Краткий курс общей физики

щий момент М = 0,45 мН·м. Определите силу тока, текущего по

рамке.

Д а н о: S = 1,5·10‒3 м2; В = 0,1 Тл; М = 0,45·10‒3 Н·м; α = 90°.

Р е ш е н и е. Вращающий момент, действующий на рамку со стороны поля, определяется формулой

M = pm·B·sinα,

где α ‒ угол между вектором

индукции поля B и положительной нормалью n к рамке; pm ‒ модуль магнитного момента, pm = IS. Тогда

	М = ISВ I	M		0,45 10–3				3	А.
		SB		1,5 10–3		0,1

№ 4. Определите циркуляцию вектора магнитной индукции для замкнутого контура, изображенного на рисунке, если сила тока в про-

водниках: I1 = 2 А, I2 = 4 А, I3 = 6 А.

Р е ш е н и е. По теореме о циркуляции вектора магнитной индук-

ции

	N
B d 0	Ii ,

i

где N = 3. Направление обхода контура показано на рисунке. Тогда

	B d 0 (I1 I2 I3 ) 4π 10 7 8 10 5 Тл м.
№ 5. Замкнутая квадратная рамка
из гибкой	проволоки	расположена
в магнитном поле с индукцией 0,1 Тл,
силовые линии которого		направлены
перпендикулярно к плоскости рамки.

Какой заряд протечет в рамке, если, не меняя расположения рамки, придать ей форму окружности? Длина проволоки 1 м, ее сопротивление 100 Ом.

Д а н о: В = 0,1 Тл; ℓ = 1 м; R = 100 Ом.

Реше ние. Магнитныйпоток, пронизывающийрамку,

Φ= B·S·cosα,

191

гдеα‒уголмеждуиндукцией B инормальюкрамке n .

Любое изменение магнитного потока приводит к возникновению в рамке ЭДС индукции õi ddt . В нашем случае магнитный

поток меняется вследствие изменения площади рамки S. Площадь квадратной рамки

Sкв

2

2

16

.

4

Поскольку длина окружности

2πr, то

r

. Тогда пло-

2π

щадь круглой рамки

Sкр πr

2

2

2

π

.

2π

4π

Согласно закону Фарадея õ

B(Sкр Sкв)

.

i

t

t

По закону Ома I

õi .

Подставим I

q

. Получим:

R

t

q

õ

i

или

q

B(Sкр Sкв)

.

Отсюда

t

t

R t

R

q

B

2

2

B 2 1

1

0,1 1

1

1

17,1 10

6

Кл.

4π

16

4

4 100

R

4R π

3,14

4

№ 6. Индуктивность катушки равна 2 мГн. Ток частотой 50 Гц, протекающий по катушке, изменяется по синусоидальному закону. Определите среднюю ЭДС самоиндукции, возникающую за интервал времени, в течение которого ток в катушке изменяется от нулевого до максимального значения. Амплитудное значение силы тока

10А.

Да н о: L = 2·10‒3 Гн, ν = 50 Гц, I0 = 10 А.

Р е ш е н и е. Закон изменения тока:

I = I0 sinωt, или I = I0 sin(2 νt).

Предположим, что I = 0 А при t = 0 с, тогда I = 10 sin(100 t). ЭДС самоиндукции определяется по формуле:

192

, где L – индуктивность тороида.

õi L ddIt LI0ωcos ωt 2 10 3 10 100π cos(100πt)2π cos(100πt).

От нулевого до максимального (I = 10 А) ток меняется за время

t 14 T , гдеT – периодколебанийтока, T 1ν. Отсюда t 41ν.

Находим среднее значение ЭДС (знак «‒» у ЭДС опускаем):

1

t

1

t

õi

õi (t)dt

I0 L cos(ωt)dt,

t

t

0

0

I

Lω

1

π

õi

0

sin(ω t)

I0 L 2πν 4ν sin

2πν

8πν2 I0 L sin

,

t

2

4ν

õi 8πν2 I0 L 8π 2500 10 2 10 3 400π 1256 В.

№ 7. На железное кольцо намотано в один слой 200 витков провода. Определите энергию W магнитного поля, если при токе 2,5 А

магнитныйпотокчерезсечениежелезногосердечникаравен0,5 мВб.

Д а н о: N = 200; I = 2,5 А; Ф = 0,5·10‒3 Вб.

Р е ш е н и е. При намотке провода на кольцо получаем тороид.

Энергия магнитного поля W LI22

С одной стороны, полный магнитный поток (потокосцепление) тороида N , с другой стороны, L I . Поэтому NΦ = LI, отку-

	да L	N	. Тогда
		I
	W		LI 2		N I 2		N I		200 0,5 10 3 2,5	0,125 Дж.
			2		2I		2		2

3.4. Электромагнитные колебания и волны

3.4.1. Колебательный контур

Электрические колебания могут возникать в цепи, содержащей индуктивность и емкость. Такая цепь называется колебательным контуром. На рис. 3.37, а изображены последовательные стадии колебательного процесса в идеализированном контуре с электрическим сопротивлением, равным нулю.

193

	1	2		3		4	5
+q			I	- q		I	+q
а)				+q			- q
a) - q
W	q2		L I 2		q 2	LI 2		q 2
						2		2C
					2C
		2
	2C

бб))

W kx	2	mv	2	kx	2	mv	2	kx	2
								2
2		2		2		2
				Рис. 3.37

Для того чтобы вызвать колебания, можно присоединить отключенный от индуктивности конденсатор к источнику тока, вследствие чего на обкладках возникнут разноименные заряды величиной qm (позиция 1 на рис. 3.37, а). Между обкладками возник-

нет электрическое поле, энергия которого равна q2 / (2C) (см.

(3.57)). Если затем отключить источник тока и замкнуть конденсатор на индуктивность, емкость начнет разряжаться и в контуре потечет ток. В результате энергия электрического поля будет уменьшаться, но возникнет все возрастающая энергия магнитного поля, обусловленного током, текущим через индуктивность. Эта энергия

равна LI 2 2 (см. (3.134)).

Поскольку сопротивление цепи равно нулю, полная энергия, складывающаяся из энергии электрического поля и энергии магнитного поля, не расходуется на нагревание и будет оставаться постоянной. Поэтому в момент, когда напряжение на конденсаторе, а следовательно, и энергия электрического поля обращаются в нуль, энергия магнитного поля, а значит, и ток достигают наибольшего значения (позиция 2; начиная с этого момента ток течет за счет ЭДС самоиндукции). В дальнейшем ток уменьшается и, когда заряды на обкладках достигнут первоначальной величины qm, сила тока становится равной нулю (позиция 3). Затем те же процессы протекают в обратном порядке (позиции 4 и 5), после чего система приходит в первоначальное состояние (позиция 5) и весь цикл повторяется снова и снова. В ходе опи-

194

Рис. 3.38

санного процесса периодически изменяются (т.е. колеблются) заряд q на обкладках, напряжение U на конденсаторе и сила тока I, текущего через индуктивность. Колебания сопровождаются взаимными превращениямиэнергийэлектрическогоимагнитногополей.

На рис. 3.37, б колебаниям в контуре сопоставлены колебания пружинного маятника. Сообщению зарядов обкладкам конденсатора соответствует выведение маятника внешней силой из положения равновесия и сообщение ему первоначального отклонения xm. При этом возникает потенциальная энергия упругой деформации пру-

жины, равная kxm2 / 2 (см. (1.94)). Позиция 2 соответствует прохож-

дению маятника через положение равновесия. В этот момент квазиупругая сила равна нулю и маятник продолжает двигаться по инерции. К этому времени энергия маятника полностью переходит в кинетическую mv2 / 2 .

Из сопоставления электрических и механических колебаний следует, что энергия электрического поля аналогична потенциальной энергии упругой деформации, а энергия магнитного поля аналогична кинетической энергии. Индуктивность L играет роль массы, а величина, обратная емкости (1/С) – роль коэффициента жесткости k. Наконец, заряду q соответствует смещение маятника из положения равновесия х, а силе тока I – скорость v. Как мы увидим ниже, аналогия между электрическими и механическими колебаниями распространяетсяинаописывающиеихматематическиеуравнения.

Найдем уравнение колебаний в контуре без сопротивления. Условимся считать положительным ток, заряжающий конденсатор

(рис. 3.38).

Тогда

I	dq	.	(3.147)
	dt

Поскольку сопротивление R контура равно нулю, падения напряжения на соединительных проводах нет, и напряжение на конденсаторе 1 – 2 = q/С в

каждый момент времени равно ЭДС самоиндукции õs = –L dI/dt. Следовательно,

q	L	dI	.	(3.148)
C
		dt

195

Для изображенной на рис. 3.38 стадии процесса зарядки конденсатора напряжение 1 – 2 положительно, а dI/dt отрицательно (ток уменьшается). Поэтому справа в уравнении (3.148) стоит знак «минус».

	Сделав замену	dI		d2q	в уравнении (3.148) и произведя про-
		dt		dt2
	стые преобразования, придем к дифференциальному уравнению
					d2q		1	q 0.	(3.149)
					dt2		LC

Получилось уравнение вида (1.92) относительно заряда конденсатора q. Следовательно, заряд на обкладках конденсатора из-

меняется (колеблется) по гармоническому закону:
		q qm cos( 0t ),				(3.150)
с амплитудой qm и циклической частотой
			1	.		(3.151)
		0	LC
Эта частота называется собственной частотой контура. Для
периода колебаний получается формула Томсона:
		T 2 LC.				(3.152)
Напряжениенаконденсатореотличаетсяотзарядамножителем1/С:
U	qm	cos( t ) U		m	cos( t ).	(3.153)
	C	0			0
Продифференцировав функцию (3.150) по времени, получим
выражение для силы тока:
I qm 0 sin( 0 t ) Im cos( 0t / 2).						(3.154)

Таким образом, сила тока опережает по фазе напряжение на конденсаторе на /2.

Из формул (3.153) и (3.154) следуют выражения для амплитуд колебаний напряжения на конденсаторе и силы тока:

Um qCm , Im qm 0 .

196

Взяв отношение этих амплитуд и заменив 0 по формуле

(3.151), получим соотношение
Um	L	.	(3.155)
Im	C
К этой формуле можно прийти также исходя из того, что наи-
большее значение энергии электрического поля CUm2 / 2			равно наи-
большему значению энергий магнитного поля LIm2 / 2 .

3.4.2. Свободные затухающие колебания

Всякий реальный контур обладает сопротивлением (рис. 3.39). Энергия, запасенная в контуре, постепенно расходуется в этом сопротивлении на нагревание, вследствие чего свободные колебания затухают. В этом случае ЭДС самоиндукции в каждый момент времени равна сумме напряжения на конденсаторе и напряжения на

сопротивлении, равного IR:
			q	IR L dI .						(3.156)
			C
						dt			+q		-q
Введя обозначение
2	R	,				(3.157)	I		1		2
											L
	L
										R
с учетом (3.151) уравнение (3.156) запи-
шем в виде									Рис. 3.39
	d2q			2	dq	2				(3.158)
	dt2				dt	q 0.
						0
С математической точки зрения уравнение (3.158) тождест-
венно с уравнением	(1.126). Из					сопоставления формул (3.157)
и (1.125) следует, что электрическое сопротивление R играет роль
коэффициента сопротивления среды r.
В случае, когда < 0, решение уравнения (3.158) имеет вид
	q q e t				cos( t ).					(3.159)
				0		з

Здесь начальные амплитуда q0 и фаза определяются из на-

чальных условий, а циклическая частота затухающих колебаний

	2	2		1		R2
							.	(3.160)
				LC		4L2
з	0

197

q

q0	q0exp(- t)

0

Рис. 3.40

График функции (3.159) изображен на рис. 3.40.

Логарифмический декремент за- t тухания (см. (1.134))

			T		R 2			R	. (3.161)
					2L			L
						з		з
		Добротностьконтура(см. (1.136))
Q			L з	.					(3.162)
			R

3.4.3. Вынужденные электромагнитные колебания. Полная цепь переменного тока

Чтобы вызвать вынужденные электромагнитные колебания, нужно, разорвав контур, подать на образовавшиеся контакты переменное напряжение (рис. 3.41):

U U0 cos t.

(3.163)

				Рис. 3.41
Это			напряжение	нужно добавить			к ЭДС		самоиндукции.
В результате соотношение (3.156) примет вид:
	q	IR L dI U0 cos t, или			q	IR L dI		U0	cos t. (3.164)
	C		dt		C		dt

Отношение q / C есть напряжение UC на конденсаторе, произведение IR равно напряжению UR на сопротивлении, выражение

L dI / dt определяет напряжение UL на	индуктивности. Поэтому
можно написать:
UC UR UL U0	cos t.	(3.165)

Таким образом, сумма напряжений на отдельных элементах контура равна в каждый момент времени напряжению, приложенному извне (см. рис. 3.41).

198

С учетом введенных ранее обозначений (3.151) и (3.157) урав-

нение (3.164) перепишем в виде:
d2q	2	dq	2	U	0	cos t.	(3.166)
dt2		dt	q	L
			0

Это неоднородное (правая часть отлична от нуля) дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Как известно из теории дифференциальных уравнений, общее решение неоднородного уравнения (3.166) равно сумме общего решения (3.159) однородного уравнения (3.158), соответствующего данному неоднородному, и частного решения данного неоднородного уравнения (которое можно найти по виду правой части):

q qm sin( t ) qm cos( t / 2).

(3.167)

Амплитуду заряда qm и отставание по фазе можно найти, непосредственно подставляя частное решение (3.167) в уравнение

(3.166), откуда:
qm		U0 / L						U0		,	(3.168)
	( 2	2 )2						R2 ( L 1/ ( C))2
			4 2 2
0
		tg		2	2			L 1/ ( C)	.		(3.169)
				2	0			R
Общее решение уравнения (3.166), описывающее изменение
заряда конденсатора при вынужденных колебаниях,
	q q e t		cos( t ) q cos( t / 2).
		0		з				m

Первое слагаемое в этом уравнении играет заметную роль только в начальной стадии процесса, при так называемом установлении колебаний. С течением времени из-за экспоненциального множителя e t роль этого слагаемого уменьшается, и по прошествии достаточного времени им можно пренебречь, сохраняя лишь второе слагаемое.

Таким образом, функция (3.167) описывает установившиеся вынужденные колебания. Они представляют собой гармонические колебания с частотой, равной частоте подаваемого напряжения.

Сила тока при установившихся вынужденных колебаниях в

	контуре меняется по следующему закону:
	I	dq	I0 cos( t ),	(3.170)
		dt

199

где амплитуда тока

	I0 qm	U0	.	(3.171)
		R2 L 1/ ( C) 2

Ток отстает от внешнего напряжения по фазе на угол , определяемый соотношением (3.169).

Установившиеся вынужденные электрические колебания можно рассматривать как протекание переменного тока в полной цепи, обладающей емкостью, индуктивностью и сопротивлением.

Полученное выражение для амплитуды силы тока (3.171) можно формально толковать как закон Ома для амплитудных значений тока и внешнего напряжения. Стоящую в знаменателе этого выражения величину, имеющую размерность сопротивления, обознача-

ют буквой Z и называют полным сопротивлением цепи переменного тока или импедансом:

	I0		U0	,	(3.172)
			Z
Z	R2 ( L 1/ ( C))2 .				(3.173)

Величину, стоящую в круглых скобках этого выражения, обо-

значают X и называют реактивным сопротивлением:

X L 1/ ( C).

(3.174)

При этом величину L называют индуктивным сопротивлени-

ем, а величину 1/( C) – емкостным сопротивлением. Их обознача-

ют соответственно XL и XC. Сопротивление R в этом случае называют активным сопротивлением цепи. Термин «активное сопротивление» используется в том смысле, что именно на этом сопротивлении рассеивается энергия в виде тепла.

Итак,

XL = L, XC = 1/( C), X = XL – XC, Z

R2 X 2 .

(3.175)

Найдем напряжения на отдельных элементах контура:

q

q

UC

m cos

t

UCm cos

t

,

(3.176)

C

2

C

2

UR IR I0 R cos( t ) URm cos( t ),

(3.177)

200