Строительная механика стержневых систем. Часть 1

2. Если в двухстержневом узле приложена сила вдоль одного из стержней, то усилие в этом стержне равно величине силы с обратным знаком, а усилие во втором стержне равно нулю

(рис. 4.8).

	Рис. 4.8
у = 0,	(N1 + P) sin = 0, N1	= P, ось	y N2 ,
z = 0,	N2 sin = 0, N2 = 0,	ось z N1.

Если сила P будет направлена в противоположную N1 сторону, то N1 = P .

3. В трехстержневом узле, не находящемся под нагрузкой, два стержня лежат на одной прямой. Усилия в этих стержнях равны, а усилие в третьем (одиночном) стержне равно нулю

(рис. 4.9).

Рис. 4.9

51

у = 0,	N1 sin N2	sin = 0, N1 N2 , ось	y N3 .
z = 0,	N3 sin = 0,	N3 0, ось z N1 и N2 .

4. Если в трехстержневом узле два стержня лежат на одной прямой и нагрузка приложена в узле вдоль третьего (одиночного) стержня, то усилие в этом стержне равно величине силы с обратным знаком, а усилия в стержнях на одной прямой равны

(рис. 4.10).

		Рис. 4.10
у = 0,	(N3	+ P) sin = 0, N3 P, ось y N1 и N2 .
z = 0,	N1	sin N2 sin = 0,	N1 N2 , ось z N3.

5. Если в четырехстержневом узле без нагрузки стержни попарно лежат на одной прямой, то усилия в этих стержнях рав-

ны (рис. 4.11).

Рис. 4.11

52

у = 0, N1 sin N2 sin = 0, N1 N2 , ось y N3 и N4 ,z = 0, N3 sin N4 sin = 0, N3 N4 , ось z N1 и N2 .

4.4. Примеры нахождения усилий в стержнях фермы

Задача 4.1. Найти нулевые усилия в стержнях фермы на рис. 4.12.

Рис. 4.12

V1–2 = 0 и O2–4 = 0 из равновесия узла 2. V3–4 = 0 из равновесия узла 3.

V5–6 = 0 из равновесия узла 6.

V9–10 = 0 и O8–10 = 0 из равновесия узла 10.

Задача 4.2. Найти усилия в стержнях третьей панели фермы на рис. 4.13.

Рис. 4.13

53

RA RB = 2P = 8 кН.

Усилие V5–6 . Сечение I–I. Рассмотрим равновесие левой части фермы (рис. 4.14).

Рис. 4.14

Два усилия из трех параллельны. Используем 1-й вариант способа проекций Y левI–I = 0 , т.е.

V5–6 + RA 2 4 = 0, V5–6 = 2 кН.

Из равновесия этой части фермы можно найти усилие U5 7

(моментная т. 6).

Усилие О6 8 . Сечение II–II. Рассмотрим равновесие правой части (рис. 4.15).

Рис. 4.15

54

Усилия D6–7 и U5–7		пересекаются в т. 7, значит, для усилия
О6–8 точка 7	моментная.	Используем способ моментной точки.
Составляем	уравнение	равновесия	M7правII–II = 0 , т.е.
O6–8 r1 + 8 2 2 2 = 0. Определяем
r = 2,5 cos = 2,424 8 м, тогда O			= 12 = 4,95 кН.
1		6–8	r1
Усилие D6 –7 . Сечение II–II. Рассмотрим равновесие правой
части фермы (рис. 4.15). Теперь О6–8 и U5–7 нас не интересуют.

Эти два усилия пересекаются в точке О. Точка О – моментная для усилия D6–7 .

MОправ II-II = 0, т.е. D6–7 r2 + RB 12 4 10 2 12 = 0,

D6–7 = 32 , где r2 = 10 sin = 10 sin 45 = 10 0,707 = 7,07 м. r2

Тогда D6–7 = 7,0732 = 4,53 кН.

Усилие U5–7 . Сечение II–II. Рассмотрим равновесие правой части фермы (рис. 4.15). Нас не интересуют усилия О6–8 и D6–7 , которые пересекаются в т. 6. Точка 6 моментная для усилия

U5–7		(моментная точка одного усилия не меняется, какую бы
часть фермы			ни рассматривали).				Значит, M6прав II–II = 0, т.е.
U	5–7	r + 4 2 + 2 4 R 4 = 0, U				5–7	= 16 , где r – длина стойки
		3	B				3
							r3
5–6, т.е. r 2			м. Тогда U	5–7	= 16	8 кН.
		3			2

Усилие V8–7 . Сечение III–III. Рассмотрим равновесие правой части фермы (рис. 4.16).

55

Рис. 4.16

Усилия O6–8 и U7–9 нас не интересуют. Они пересекаются в т. О, поэтому используем метод моментной точки. Для усилия V7–8 моментная точка О.

MОправ III–III = 0,

т.е. V7–8 10 + 4 10 + 2 12 RB 12 = 0.

Тогда V7–8 = 3,2 кН.

4.5. Линии влияния усилий в стержнях простейших ферм

По аналогии с аналитическим расчетом ферм различают два способа построения линий влияния: способ моментной точки и способ проекций.

Линии влияния усилий в стержнях ферм и линии влияния реакций опор строятся от подвижного груза P = 1.

Линии влияния реакций опор совпадают с линиями влияния реакций опор простых и консольных балок.

4.5.1. Построение линий влияния усилий в стержнях фермы способом моментной точки

Рассмотрим ферму на рис. 4.17. Построим линии влияния усилий в стержнях второй панели.

56

Рис. 4.17

Линия влияния V3–4 (рис. 4.18). Получим законы изменения V3–4 , когда груз находится в левой и правой частях фермы, обра-

зованных сечением I–I (рис. 4.17, 4.18):

а) пусть груз P = 1 находится в левой части фермы (на нижнем поясе). При этом рационально рассматривать равновесие правой части фермы. Для усилия V3–4 есть момент-

ная	точка		О ,	значит,	M правI–I = 0,		т.е.
			2			О2
V	(d + a ) R (3d + a ) 0,			отсюда	V	R 3d + a2 .	Линия
3–4	2	B	2		3– 4	B d + a
						2
влияния RB		показана на рис. 4.17. Когда груз находится в левой
части фермы, линия влияния V3–4 есть линия влияния RB , орди-
наты которой увеличены в				3d + a2 раз. С этой прямой имеем
				d + a
				2

право взять только ту часть, где находится груз (см. рис. 4.18, а). Нагрузка в ферме передается через узлы грузового пояса, поэтому берем часть прямой, расположенной слева от рассеченной панели грузового пояса (в данном случае нижнего

57

пояса), т.е. слева от узла 3. Прямая линии влияния, расположенная слева от рассеченной панели, называется левой прямой;

Рис. 4.18

б) пусть груз P = 1 находится в правой части фермы. Рационально рассматривать равновесие левой части фермы как

	M лев I–I = 0 ,	V	(d + a ) R a			0,	V	R		a2	(линия
					2				A
	О	3–4	2	A			3– 4
	2									d + a2

влияния RA показана на рис. 4.17). Следовательно, когда груз P = 1 в правой части фермы, линия влияния V3–4 есть линия влияния RA с обратным знаком и ординаты этой линии влияния

58

увеличены в d a+2a2 раз. С этой прямой имеем право взять ту

часть, где груз P = 1, т.е. справа от рассеченной панели грузового пояса, справа от узла 5. Прямая линии влияния, расположенная справа от рассеченной панели грузового пояса, называется правой прямой (см. рис. 4.18, а).

Если груз P = 1 находится в пределах рассеченной панели грузового пояса, то передача нагрузки происходит через узлы этой панели и, следовательно, концы ординат линий влияния под этими узлами соединены прямой, которая называется передаточной (см. рис. 4.18, а).

Линия влияния U3–5 (рис. 4.18, б). Используем сечение I–I (можно использовать и сечение II–II, см. рис. 4.17 или 4.18). Для

усилия U3–5				моментная точка 4. Получим законы изменения
U3–5		, когда груз P = 1 в левой и правой частях фермы, образо-
ванных сечением I–I (или II–II):
		а) P = 1 в левой части фермы. Рассмотрим равновесие пра-
вой		части		как M прав I–I = 0,	т.е.	U	3–5	h – R 2d = 0,
				4				2	B
U	3–5	R	2d .	Используем л. в.	R ,	ординаты			которой
		B	h		B
			2

увеличиваем в

2d раз. Строим левую прямую (см. рис. 4.18, б);

h

2

б) P = 1 в правой части фермы. Рассмотрим равновесие ле-

вой

части

фермы:

M лев I-I = 0

,

т.е.

U

3–5

h R

d 0,

4

2

А

U

R

d

.

Строим правую прямую

л. в.

U

(см. рис.

3–5

3–5

А h

2

4.18, б). Передаточная прямая между узлами 3 и 5.

Линия влияния D4–5

(рис. 4.18,

в). Сечение II–II

(см. рис.

4.17или 4.18). Моментная точка для усилия D4–5 – точка O1 : а) P = 1 в левой части фермы. Рассматриваем равновесие

правой части как M правII–II = 0,	D	r	R	(3d + a ) 0,
О	4–5	1	B	1
1
59

D	R	3d + a1	. Строим л. в.			R		с обратным знаком и увели-
4–5	B	r1				B
чиваем ординаты в				3d + a1	раз.		Берем с этой прямой левую
				r
				1

часть до рассеченной панели грузового пояса, т.е. до узла 3 (см.

рис. 4.18, в);

б)	P =			1	в	правой	части фермы. MОлев II–II = 0,
										1
D4–5r1 RАa1 0.
D	R	А	a1	. Значит, л. в.			D	есть л. в. R	А	, ординаты кото-
4–5			r				4–5
			1
рой увеличены в					a1	раз. Правая прямая расположена справа от
					r
					1

рассеченной панели, т.е. от узла 5. Концы ординат линии влияния под узлами 3 и 5 соединяем прямой и получаем передаточную прямую(см. рис. 4.18, в).

Линия влияния O4–6 (рис. 4.18, г). Используем сечение II-II. Для усилия O4–6 моментная точка – 5 (см. рис. 4.17, 4.18):

а) P = 1 в левой части фермы. Рассмотрим равновесие пра-

вой части

M прав II –II = 0,

O

r R d 0,

O

R

d

. Стро-

5

4–6 2

B

4–6

B r

2

им левую прямую;

б) P = 1 в правой части фермы. Рассмотрим M5левII–II = 0,

O

r R

А

2d 0. Отсюда

O

R

А

2d .

Строим правую пря-

4–6

2

4–6

r

2

мую. Передаточная прямая соединяет ординаты под узлом 3 левой прямой и узлом 5 правой прямой.

Левая и правая прямые линии влияния, построенной способом моментной точки, пересекаются под моментной точкой. Точки пересечения левой и правой прямых линии влияния показаны на рис. 4.18. Это правило можно использовать при построении линий влияния.

60