементами и есть возможность снять экспериментально зависимость входного комплексного сопротивления или передаточной функции цепи от частоты.

288

Необходимо отметить, что указанные приемы расчета переходных процессов возможны при нулевых начальных условиях. При ненулевых начальных условиях можно воспользоваться методом наложения, рассчитав процесс при нулевых начальных условиях и наложив на него процессы, которые получаются только от действия одних начальных напряжений на конденсаторах и индуктивных токов.

В зависимости от типа реакции и воздействия передаточная функция может иметь различные вид и размерность. Ее удобно обозначать двумя индексами: первый отражает входной сигнал, второй – выходной сигнал.

Остановимся подробнее на определении передаточных функций с помощью символического метода.

Для последовательной RL-цепи (рис. 4.135) справедливо

тогда

I& ( jω) Wui = U&L ( jω) =

вх

I&L	=		U&	вх		,
		R + jωL
1			, W		=	U&L ( jω)		= R + jωL .
							I&вх ( jω)
R + jωL				iu

Для параллельной RL-цепи (рис. 4.136)

передаточные функцииопределяется как

R

W = 1 +

1 , W = RjωL

.

U&вх

L

ui

R

jωL

iu

R + jωL

Таким же образом можно получить без-

Рис. 4.135

размерные передаточные

функции

Wuu , Wii ,

R

напримердляRC-цепи(рис. 4.137).

U&C

=

U&

вх

1

=

U&вх

1

.

L

1

jωC

RjωC +1

jωC

R + jωC

jωC

Рис. 4.136

289

R		U&C ( jω)		1
	W =		=
		U&вх		.
C	uu			1 + jωRC
	Рассмотрим примеры расчета переход-
Рис. 4.137	ных процессов спектральным методом.

4.8.4. Связь преобразования Фурье

спреобразованием Лапласа

Взадачах о переходных процессах в электрических цепях часто приходится иметь дело с функцией времени, тождественно равной нулю при отрицательных значениях аргумента:

f (t) при t > 0,

0 при t < 0. (4.84)

Ее изображением по Лапласу называют функцию F ( p) комплексного переменного p = σ+ jω, образованную при помощи прямого преобразования Лапласа:

∞
F ( p) = ∫ f (t)e− pt dt .	(4.85)
0

Преобразование Лапласа носит формальный характер, и его трудно наделить физическими свойствами. Оно позволяет получить для заданной функции времени f (t) однозначно ей соответ-

ствующее операторное изображение F ( p) , если f (t) имеет экс-

поненциальный порядок роста, т.е. возрастает со временем не быстрее экспоненты. В этом случае подынтегральное выражение (4.85) убывает со временем и интеграл приобретает конечное значение, если выбрать достаточно большой вещественную часть σ параметра p.

290