Пластичность Часть 1. Упруго-пластические деформации

Формулы (1.37) теперь можно переписать в виде:

~Р —	ex x l “Ь Y		еа ут +	\	евгп >
р — Y		eyal -J- еуут -{- ~			eyzn,	(1.39)
Ьг	1	/ ,	1	г

р2 2 егут,~\“ еегПл

Сравнивая эти формулы с формулами (1.1) для проекций напряже­ ний на косой площадке, мы видим полную их аналогию с той лишь разницей, что вместо касательных напряжений стоят половины соот­ ветствующих деформаций. Этот факт свидетельствует о том, что совокупность величин (1.38) не является тензором. Между теорией напряжений и деформаций была бы полная аналогия, если бы через деформации еугУ еъл были обозначены половины величин, стоя­ щих в правых частях (1.38). Однако обозначения (1.38) общепри­ няты, и потому тензор деформаций ( Е) записывают в форме:

	1	1
	еая 2 еху 2
(£ ) =	1	1	(1.40)
	2 еуяеуу	2 ечг

11

2ezm 2 егу^гг

Входящие в него величины являются компонентами тензора деформаций. Впрочем, для краткости и величины (1.38) называют компонентами тензора деформаций, подразумевая необходимость соответствующих

поправок 'в

тех случаях, когда какие-нибудь

формулы деформаций

желают

написать

без вывода по аналогии с соответствующими фор­

мулами

теории напряжений.

Согласно (1.32), относительное

удлинение волокна

р равно:

*р = - т £ = T * ( ^ + V i + 8 . C ) =

=

<W a +

<W?i2 - f

е*гп*- f exylm +

еуетп - f etmnl.

(1.41)

Эта формула

соответствует

формуле

(1.2)

для

нормального напря­

жения

оу.

еуу, е„,

Чтобы выяснить геометрический смысл величин

направим сначала

вектор

р по оси

х, т. е. рассмотрим

волокно, рас­

положенное

вдоль

оси

х.

В

таком

случае 1— 1, т = п = 0 и из

(1.41)

имеем

ер =

еха. Рассматривая волокно вдоль оси у, т. е.

полагая

/ =

я = О,

/я =

1,

из

той

же

формулы получим

ef — еуу.

Наконец,

направляя

вектор

р

по

оси

г

и

замечая,

что

для него

1 — т — 0,

п = 1,

мы

находим ef — егг. Следовательно,

величины

еяя> еуу>

etz являются относительными

удлинениями волокон, взятых

в точке

х,

у,

z в

направлении

осей х, у, z

соответственно.

Геометрический смысл трёх других величин группы (1.38) станет ясным, если рассмотреть изменение угла между двумя волокнами pL и р2 в результате деформации тела (рис. 16). Пусть направляющие косинусы этих волокон будут соответственно (/lf mi9 пх) и (/а, т2, ла). Согласно (1.39) перемещения концов волокон р1э ра будут:

“	P i(^ w x li “1 2		* “f” ~2	ec°zn i j >
®1|/ === Pi ("2 “ ey d i 4 “ еуут х Н“ “2 " eyzn l j >
8ls =	Pi ^ 2" ezafx Ч~ ~2		ez y m \ 4“ezzn x j »
И		^
82® =	Р2{^asxh3 Ч" *2* еооуЩ4 “ “jT			*
82у =	Р2 (^2	еУ ^2 Ч - еуу т 2 “Ь “J		>
82г =	Р2 ( у	ezxl2 + J	егуЩ + *ягп ъ) •

Найдём косинус угла между этими волокнами после деформации. Начальные положения век­ торов Pi и ра и угол д1а между ними и их изменения в результате деформации по­ казаны на рис. 16, причём, очевидно:

Pi — Pi +

Р2 =	р 2 + 82-
Косинус угла	между	и ра

равен отношению их скаляр­

ного произведения	к произ­
ведению их модулей:
cos 01а =	.

Аналогично для угла д 'а после деформации получаем соотношение:

a'	(Pi + ®i) • СРа +	®*)	»
COS Via =	------------------- ;-----------

Pi'Pa

причем, очевидно:

Перемножая входящие в выражение cos &'2 двучлены и отбрасывая малые величины порядка 8а в числителе, получим:

COS &I2 =	cos ft.и	4	РА + РА .
	(1 + • * )(!+ « * >		PiPa *

в знаменателе последнего слагаемого отброшено произведение малых величин, поскольку числитель есть величина малая.

Рассмотрим теперь случай, когда волокна pi и ра взаимно перпен­ дикулярны, а д1а = гс/2. Тогда

		___	РА + Pa8i
		COS»,.--------f s — .
или через	проекции:
		P i= P i( V + mi / + ni*).
		Ра= Ра(У + от» /4 -Ла*).
и через	• • •,	• • •:
PiPacos ^12=		(*A» 4" т	$2у 4“ я1^а*) P i 4“ (АА® 4~ Щ	\ 4"у яа^и) Ра-
Окончательно имеем:
cos	=>2	а+	-f- еау (1гщ +	/aw,) +
		4“е уг (от1яа 4" OTa№i) 4" ега>(ЯА 4“”a^i)-			0-42)
Направим	теперь	вектор р1	по оси х , вектор ра по оси у и		рассмо­

трим косинус угла между соответствующими волокнами. При этом имеем:

*>ив в 2*’

11 =

1>

= «t =

0>

/а = ла = 0,

/иа = 1 .

Из

формулы (1.42)

получаем cos

Но

деформация предпо­

лагается малой,

и

потому

те/2 —

есть

весьма

малый

угол, для

которого

COS §ху =

Sin (тг/2 ■*“ -

=== ^/2 ——

==

Следовательно,

деформация

е ^ есть относительный

сдвиг

или изме­

нение прямого угла

элемента в виде прямоугольного

параллелепипеда

с

гранями, параллельными

плоскостям

(х ,

г)

и (у ,

г)

(рис. 17).

Совершенно аналогично докажем, что еуг и егт есть деформация сдвига или изменения прямых углов между плоскостями (у , х), (г, х)

и(*, У), (Ху у) соответственно.

Вкаждой точке тела существует три взаимно перпендикулярных направления, называемых главными осями деформаций, которые

обладают следующими свойствами: волокна, направленные по ним, испытывают только изменения длин, но не поворачиваются, т. е.

сдвиги в главных осях де­

формаций равны нулю.					Пусть
будут /, /л, п неизвестные
направляющие			косинусы		глав­
ного	направления и			^ — от­
носительное		удлинение			глав­
ного	волокна.		Тогда	переме­
щение конца волокна р будет
р • ер, а		его	проекции на
оси
	8 ® =		рV»
	8 „ =		р < у я ,
Рис. 17.	8в =		рвря.

Внося эти значения в формулы (1.39), мы получим однородную систему уравнений относительно направляющих косинусов:

(ев&		ер) I “ Ъ ~2 ея у т				“ Ь	~2 ехгП =
\	eyml +		(еуу — ер) « +					еугп =	°.	0-48)
~2	е*я>^~ Ь		~2	егут	~ Ь ( е м			ер) Я —	О *
откуда получаем кубическое				уравнение			для определения			ef:
	ехов			1	1	„
			ef ' 2 eту		“2"
	±	е	еУУ		*р 2	У*
	2	Vх
	1			1				е\
	2 е*х		2 е*У
Развертывая детерминант			по	степеням		ef,		получим:
	-е® + 3 ^ +				£ ^	+		£ ; = 0,		(1.44)
причем коэффициенты:
е ~	З" (ех ® “1" еуу + егх)»

£з =я еяаеуу ^ууеа

&г&х»Н ffyxy “I” еу* "Ь

и коэффициент Е3 я в л я ю т с я инвариантами преобразования осей коор­

динат при	повороте,		поскольку корни		уравнения (1.44) не связаны
с направлением осей			координат х,	у, г. Три действительных корня
кубического	уравнения:
		£р==		£QI	ер=
представляют		собой	три главных	удлинения по трём главным осям,
На основании		формул (1.43) и очевидного соотношения:
			Р т ?	п9 =	1

можно доказать, что главные направления взаимно ортогональны. Инварианты е, Ег, Е3 могут быть записаны через главные удлинения:

2 =	(ei “Ь еа + ев)>
Ег =	— ete9— е#г — ейеи	0 45 )
г	ехе ^ ъ.
Е3в
Величина е представляет	среднее относительное удлинение,	а 0 = Ъе

относительное объёмное расширение элемента. Это ясно из рис. 18,

где

в

главных

осях

( / ,

2,

3)

изображён

куб

со

стороной

1

'

до деформации,

а пунктиром —

/ /

71

параллелепипед

после

деформа­

ции;

стороны его равны

V

/

7/

1

1

+

еи

1 +

ea«

1 +

гв-

1

/

\/*е9

Так

как

первоначальный

объём

1

|

1

)

элемента равен 1, то относитель­

/

1

1

1

1

ное его

изменение будет

/

0

1

1

(1 +

ei) (1 + ез) (1 +

28) — 1,

/

/ f

1

А/ /Е е,

или,

развертывая

произведение

и

отбрасывая

малые

второго

и

.2

третьего

порядков,

®e

ei 4" еъ

ей-

Рис.

18.

Поверхность деформаций Коши строится следующим образом: пусть волокно р имеет направляющие косинусы /, т, п относительно главных осей (xt> y v г-,), и пусть радиус-вектор R произвольного масштаба взят в том же направлении

Относительное удлинение волокна р выражается, согласно (1.41),

формулой:

e f — е +г Р е 2 т ?+ е3я2,

а перемещение конца вектора р, согласно (L39), имеет проекции:

8, = Cjp/,		8а=	е й р	т	,	68 = е8ря.
Пользуясь выражениями	для	/,	т,	я	через х , у , z, R, перепишем
эти формулы в виде:	= eix*+ %Уа +
# 4						е8-га,

Полагая

/?2ер = const,

получим уравнение центральной поверхности второго порядка:

2Ф (JC, .у,	z) = ех& +	е2у* +	e8z3 = const.,		(1.46)
которая в случае, если еъ е2,		е3 одного		знака, есть	эллипсоид,
в противном случае	гиперболоид (рис.		19).	Замечая, что проекции

перемещения 8 пропорциональны частным производным функции Ф:

s __ р д Ф	s __	р д Ф
R дх ’	2 _	R ду ’

s __ р д Ф °2— R дг ’

заключаем, что вектор перемещения конца волокна р направлен параллельно градиенту (нормали) поверхности (1.46) в точке пере­

сечения её радиусом R:

8 =

grad Ф.

Итак, удлинение любого волокна р обратно пропорционально квад­ рату радиуса вектора R поверхности Коши, а направление перемеще­ ния конца его совпадает с нормалью к поверхности. Этих данных вполне достаточно для построения всей геометрической картины деформаций и перемещений в окрестности точки О.

Подобно тому как строится для напряжений по различным косым площадкам диаграмма Мора, она может быть построена и для деформаций. Рассмотрим призму с прямоугольным основанием ABCD, грань АВ которой имеет нормаль, наклонную под углом а к главной плоскости (1.3), остальные же расположены, как показано на рис. 20.

После деформаций сечение примет вид A'B'C'D', причём относитель­

ное удлинение сторон AD и					ВС в направлении нормали к АВ
будет	ер, и	сдвиг,		т. е. уменьшение угла при вершине А будет тр.
Если	удлинения		по	главным осям et, ea заданы, то величины ер,
можно	найти	путём		простых геометрических построений. Но в этом
нет необходимости,				так как в результате		мы получим формулы (1.9)
С заменой в ник			о, на ер, т, на		и ои	оа на еи е2:
			ep= £ L + £ s +		2 - £ * c o s 2 a ,

‘(f = (e1 — ea)sia2a.

На	рис. 21 построена диаграмма Мора для деформаций,	причём
на	оси абсцисс отложены относительные удлинения врлокон	ер, а на

оси ординат половины углов сдвига -jT P- Кроме круга (1.47) построе­

ны ещё два круга, соответствующих главным плоскостям (2,3) и (3,1). Не повторяя всех рассуждений о кругах Мора, которые приведены в теории напряжений и остаются верными здесь, отметим лишь формулы для главных сдвигов в плоскостях (1,2), (2,3) и (3,1), которые аналогичны формулам (1.10):

Ти—

Т98= *а— * » l TBI = *8— *1-

О-48)

Деваатором деформаций называется тензор:

	ехх		е		2 евУ	2 е°°г
	1					1		(1.49)
( А ,) =	2	еуг		еуу	е	~2	еуг
	1			1
	2	егх		2 е*У		вгг	е

Его нормальные компоненты, следовательно, суть разности соответ­ ствующих относительных удлинений и среднего нормального удлине­ ния еу а касательные компоненты — половины соответствующих сдвигов. Первый его инвариант, т. е. сумма элементов главной диагонали, равен нулю. Второй инвариант, согласно (1.45), равен:

Е*= (ехх	*) (еуу е)	(еуу	(е*г
	(егя	е) (ехх		е) 4”4"( еху 4" еуг 4“ еях)‘
Не повторяя вычислений, которые были				проделаны в § 3 для пре­
образования величины £ 2> мы		перепишем		величину	в виде:
6^2 = ( ехх	еууУ* 4" (**уу	ezz)^ 4" ( ezz		еххУ* 4“
			2"( еву 4-еу* 4"		1•50)„

откуда вытекает, что она существенно положительна.

Интенсивностью деформаций сдвига называется положительная величина, квадрат которой с точностью до множителя равен второму инварианту девиатора деформаций:2*

Т < = 3

(ехх еууУ*~\~(еуу еяеУ^~\~{егв ^ш»)^4“2 (еяуЛ~еуя~\~еях)» (1.51)

2

маций сдвига есть удвоенный угол сдвига площадки результирующих сдвигов; при этом площадкой результирующих сдвигов называется такая, которая равным образом наклонена к главным осям деформа­ ций. Нормаль к площадке результирующих сдвигов v имеет направляющие косину­ сы (рис. 22)

I = т = п = 4 = . УЗ

Перемещение конца волокна р, взятого на направлении нормали v и имеющего длину пер­ пендикуляра, опущен­ ного на площадку из начала координат, со­ гласно (1.39), имеет проекции на главные оси:

— ^ipA 8а = е<$ту

®в — е$п.

Проекция этого перемещения на нормаль будет:

К =

M

“f*82/7*“-M8/*CS3'g‘P (*l4“ e2^\“et) = Pe*

а на касательную к

площадке:

8а— 8 1 = ? ] / " -g- (* i- j- *2 +

4 ) — ‘-§-(*1 -Ь^а +

^в)8’

Угол

сдвига

площадки получим,

как отношение

а* .

Р

- * а ) а +

(*а - * s ) 9+

(*а “

‘г)8 •

Так

как это выражение

есть

половина

интенсивности деформаций

сдвига f f, записанного

через главные удлинения,

то интерпретация

Роша

доказана.

В

дальнейшем

вместо

величины

мы часто

будем

пользоваться

величиной:

5 ” 1^

1-е х х ~ ~ еу у Р + ( е у у ~ ег 1 р + ( ег ш ~ е т » Р +

^

( 6®j/+6y a

+

=

=

JT ~ y

(ei

- ea)2+

(«a — *s)8+ (* a - * i)a '

(1.62)

которую мы будем называть интенсивностью деформаций; эти две величины отличаются только числовым коэффициентом

1

У2

Подобно тому, как строится гиперболоид напряжений, являющийся поверхностью Коши для девиатора напряжений, можно построить поверхность деформаций для девиатора деформаций (De). Эта поверх­

ность по	аналогии с	(1.46)
имеет уравнение:
(«1 — е) х а +	(ея— е)у*-{-
+	(«в — е) z 1=	const.

и называется гиперболоидом деформаций.

В ,теории пластичности на­ ряду с тензором деформаций рассматривается ещё тензор скоростей деформаций (Е) и со­ ответствующий девиатор (D ,). В случае малыхдеформаций компоненты тензора скоростей деформаций суть частные про­

изводные по времени или вообще по параметру, монотонно возра­ стающему и зависящему только от времени, от компонент тензора деформаций:

dt	&егх	= £ •	(1-54)
	dt

Второй инвариант девиатора скоростей деформаций имеет вид:

«< — - т р ] / " (e<Ba, - eM,)8+ (e |,t, - e e ) 4 ( e « - e aSB) 4 |( ® i lf+ e^ + 4 ) -О -55)

Вся теория тензора скоростей деформаций (Е) тождественна с тео­ рией тензора деформаций (£ ), изложенной выше, если компоненты вектора перемещений точки тела заменить на компоненты вектора скорости, а величины ехх ... е ех на гхх. . .еях. Однако главные оси скоростей деформаций, вообще говоря, не совпадают с главными

осями деформаций, й		сами главные		скорости	деформаций	е19	е3,	е8
не равны	производным	по	времени от	главных деформаций		el9	е9,	е8
так жег	как и в{ Ф	.	Это ясно	хотя бы	потому, что	направле­

ния вектора перемещений и вектора скорости точки, вообще говоря, не совпадают.

§6. Направляющие тензоры и гиперболоиды напряжений

идеформаций; случай простой деформации.

Во всех известных теориях пластичности, не учитывающих явле­ ний релаксации-последействия в телах и предполагающих, что тела являются квазиизотропными, механическое состояние элемента мате­ риала характеризуется тензорами напряжений (6), деформаций (Е) и