702

знаменитый ученый Н. Винер. В процессе исследований была определена наилучшая схема расположения радиолокационных станций и тактика ведения боевых действий

ввоздухе. Это принесло значительный успех. Во время Второй мировой войны эти исследования активно продолжались в США и Канаде. Они принесли большую пользу, когда, например, необходимо было провести конвои судов

взоне действия японских военно-морских сил. В дальнейшем разработанные методы стали активно применяться во всех отраслях, и в частности при разработке систем вооружения.

Решения, отыскание которых не представляет большой сложности, в любой области практической деятельности принимаются обычно без специального математического обоснования. Но, достигнув определенного уровня сложности, эти решения начинают требовать серьезных математических расчетов. Чем сложнее и дороже планируемое мероприятие, тем менее допустимы в нем «волевые» решения.

При исследовании операции предполагается, что имеются достаточно полные сведения об объекте исследования и задана цель, которая должна быть достигнута. В процессе исследования операций создается математическая модель и оценивается возможность достижения поставленной цели.

Вкаждой задаче существует определенный выбор значений параметров, которыми по условиям операции можно управлять. Например, при проектировании двигателя можно менять марку топлива, форму заряда, компоновку двига-

теля, марки и геометрические размеры теплозащитных и бронирующих покрытий и т.д. Всякий выбор управляемых параметров называется решением. Оптимальными называются решения, которые по тем или иным признакам лучше, чем другие. Например, для двигателя это будут решения, позволяющие обеспечить требуемую эффективность и надежность конструкции. Схема исследования любой операции выглядит следующим образом:

вербальная постановка задачи исследования, т.е.

описание операции, выбор управляемых параметров и характеристик оценки степени достижения цели операции;

301

создание формального образа операции, учитываю-

щего взаимосвязь управляемых параметров, ограничений, а также количественных характеристик оценки степени достижения цели операции;

математическая постановка задачи – формальное выражение условий отыскания результата данного исследования;

анализ класса сформулированной математической задачи и выбор метода ее решения;

оптимизация алгоритма решения, т.е. уточнение,

упрощение или видоизменение постановки задачи, при которых обеспечивается ее решение известным или специально разработанным методом;

разработка программы расчета задачи на ЭВМ;

решение задачи при выбранных исходных данных; анализ полученных результатов.

Иногда в результате исследования удается найти единственное оптимальное решение, но чаще всего выделяется область практически возможных равноценных оптимальных решений.

При исследовании используется модель – специально создаваемый условный образ объекта исследования. Модели могут быть геометрические, физические и математические [38]. Чем лучше модель отражает условия реальной операции, тем успешнее будет ее использование. Модели могут быть идентификационными, которые определяют реакции объекта исследования на воздействие окружающей среды («черный ящик»), и регулярные, которые отражают реальную структуру объекта. По методу решения математические модели делятся на аналитические и численные, которые, в свою очередь, подразделяются на детермини-

рованные и стохастические. Характеризуются модели

адекватностью, т.е. способностью отражать свойства объекта, и значимостью, которая определяет точность этого отражения [38]. Полный количественный учет всех факторов невозможен, да и не требуется, так как поведение системы определяется только основными факторами.

302

Модель объекта должна отражать:

1)цель функционирования реального объекта (по этому признаку модели делятся на одноцелевые и многоцелевые);

2)сложность реального объекта, которую можно оценить по общему числу элементов и связей между ними;

3)целостность реального объекта, предполагающую, что и создаваемая модель должна быть единой системой;

4)неопределенность, которая проявляется в реальном объекте, неизбежно отражается на его модели;

5)особенности поведения реальной системы (например, в зависимости от протекающих в системе процессов модели могут быть непрерывными или дискретными);

6)адаптивность, что является признаком высокоорганизованной системы. Благодаря адаптивности системе удается приспособиться к различным внешним возмущающим факторам в широком диапазоне изменения воздействий внешней среды. Применительно к модели, адаптация – это возможность ее использования в широком спектре возмущающих воздействий, близких к реальным.

В зависимости от поведения реальной системы, отраженного в ее математической модели, выделяют ряд признаков, которые можно положить в основу классификации моделей [24]:

По признаку динамичности математические модели делятся на статические и динамические.

По признаку стохастичности, то есть по наличию элементов случайности, математические модели разделяют на детерминированные и стохастические.

По признаку дискретности, то есть по виду описываемых процессов, математические модели разделяют на дискретные, непрерывные и дискретно-непрерывные.

Математическую модель системы называют моделью

споследействием, если при описании системы необходимо учитывать предысторию ее функционирования. Это означает, что модель обладает памятью или инерциальностью. Например, длительность хранения РДТТ зависит от

303

тех условий окружающей среды, в которых изделие хранилось раньше. В противном случае модель называется моделью без последействия.

Среди идентификационных моделей особое место занимают имитационные модели. Для них разрабатывается соответствующий алгоритм, в котором ряд этапов функционирования системы, не имеющих аналитического описания, реализуются в виде специальных процедур диалога с исследователем. В ходе итеративного диалога исследователь вводит в модель необходимую информацию, добиваясь такого выполнения моделирующего алгоритма, который соответствовал бы поведению системы. Основным преимуществом имитационных моделей по сравнению с аналитическими является возможность решения более сложных задач. Имитационные модели позволяют достаточно просто учитывать такие факторы, как наличие дискретных и непрерывных элементов, нелинейные характеристики элементов системы, многочисленные случайные воздействия, которые часто создают трудности при аналитических исследованиях. В настоящее время имитационные модели наиболее эффективны для исследования больших систем и часто только они позволяют получить информацию о поведении системы, особенно на этапе ее проектирования. В имитационных моделях широко применяется метод статистического моделирования.

Для оценки результатов операций используется поня-

тие показатель эффективности, называемый иначе целе-

вой функцией. Это количественная характеристика степени достижения цели операции. Требования к показателям эффективности:

-содержательность. Показатели должны иметь «физический смысл», что упрощает работу;

-соответствие цели решаемой задачи;

-полнота. Показатели должны учитывать все существенные для решения поставленной задачи факторы (технические, экономические и др.) и при этом их число должно быть, по возможности, минимальным;

304

-критичность. Показатели должны быть чувствительны к выбранным параметрам задачи;

-вычислимость. Значения показателей должны вычисляться на основании имеющихся исходных данных.

Всякий показатель эффективности выражается через факторы, от которых зависит успех операции. Это управляемые факторы x, которые разделяются на заранее известные a и неопределенные факторы b, и ограничения (условия эксплуатации изделий). Показатель эффективности за-

писывается в виде [24] W (x, a,b) . Правило использования

показателя эффективности W при выборе решения называ-

ют критерием эффективности. Например, для РДТТ

вкачестве критерия эффективности можно принять минимум коэффициента массового совершенства или максимум полного импульса силы тяги. Для ракеты – максимум дальности или массы полезной нагрузки.

Постановки задач в исследовании операции можно классифицировать:

1.По роли показателя в задаче, когда все задачи делятся на прямые и обратные. Прямые задачи определяют величину показателя при принятии какого-либо решения

взаданных условиях. Задачи такого типа называются зада-

чами предсказания ожидаемого успеха в условиях действия различных факторов. В таких задачах показатель эффективности играет пассивную роль и не влияет на решение, а только выражает количественную оценку предполагаемого решения. Например, изменение конструкции заряда (решение) приводит к изменению полного импульса (показатель эффективности).

Обратные задачи определяют процесс выбора решения, с тем чтобы минимизировать или максимизировать показатель эффективности. Задачи такого типа называются

задачами организации операции с учетом наличия и влия-

ния различных факторов. В таких задачах показатель эффективности играет активную роль и своим поведением определяет ход отыскания решения. Например, найти форму заряда, дающую возможность получить максимальное

305

значение полного импульса (показатель эффективности) при заданных требованиях технического задания и известных условиях эксплуатации (ограничения) в процессе перебора различных вариантов формы заряда (решения).

При решении обратной задачи, если число возможных вариантов решения невелико, можно вычислить показатели эффективности, сравнить между собой полученные значения и непосредственно указать один или несколько оптимальных вариантов. Такой способ нахождения оптимального решения называют простым перебором. Если число возможных вариантов решения велико, то поиск среди них оптимального простым перебором невозможен. В этих случаях используются методы так называемого направленного перебора

2.По количеству показателей в задаче. Могут быть

однокритериальные и многокритериальные задачи. В од-

нокритериальных задачах решение находится с использованием одного показателя и критерия, а в многокритериальных задачах для оценки эффективности используются несколько показателей и критериев.

3.По природе условий задачи. Различают следующие типы задач:

а) задачи в условиях определенности, или задачи в де-

терминированной постановке, характеризуются тем, что для них полностью определены все условия выбора и отсутствуют какие-либо элементы случайности. Такие задачи определяются поиском решения при заданных значениях условий выбора и соответствующих ограничениях. Надо найти такое решение, которое обращало бы в максимум (минимум) показатель эффективности. Например, решение прочностной задачи.

б) задачи в условиях риска, называемые также стохастическими задачами, характеризуются наличием неопределенных факторов b, представляющих собой случайные величины или случайные функции, статистические характеристики которых нам известны. Например, определение параметрической надежности изделия. Постановка и ре-

306

шение таких задач может осуществляться различными путями:

-если случайные факторы b заменяются их математическими ожиданиями, то задача становится детерминированной и может быть решена обычными методами. Такой способ целесообразен, если случайностями можно пренебречь;

-если случайные факторы b заметно влияют на по-

казатель эффективности W, то в качестве показателя эффективности выбирается его математическое ожидание

W= M W (x,a,b) ;

-если в качестве показателя эффективности выбирается вероятностная характеристика, то приходится решать задачу общего типа. Это наиболее сложный случай. Он встречается при оптимизации конструкции исходя из требований по ее надежности.

Задача в условиях риска формулируется следующим образом: при случайных значениях условий выбора b, заданных условиях a, известных распределениях вероятностей P(b) и возможных ограничениях на параметры выбора найти такое решение, которое бы обращало в максимум (минимум) среднее значение показателя эффективности. Отдельную группу задач в условиях риска составляют задачи со стохастическими ограничениями;

в) задачи в условиях неопределенности. Характеризу-

ются тем, что у неопределенных факторов b не существует вероятностных характеристик. Например, разрабатывается военная операция, успех которой зависит от сил и средств, которые противоборствующая сторона сосредоточит на

данном направлении. Распределение вероятностей здесь в принципе не может быть получено, так как не существует массива однородных опытов. При решении таких задач задается область N возможных значений условий выбора. При поиске удовлетворительного решения приходится варьировать не только параметрами выбора, но и условиями выбора b в пределах заданной области значений N.

307

Применяются методы теории игр, где неопределенность связана с поведением игроков, разумно противодействующих друг другу. Поведение оперирующей стороны определяется ее позицией «крайнего пессимизма». Это означает, что, принимая решение, всегда рассчитывают на худшее

ипринимают то решение, которое дает максимальный эффект в наихудших условиях. Если в этих условиях будет выигрыш, то при любых других вариантах развития событий он будет не меньше. Этот подход носит название

«принцип гарантированного результата». Он привлекате-

лен тем, что дает четкую постановку задачи оптимизации

ивозможность ее решения достаточно простыми математическими методами.

При принятии решений в условиях неопределенности

надо иметь в виду, что полученное решение будет также неопределенным. Поэтому в результате мы получаем область возможных решений, которые мало отличаются друг от друга по эффективности. Окончательный выбор решения производится из этой области уже по другим критериям.

При оценке эффективности стратегии используются понятия оперирующая сторона и стратегия оперирующей стороны (стратегия). Под стратегией понимаются способы действия, имеющиеся у оперирующей стороны. Например, при разработке РДТТ оперирующей стороной является разработчик двигателя, стратегия – планы проектирования и отработки изделия. Выбор той или иной стратегии определяется величиной показателя эффективности для данной стратегии. А вычисление показателей эффективности и их сравнение и называют оценкой эффективности.

8.1.2. Основные принципы принятия решений

Перед принятием решения необходимо разработать математическую модель системы. Исходной посылкой при создании модели является накопленная информация о поведении системы в реальных условиях ее функционирования, которая может носить априорный или апостериорный

308

характер. Априорная информация – это информация, которой располагает исследователь до проведения эксперимента. Эта информация носит в основном качественный характер. Апостериорная информация представляет собой результат наблюдений за поведением системы. Эта информация носит в основном количественный характер. В общем случае математическую модель можно представить

в виде функционального уравнения Fs (x, y,c) = 0 , где Fs – некоторая функция, функционал или оператор, x = x(t) – входная переменная, y = y(t) – выходная переменная, c = c(t ) – совокупность внутренних параметров системы,

t – непрерывное или дискретное время. При описании операторов моделей систем используют признаки, которые положены в основу общей классификации моделей. Особенно удобно работать с линейными моделями, признаком которых является выполнение следующего усло-

(	1	+ bx	2 )		0	( 1		0 )	+ bF	(		2		0 )	при
вия [24]: F	ax			y	= aF	x	, y				x		, y

различных значениях параметров, входящих в операторы. В противном случае модель называется нелинейной. Построение оператора F означает установление причинноследственной связи между входными и выходными сигналами модели.

При моделировании сложных технических систем обычно используется агрегативное описание, при котором сложную систему или операцию расчленяют на конечное число частей, сохраняя при этом связи, обеспечивающие взаимодействие этих частей. Процесс их разбиения продолжается до тех пор, пока не образуются подсистемы, которые могут считаться удобными для математического описания. Техника построения математической модели зависит от характера выходного сигнала и характера имеющейся относительно моделируемой системы информации. Существуют следующие виды математических моделей:

Статические модели, которые могут быть линейными и нелинейными.

309

Модель линейной статической системы описывается системой линейных алгебраических уравнений, записываемой в матрично-векторной форме y = Cx, где C – матрица

размерности, равной произведению размерностей векторов x и y. Такой моделью, например, можно описать расходование запасов технической системы с течением времени нахождения ее в неизменных условиях. Нелинейные детерминированные модели могут быть различных видов:

а) кусочно-постоянная модель, функция, имеющая ступенчатый характер. Использовать такую модель целесообразно, например, при описании временных характеристик готовности системы к выполнению работы, например, пуско-наладочных или ремонтных работ;

б) кусочно-линейная модель. В этой модели, как правило, используется линейная аппроксимация функции многих переменных. Такой моделью, например, можно описать изменение среднего количества готовых к сдаче партий изделий;

в) функциональная модель. В этом случае функция F(x, c) представлена в виде нелинейной функции y = f(x, c) входного сигнала x и вектора собственных параметров системы c. Например, такой функцией может быть описана надежность системы в зависимости от времени;

г) модель линейная относительно вектора собствен-

ных параметров системы сводится к сумме линейных функций. Типичным примером такой модели можно считать модель, соответствующую «транспортной задаче».

Динамические модели, которые также могут быть линейными и нелинейными. Состояние линейной динамической системы можно описать математической моделью в виде линейных дифференциальных уравнений. Такими моделями, например, описывают движение летательных аппаратов на активном участке траектории их полета.

Состояние нелинейной динамической системы можно описать математической моделью в виде системы нелинейных дифференциальных уравнений. Такие модели применяются, например, для описания процессов работы слож-

310