Поведение конструкций из композитных материалов

Выводы

Очевидно, что одна из причин потери конструкцией несущей способности ззклю" чается в превышении напряжениями [которые для несущих слоев определяются формулой (3.158)1, некоторых допускаемых значений. При напряжениях ниже^ допускаемых возможны четыре формы потери устойчивости панели: общая форма в соответствии с (3.159), когда Vx < (5/2)s/EfJEf к хI потеря устойчивости з?полнителя при сдвиге, описываемая равенством (3.1бЗ), когда Vx > (5/2)\/Efy /Efx к х;

смятие несущих слоев согласно (3.164) и образование вмятин на несущем слое в соответствии с (3.165). Любопытно, что имеются четыре геометрических парамет­ ра, которыми можно варьировать для панели с заданной длиной, шириной, нагруз­ кой и материалом, а именно tp, h^ tc и d. Четыре уравнения с четырьмя неизвест­

ными дают однозначное решение и обеспечивают создание конструкции с минималь-/ ной массой при заданной нагрузке на единицу ширины (Nx). Этот процесс назы­

вается оптимизацией конструкции.

Оптимизация трехслойной панели с сотовым заполнителем при действии в ее плоскости сжимающей нагрузки

Из вышесказанного следует, что существуют четыре уравнения, опре­ деляющих потерю устойчивости панели, содержащие четыре геометричес­ ких параметра, позволяющих улучшить или оптимизировать конструк­ цию. При этом найденное для всех видов потери несущей способности осг должно быть одинаковым, иначе мы можем перераспределить мате­ риал так, что форма, по которой имелся запас по устойчивости, окажет­ ся определяющей. Здесь используется концепция слабейшего звена, поскольку очевидно, что панель разрушится, если нагрузка достигнет критического значения хотя бы для одной формы потери устойчивости.

Итак, у нас есть уравнения — одно из которых, достаточно сложное, описывает общую потерю устойчивости, имеющую место при V < (5/2) X

K\/EfylEfx к 1 . Другое, более простое уравнение (3.163), для случая

потери устойчивости сотового заполнителя при сдвиге справедливо при

Vx < (5/2)\/Efy/Efx к х. Для того, чтобы оба этих вида потери устой­ чивости соответствовали одному критическому напряжению, определяемому по (3.159) и (3.163), следует принять Vx = (5/2)\/Efy/Efx к х.

В этом случае можно пользоваться более простым выражением (3.163). Затем следует воспользоваться выражением (3.164) для определения критического напряжения для несущего слоя и (3.165) для определения напряжения, при котором возможно образование вмятины в пределах ячейки. Таким образом, имеется четыре уравнения и четыре неизвест­ ных: tc, d, hc и tF. С помощью выражения (3.158) масса панели на едини­ цу ее площади записывается в виде

где рр и рс —плотности материалов несущего слоя и заполнителя; Wa(j - масса клея, используемого для соединения несущего слоя с заполнителем. Эта величина не определяется аналитически и зависит только от мастерст­ ва людей, занятых производством трехслойных панелей.

В итоге при оптимизации конструкции следует рассматривать шесть уравнений с шестью неизвестными: hc, tp, tc, d, oF и (W - Wa(j). Анализ показывает, что если ненагруженные края пластины шарнирно оперты, т.е. к ! = 1, то ее масса лишь на 7,45 % превышает массу панели с защем­ ленными продольными краями (при этом к =3/4). Следовательно, в за­ дачах оптимизации можно принимать к = 1. При оптимизации основным уравнением является

				(3.167)
С учетом Vx = (5/2)yjEfy/Efx получим
	7 Г 2		3 t ¥hcd	(3.168)
2(1 -
	х у у х
	16			1 /2
				(3.169)
° с г =	9	1	Vх у Vу х
	V £ fA , / tF\ 2			(3.170)
	( 1 -	* х у * у х ) ' d )
Nx — 2tFo(^				(3.171)
{ w -	Wad) = 2pFfF + f ( ^ ) & cPc			(3.172)

Интересно, что приведенные выше уравнения могут быть преобразова­

ны	к единому	соотношению между интенсивностью нагрузки (Nx/b)
и	напряжением	(оу^), включающему только механические свойства
материала. Это соотношение было разработано десять лет назад в NASA

и называется ’’универсальным соотношением”. Подставим (3.168) в (3.169) и затем в (3.171), получим искомое соотношение

К = Л 5 ( 1 - ^ ) /О с \ ^
ь	*	\ Е С Е?/4Е '/4
		'/г	ХУ

Если напряжения, определенные по (3.158), превысят допускаемые, то панель разрушится. Однако и при меньших напряжениях может про­ изойти потеря устойчивости. Для любых Nx/b и Ofx, удовлетворяющих (3.173), конструкция обладает минимальной массой. Если выбрать hc, tc, d и tF такими, при которых <jfx больше или меньше, чем определенное по (3.173), то масса панели будет больше.

При использовании (3.173) с целью обеспечения минимальной массы трехслойной панели с сотовым заполнителем размеры ее элементов можно установить по уравнениям

	К	(3.174)
	ъ
	d	(3.175)
	Ъ
	U	(3.176)
	Ъ

(3.177)

Ъ

Вычисления показывают, что если размеры hc, d, tc и tF определены по этим формулам, то панель является равноустойчивой по всем четырем формам потери устойчивости, а минимальная масса панели на единицу площади определяется равенством

W -	(1 -	vr„v,	1 /2	(3.178)
	Ж,a d = Д 5	х у гу х )	P F + 2 Р с^ 1

£ ГУ4£ //4

Известно, что для заданных величин Nx, материалов и геометрии систе­ мы оптимальные значения hc, tc, d и tF практически не всегда могут быть реализованы. Например, у изготавливаемых промышленностью сотовых заполнителей d меньше оптимального, а 1С больше. Это означает^ что разрушение заполнителя не может быть причиной потери несущец способности панели, поэтому следует оптимизировать и параметр hCf определяющийся подбором. Величина tF может быть близкой к опти­ мальной, так как выпускаемые промышленностью ленты из углеродных волокон имеют толщину порядка 0,17 мм. В любом случае при заданных

материалах, с целью повышения надежности конструкции после получе­ ния оптимальных размеров следует назначить tp и tc несколько больши­ ми, а Ис и d несколько меньшими по сравнению с их оптимальными вели­ чинами, определенными по (3.174) и (3.177). Затем следует оценить затраты, связанные с изготовлением более дорогой, но оптимальной па­ нели, и сравнить их со стоимостью панелей уже освоенных промышлен­ ностью. Таким образом может быть принято окончательное инженерное решение.

Итоговые замечания

Имеется большое количество работ, посвященных расчету и оптими­ зации трехслойных панелей с сотовым заполнителем, имеющим шести­ гранные и квадратные ячейки со сплошным заполнителем, с изотропны­ ми и композитными несущими слоями, нагруженными сжимающими и сдвиговыми усилиями, а также поперечным давлением, действующим раздельно или совместно. В работах [22—24] рассматриваются трехслой­ ные панели с заполнителем в форме сплошных или ферменных стенок.

3.14. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Кажется, нет конца попыткам более точного математического описа­ ния поведения композитных материалов в конструкциях. К сожалению, чем сложнее расчетная модель; тем сложнее оказывается математический аппарат, и это мы с очевидностью наблюдали от раздела к разделу в гл. 3.

Дополнительная сложность, возникающая при анализе некоторых композитов, связана с тем, что жесткость и другие свойства этих мате­ риалов различны при растяжении и сжатии. Это происходит потому, что: 1) материалы матрицы и волокон различно сопротивляются растя­ жению и сжатию; 2) материал матрицы по сравнению с материалом волок­ на обладает значительно меньшим модулем упругости (Em ^ Ej). Во втором случае, при сжатии, волокна теряют устойчивость уже при не­ больших нагрузках, поэтому жесткость композита при сжатии значитель­ но отличается от жесткости при растяжении. Можно построить идеализи­ рованную модель материала и наделить ее различными упругими свойст­ вами при растяжении и сжатии. Такие материалы были названы бимодуль­ ными и типичными их примерами служат композиты на основе волокон кевлар и резиновой матрицы, которые используются дня автопокрышек, а также некоторые биологические ткани, используемые в медицинской технике. Различие в свойствах можно условно записать в виде

	-*-1			ф А | В'	(3.179)
	•	J		В ГD.	сж.
■ В		D	раст.

Рис. ЗЛО. Влияние гидротермических воздействий

Учет этой особенности в решениях достаточно сложен, и мы можем рекомендовать дополнительно работы [25—28].

Другая трудность возникает при более строгом учете гидротермичес­ ких воздействий. Экспериментально было установлено, что для некото­ рых композитов Р = 0 до значения влажности шь затем эта величина растет с повышением влажности так, как показано на рис. 3.10. В’боль­ шинстве случаев это вносит нелинейность во все исследовательские задачи аналогичные нелинейности, возникающей при учете пластичности. Для интересующихся этим вопросом отметим, что при некоторой влажности т2 (обычно 2 %) коэффициент разбухания 0 равен /Зш i и имеет место нелинейный закон, обсуждавшийся ранее. Очевидно, что такая аппрокси­ мация может нас удовлетворять только на стадиях предварительного расчета и проектирования.

И наконец важное значение придается влиянию фактора времени на напряжения, деформации и перемещения в композитных материалах, т.е. эффектам вязкоупругости и ползучести. В работе [29] было показа­ но, что вязкоупругость полимерной матрицы в композитной пластине в значительной мере влияет на потерю устойчивости. Также значительно вязкоупругость влияет и на частоту собственных колебаний. Многие из этих проблем нашли отражение в работе [30], которая в первую очередь посвящена пластинам из композитных материалов.

3.15.ЗАДАЧИ

3.1.Найти критическую нагрузку Nx сг для пластины, все края которой шарнир­ но опертые, а механические свойства следующие:

D x х = 0,19 МН • м;	D i2 = 3,23 кН м;	D22 = 18,4 кН • м;
D66 = 4,3 кН • м;	р = 1,09 кН • с/м4 ;	а = 0,76 м; b = 0,51 м; h = 25,4 мм.

3.2.Найти частоту собственных колебаний пластины из задачи 3.1.

3.3.Заданы свойства материала пластины, образованной однонаправленной уклад* кой четырех слоев с толщиной h =0,5 мм, где

150	0,98	0	3,22	0,02	0
А = 0.98	3,14	0	МН/м; D = 0,02	0,067	0
0	0	2X2,14	0	0	2X0,046

В = 0; А 66 = 2,14 МН/м; D66 = 0,046 Н/м; плотность р= 0,94 кН • с/м4.

Рассмотреть пластину с размерами а =0,5 м; b =0,76 м; И =0,5 м и свойствами материала, привсденными^выше. Решить задачу вначале методом возмущений соглас­ но разд. 3.8 и определить Ъ и а.

3.4. Для пластины из задачи 3.3, шарнирно опертой по всем краям, определить частоту собственных колебаний без учета поперечной сдвиговой деформации.

Гл а в а 4. БАЛКИ, СТОЙКИ И СТЕРЖНИ ИЗ КОМПОЗИТНЫХМАТЕРИАЛОВ

4.1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ

Балки, стойки и стержни представляют собой длинные и тонкие конст­ рукции шириной Ь, длиной L и высотой Л, причем b/L < 1 и h/L < 1 (рис. 4.1).

Термин ’’балка” применяется к конструкции, изображенной на рис. 4.1, если она нагружена сосредоточенной или распределенной поперечной нагрузкой в плоскости x - z в направлении оси z, приложенной к верхней или нижней поверхностям (так, что z =±h/2) и вызывающей изгиб (появ­ ление кривизны в плоскости х, z). Термин ’’стержень” используется, когда конструкция (рис. 4.1) нагружена в осевом направлении (в направ­ лении оси х) растягивающими силами, которые вызывают ее удлинение. Термин ’’стойка” используется, когда конструкция нагружена сжимаю­ щими силами в направлении осих, которые вызывают уменьшение длины стойки вследствие действия сжимающих напряжения и (или) приводят

кпотере устойчивости, которая будет обсуждаться далее в этой главе. На практике может иметь место сочетание этих нагрузок, тогда конст­

рукция может рассматриваться как продольно нагруженная балка.

В качестве первого простого примера рассмотрим балку, нагруженную только в плоскости x —z поперечной нагрузкой, либо растягивающей или сжимающей, либо их сочетанием. Для простоты не будем учитывать влияние влажности и температуры (т.е. гидротермические воздействия), которые вносят добавочные деформации в определяющие уравнения, приведенные в гл. 2. Поскольку балка узкая (b < L), то деформациями

Рис. 4.1. Принятые обозначения для размеров балки, стойки или стержня

в направлении оси у можно пренебречь, подразумевая, что эффект Пуас­ сона мы не учитываем (это является допущением классической теории балок). Следовательно, все величины, входящие в основные определяю­ щие уравнения, не зависят от у.

Обратившись к уравнению (2.62), запишем с учетом принятых выше допущений, определяющие уравнения для балки:

	К ■ ~ A U	B u	«2	(4.1)
	B u	B>n	K.x
	и согласно (2.59)
	Qx ~ 2А55€х:			(4.2)

Если балка обладает срединной плоскостью симметрии, как большинст­ во композитных конструкций, то В ц = 0, отсюда В хх = 0 и приведенное выше соотношение (4.1) разделяется, т.е.

Nx = Au t°x			(4.3)
М х =	D U K X		(4.4)
Заметим,		что при В хх	= 0 нагрузка Nx и вызванная ею деформация
ех не зависят от изгибающего моментаМх и кривизны кх .
Для	большинства композитных конструкций нельзя пренебрегать
поперечной		деформацией	сдвига (т.е. exz Ф 0), поскольку она значитель­
но влияет		на поперечный прогиб w, частоты собственных колебаний

и критическую нагрузку. Что касается напряжений, то они не столь под­ вержены этому влиянию, поэтому на стадии предварительных расчетов пренебрежение конечной деформацией сдвига вполне допустимо. Таким образом, для нашего первого примера exz = 0, и поэтому выражение (4.2) в дальнейшем не используется.

Рассмотрим теперь приведенные в предыдущих разделах уравнения равновесия пластины. Как следует из допущений, принятых для балки, Ny = Nxy = Му = Мху = Qy = тХу = т2у = 0, т.е. остаются следующие урав­ нения равновесия:

	d Nx		(4.5)
	dx + TI .V-TI , = 0
	dx1 + P\ ~ P i -	о	(4.6)

	d A/t	0 v + 2 [ T2V+ T2>] = 0	(4.7)
	dx

Снова с целью упрощения примера, допустим, что поверхностные напряжения сдвига т1х и т2х равны нулю. Также понятно, что балка будет реагировать только на разницу нормальных поверхностных усилий рх и Рг на верхней и нижней поверхностях, т.е.

p ( x ) = P i -Р г-

с учетом выражений (4.5) , (4.6) и (4.7), получим

d7Vv

dx = 0

dQx + p (x ) = 0 dx

d Mx

dx - e , = о

(4 -8)

(4.9)

(4.10)

(4.11)

Необходимо помнить, что Nx, Qx и Mx для пластин являлись величина­ ми, приходящимися на единицу длины пластины в направлении у , т.е. записанные соотношения соответствуют балке единичной ширины. Однако поскольку для балки все величины не зависят от у , то можно умножать их на ширину балки Ъ. Тогда

P = Nxb, V = Q xb, Mh = Mxb, q (x )= p (x )b

(4.12)

Таким образом, основные уравнения для балок из композитных мате­ риалов, обладающих срединной плоскостью симметрии, под действием поперечных нагрузок в плоскости x - z без учета гидротермических воз­ действий и поперечной деформации сдвига имеют вид

р = ЬАи<1 = ЬАи ^		(4.13)
Mx - b D u Kx= bDu d2w		(4.14)
	dx
dP	n	(4.15)
-T-	= °
dx
-r- + q(x) = 0		(4.16)
dx
dM h		(4.17)
dx	V = 0

Из выражения (4.15) ясно, что величина Р является постоянной, поэто­ му интегрирование выражения (4.13) дает уравнение для определения перемещения щ срединной плоскости балки:

М°(Л:)=

с

°

(418)

где С0 —постоянная интегрирования, зависящая от условия закрепления. Если стержень нагружен только осевой растягивающей нагрузкой Р (4.18), то все напряжения в каждом слое могут быть определены с по­ мощью выражения

к ] , - ш , , и < : ] - [ ё , ,1 . ( 1 7 ) <“•«>

Если Р является сжимающей нагрузкой, то это выражение также спра­ ведливо, за исключением случая потери устойчивости, для описания которого нужна иная теория, которая будет изложена ниже.

Аналогично подставляя (4.14) в (4.17) и затем в	(4.16), придем
к дифференциальному уравнению изгиба балки:
d4w	(4.20)
bDu — = q{x)
ах

Это уравнение является основным дифференциальным уравнением для балки из композитного материала при В ц = АТ = Ат = exz = 0. Че­ тырехкратное интегрирование выражения (4.20) дает нам общее реше­ ние с четырьмя постоянными интегрирования, используемыми для удов­ летворения граничных условий.

Легко видеть, что для однослойной, изотропной балки с прямоуголь­ ным поперечным сечением ЪАХ\ =ЕА =Ebh, bD\ i =EI =Ebh 3/12.

Прогиб w(x) , найденный из выражения (4.20), позволяет найти напря­ жения в каждом слое в виде

k],-*lS„l.[*,]- -[ёп1„*£т	(4-21>
ах

Очевидно, если имеет место совместное действие продольных и попе­ речных нагрузок, то напряжения в каждом слое определяются суммиро­

	ванием	выражений (4.19) и (4.21):
	г 1	г — -I	dUQ г— 1 d w	(4.22)
	[ Q v ]	к = [ c ? l l ]	~ [ Q w \ k Z ~d * 2

4.2. НЕКОТОРЫЕ ПРОСТЫЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ДЛЯ БАЛОК ИЗ КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ

С помощью приведенных в разд. 4.1 основных уравнений могут быть получены решения различных задач для балок, стержней и стоек.

Для задачи изгиба балки решение уравнения (4.20) дает четыре по­ стоянных интегрирования, которые используются для удовлетворения граничных условий на концах балки. Обсуждения классических гранич­ ных условий можно найти в любой книге по основам механики, поэтому здесь они не приводятся. Существуют три вида классических граничных условий для балок: шарнирное опирание, защемление и свободный край. Для каждого вида запись граничных условий выглядит следующим обра­ зом:

Шарнирно опертый край	Защемленный край	Свободный край
w =0	w=0	Mfr=0
МЬ=О	dw/dx=0	(4.23)
		Vfj=0.

В качестве примера рассмотрим балку с защемленными концами под действием постоянной поперечной нагрузки q (х) = - д0, где q0 =

=const, как показано на рис. 4.2. Из уравнения (4.20) имеем

	d4w _ _	д0
	d x 4	bDu
	d3w	до		j x	+ С i				(4.24)
	d ?
		bDu
	d2 w	go		x 2	+ CjX + C2				(4.25)
	d x 2	bDu		2
	d w	4o	* 3		C\X2	+ C2x + C3			(4.26)
	dx
		bDu	6		2
	H x )	4o		x 4	C}x 3		C2x 2	+ C3x + C4	(4.27)
		bDu 24			6		2

Рис. 4.2. Защемленная с двух концов балка, нагруженная постоянной поперечной силой