1785

В точке A функция имеет наибольшее значение z1=7. В

точке M1 функция имеет наименьшее значение z1 11. 4

Вопросы для самопроверки

1.Дайте определение функции двух переменных.

2.Каков геометрический образ функции двух перемен-

ных?

3.Что называется линией уровня функции двух пере-

менных?

4.Что является частным приращением функции двух переменных?

5.Дайте определение частной производной функции двух переменных?

6.Каков геометрический смысл частной производной?

7.Что такое полный дифференциал функции двух пере-

менных?

8.Дайте определение производной функции по направлению вектора.

9.Что такое градиент функции двух переменных?

10.Что показывает направление градиента?

11.О чем говорит модуль градиента?

12.Сформулируйте теорему о необходимом условии экстремума функции двух переменных.

13.Как определить, максимум или минимум находится в точке экстремума?

14.Как найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области?

Задачи для самостоятельного решения

Найти частные производные функций:

1. z arctg xy . Ответ:	z			y	,	z		x	.
	x							1 x2 y2
		1 x2 y2				y
		100

zy

2.

z xy 2 . Ответ:

z

y 2 xy 1 ,

z

xy 2 ln x.

x

y

3.

z arcsin x y .

Ответ:

z

1

,

x

1 x y 2

1

.

1 x y 2

4.

z ln

x2

y2

x

.

x2 y2

x

Ответ:

z

2

,

z

2x

.

y

x

x2 y2

y x2 y2

y

z

y

y

z

y

1

z ex . Ответ:

ex

ex

5.

,

.

x

x2

y

x

Найти полные дифференциалы от функций:

		x			dz	dx		dy
6.	z ln			. Ответ:					.
						x		y
			y
7.	z x2 y cosx ey 1 .

Ответ: dz 2xy sin x dx x2 ey 1 dy . 8. z ex2 y . Ответ: dz ex2 y 2xdx ex2 ydy.

Вычислить частные производные второго порядка:

9. z x3 4x2 y 5y2 . Ответ: 2z 6x 8y, 2z 10,

x2 y2

2z 8x.x y

101

10.

z ex ln y sin yln x.

Ответ:

2z

ex ln y

sin y

,

x2

x2

2z

ex

sin yln x,

2z

ex

cosy

.

y2

y2

x y

y

x

11. Найти

производную

функции

z 5x2 3x y 1

в

точке M 2,1 в направлении вектора l

3,4 . Ответ: 9,4.

12.

Найти

градиент

и

его

модуль

для функции

u

x2 y2 z2

в точке М (1;2;2).

1

2

2

Ответ: gradu

i

j

k ;

gradu

1.

3

3

3

Исследовать на экстремумы функций:

13. z x3y2 1 x y . Ответ: максимум находится в точ-

1 1

ке , .

2 3

14. z x2 xy y2 1 1 . Ответ: минимум находится в x y

1 1

точке , .

3 3 3 3

102

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Рассмотренные разделы высшей матаматики являются базовыми и входят в обязательный перечень тем, необходимых для успешного освоения специальных дисциплин по направлению 15.03.05 «Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств».

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов / Н.С. Пискунов. М.: Наука, 1985. Т. 1.

2.Толстов Г.П. Элементы математического анализа / Г.П. Толстов. М.: Наука, 1974. Т. 1.

3.Кудрявцев В.А. Краткий курс высшей математики / В.А. Кудрявцев, Б.П. Демидович. М.: Наука, 1975.

4.Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: учеб. пособие для втузов / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. М.: Высш. шк., 1996. Ч. 1.

103

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение…………………………………………………………	3
1. Введение в математический анализ……………………	4
1.1. Понятие множества и операции над множествами	4
1.2. Понятие функции……………………………………	5
1.3. Способы задания функций…………………………..	6
1.4. Классификация функций……………………………	7

1.5.Некоторые классы функций………………………... 9 Вопросы для самопрорверки……………………..... 10

2.Предел. Непрерывность функции……………………...….. 10

2.1Предел функции………………………………………. 10

2.2.Бесконечно малые величины и их основные свойства……………………………………………... 12

2.3.Основные теоремы о пределах……………………... 13

2.4. Предел функции sin x при x 0 (первый замеча-

x	14
тельный предел)…………………………………......
2.5. Число e. Второй замечательный предел……………	16

2.6.Раскрытие некоторых неопределенностей………... 17

2.7.Сравнение бесконечно малых величин……………. 21

2.8.Непрерывность функции в точке………………….. 23

2.9. Точки разрыва функции и их классификация…….. 25

2.10.Основные теоремы о непрерывных функциях…... 27

2.11.Свойства функций, непрерывных на отрезке……. 28 Вопросы для самопрорверки……………………..... 30 Задачи для самостоятельного решения……………. 30

3. Производная функции и ее приложения……………………	32
3. 1. Определение производной…………………………	32
3.2. Геометрический и физический смысл производной	34
3.3. Правила дифференцирования………………………	36

3.4.Производная степенной, показательной и тригонометрических функций……………………………... 38

104

3.5. Обратные функции. Производная обратной функ-

ции…………………………………………………... 40

3.6.Сложная функция. Производная сложной функции. 42

3.7.Гиперболические функции и их производные……. 43

3.8.Таблица производных………………………………. 44

3.9.Метод логарифмического дифференцирования….... 45

3.10.Производная параметрически заданной функции... 46

3.11.Неявная функция и ее дифференцирование……... 47

3.12.Уравнение касательной и нормали к графику

функции…………………………………………….. 48

3.13.Производные высших порядков явно заданной функции……………………………………………… 49

3.14.Производные второго порядка от функций, задан-

ных параметрически………………………………… 50

3.15.Понятие дифференциала функции………………... 51

3.16.Дифференциалы высших порядков……………….. 52

3.17.Правило Лопиталя………………………………….. 53

3.18.Формула Тейлора…………………………………… 57

3.19.Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена………………………………..... 58

Вопросы для самопрорверки………………………....	61
Задачи для самостоятельного решения……………...	61
4. Исследование функций и построение графика функции…..	65
4.1. Возрастание и убывание функции……………….…	65
4.2. Максимум и минимум функции………………….…	66
4.3. Наибольшее и наименьшее значение функции
на отрезке…………………………………………….	69
4.4. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки
перегиба……………………………………………...	70
4.5. Асимптоты графика функции и их построение……	72

4.6.Общая схема исследования функции и построения графика………………………………………………. 74

Вопросы для самопрорверки………………….......... 82 Задачи для самостоятельного решения…………….. 83

105

5. Функции нескольких переменных............................…….….	83
5.1. Понятие функции двух перемен-	83
ных…………………
5.2. Частные производные и частные дифференциалы
первого порядка.........................................................	85

5.3.Полное приращение функции и полный диффе-

ренциал...................................................……………. 88

5.4. Производная по направлению. Градиент................	89
5.5. Частные производные и дифференциалы высших
порядков.......................................................................	92
5.6. Дифференцирование функций, заданных неявно.....	94
5.7. Экстремум функции несколькихпеременных.
Необходимое условие......................................................	95
5.8. Достаточный признак экстремума...........................	96
5.9. Наибольшее и наименьшее значение функции в
замкнутой области........................................................	97
Вопросы для самопроверки..........................................	100
Задачи для самостоятельного решения……………...	100
Заключение………………………………………………………	103
Библиографический список.....................................................	103

106

Учебное издание

Горбунов Валерий Викторович Соколова Ольга Анатольевна

ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

Часть 2

В авторской редакции

Компьютерный набор В.В. Горбунова

Подписано в печать 30.05.2017.

Формат 60х84/16. Бумага для множительных аппаратов. Усл. печ. л. 6,7. Уч.-изд. л. 5,5. Тираж 250 экз.

Зак. № 71.

ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет»

394026 Воронеж, Московский просп., 14

Участок оперативной полиграфии издательства ВГТУ 394026 Воронеж, Московский просп., 14