2495

числа жителей города от времени, считая процесс непрерывным.

6.57. Пусть эластичность производственной функции у=f(x) относительно−22 переменной х характеризуется соотноше-

нием Ex(y) = 1+ − 2. Определить саму функцию, если её график проходит через точку N(1,2).

6.4.Оценка параметров

6.58.В следующей таблице приведены данные о производительности труда и фондовооруженности в производственном объединении

x	6.438	6.467	6.277	6.334	6.925	7.646	7.613
Y	6.968	7.903	8.706	9.340	9.841	10.670	11.314

Здесь х – фондовооруженность, тыс. рублей основных промышленных производственных фондов на одного работника, у – выработка на одного работника, тыс. рублей.

Считая зависимость производительности труда от фондовооруженности линейной, при помощи метода наименьших квадратов вывести эмпирическую формулу этой зависимости. Вычислить теоретические значения производительности труда при х=7,6,8.

6.59.В таблице приведены данные о фондоотдачеи производительности труда в производственном объединении

x	6.968	7.903	8.706	9.340	9.841	10.670	11.314
Y	1.08	1.22	1.39	1.48	1.42	1.40	1.49

Здесь х – выработка на одного работника, тыс. рублей, у – фонодоотдача, тыс. рублей.

121

Вывести эмпирическую зависимость фондоотдачи от производительности труда, считая эту зависимость линейной; дать экономическую интерпретацию полученных результатов. При помощи экстраполяции найти прогноз фондоотдачи для значений х=12;13.

6.60. В следующей таблице приведены данные о фондоотдаче и удельном весе активных элементов основных производственных фондов в производственном объединении

x	37.4	37.7	38.6	40.2	39.4	39.1	37.6
Y	1.08	1.22	1.39	1.48	1.42	1.40	1.49

Здесь х – удельный вес машин и оборудования в основных производственных фондах в процентах, у – фонодоотдача в рублях.

Вывести эмпирическую зависимость фондоотдачи от удельного веса активных элементов основных производственных фондов, считая эту зависимость линейной. При помощи экстраполяции найти прогноз фондоотдачи для значений х=42;45. Дать экономическую интерпретацию полученных результатов.

6.5.Линейная алгебра

6.61.Три предприятия выпускают 4 вида изделий. Задана

матрица выпуска продукции			1020	1384 ,
	1150	1250
	= [ ] = 2030	3700	2700	1856
где	1500	990	1058	720
k-го	( = 1,2,3; = 1,2,3,4)		– объем выпущенных изделий

вида на i-ом предприятии с начала года на конец некоторого месяца. Найти месячный объем выпуска изделий на каж-

122

	дом предприятии, если аналогичная матрица через месяц име-
	ла вид	[	]	2370	1980	1790	1880 .
	=			= 3500 4736		4015	2750
	6.62. Три			2220	2112	2010	1830
				типа транспортных самолетов распределены

между четырьмя авиалиниями. Заданы матрицы объемов пе-
ревозок:				15	10	20	50	[	]		97	54	75	200
=	[		]	= 20	25	10	17 , =				= 83	102 49		79
где				35	50	30	45		–		71	210 150		180
года			и ( = 1,2,3; = 1,2,3,4 )							накопленные с начала

объемы перевозок самолетами i-го типа на k-ой авиалинии, соответственно, на 30 апреля и 1 сентября некоторого года.

Найти объемы перевозок, осуществленных самолетами каждого типа по каждой авиалинии за период с 30 апреля по 1 сентября.

6.63.Данныео продукции добывающей промышленности по определенным видам минерального сырья группируются по областям, являющимся основными поставщиками этого сырья.

	Заданы матрицы А и В добычи:												520	910	220
			[		]	450	780	210			[	]
	=					= 1050	240	90 ,		=			= 1080	580	290 ,
	где					1500	120	590					1460	830	600
					и ( , = 1,2,3)				– объемы добычи в тыс. тонн мине-

рального сырья k-го вида в i-ой области в два разных года. Рассчитайте матрицу приростов добычи за период с кон-

ца первого года на конец второго. Найти матрицу средних годовых размеров добычи.

123

	6.64. Предприятие выпускает три вида продукции в ко-
личествах, характеризуемых вектором														сырья.			При вы-
пуске продукции используют									5 видовх =						(х1, х2, х3).
единицу i-го вида =						[ ]	(			– расходов k-го вида сырья на
расходов сырья
					продукции. Вектор С задает стоимость еди-
ницы каждого вида сырья. Определить:
	а) необходимое количество единиц сырья каждого вида
для обеспечения плана;
	б) стоимость сырья для единицы каждого вида продук-
ции;
	в) общую стоимость сырья при выполнении плана вы-
пуска при следующих данных:														7
			10			5	4	6
							8	12						4 .
	= 7 , =					10	5	4			, =			5
						3	6	3					10
			4			9
	6.65. Сведения					о2	8	10						2
						продажах торговой фирмы, объеди-
няющей три магазина, заданы матрицами:															5	10
			17	4		12								20
= [			6	4		13								10	5	15
			] = 11			8 , =				[		] = 20				8 ,
			7	4		6								10	5	10
			12		3	4
= [ ] = 8					3	4 ,
	,		10			6
			и		суммы, вырученные на протяжении i-го
где			4	-
					3	7

сезона от продажи k-го вида товара по первому, второму и третьему магазинам соответственно.

124

1.Покажите, что в каждый сезон 1 и 3 магазины, вместе взятые, продали больше каждого вида товаров, чем магазин 2.

2.Найдите общую выручку от продажи одинаковых товаров тремя магазинами по каждому сезону.

	6.66. Найти выпуск продукции в модели Леонтьева с
А = 1		1 и вектором конечного спроса с = (2; 3).
матрицей сырьевых зат ат
этом	1	2
	6.67.	Цех выпускает три вида изделий 1,11 и 111. При
	применяются три производственных процесса: штампов-

ка, сборка и окраска. Ресурсы труда в человеко-часах по каждому из процессов составляет соответственно 40, 40 и 80, а трудоемкость каждого процесса при производстве единицы

		= = 1		4	1	,
продукции задается матрицей			2	2	1
где		– число человеко-часов,	требующееся для i-ой стадии
			1	6	4

обработки единицы изделия j-го вида.

1.Представьте в матричной форме уравнения, характеризующие равенство используемых имеющихся ресурсов для каждого процесса.

2.Пусть мощности каждого вида обработки используются полностью. Какой будет при этом выпуск каждого вида продукции?

3.Допустим, что изделие 1 более выгодно, чем изделия 11 и 111. Найдитемаксимальные возможные объемы выпуска этого вида продукции. Затем попытайтесь использовать оставшиеся производственные мощности для максимального выпуска изделий 11; выделите остаток мощностей для производства изделия III. Использованы ли полностью все возможности при таком плане выпуска продукции?

125

6.68 . Нормы затрат производственных мощностей цеха на единицу различных видов изделий приведены в следующей таблице:

		Нормы затрат на од-
РЕСУРСЫ		но изделие вида
	I		II		III
Оборудование час	2		3		4
Сырье кг	I		4		5
Электроэнергия квт/час	3		4		3
Задан вектор B = (21, 22, 22) производственных мощно-
стей цеха. Определить план выпуска изделий				х = (х 1,х2, х3) в

предположении, что производственные мощности цеха используются полностью.

6.69. Цех выпускает трансформаторы двух видов. На один трансформатор первого вида расходуется 5 кг трансформаторного железа и 3 кг проволоки, а на один трансформатор второго вида 3 кг железа и 2 кг проволоки. Вынести расчётную формулу, по которой можно определить количество изготовленных трансформаторов каждого вида, зная количество израсходованного железа С1 и проволоки C2. Провести расчёт при

С1 = 37 кг, С2 = 23 кг .

6.70. Для откорма животных на ферме в их еженедельной рацион необходимо включать в зависимости от времени года разные количества питательных веществ A, B и C . Для откорма используются 3 вида кормов. Данные о содержании питательных веществ в одной весовой единице каждого из кормов помещены в таблице:

126

	А	B	C
В одной весовой ед. корма I вида	4	3	2
В одной весовой ед. корма IIвида	3	2	I
В одной весовой ед. корма IIIвида	2	I	2

Ввести расчётную формулу, по которой можно определять еженедельный расход кормов для каждого животного, если в еженедельный рацион каждому животному необходимо

включать d1 ед. питательного. Вещества А1,d2 ед. питательного
вещества B и d3 ед. питательного вещества С.
A = [ aij]=				2		2 ,
6.71.Задана матрица удельной эксплуатации трёх машин:
\где aij( I = I, 2.3; j =I, 2,3,4)			время в часах эксплуатации i-ой
		–7		0	2	0
машины при изготовлении	одного изделия j-го вида. Каждая
				0	0	4

машина работает непрерывно 8 часов.

1. Составьте систему уравнений для определения плана выпуска изделий указанных видов, при котором полностью используется рабочее время каждой машины.

2. Решите эту систему в предположении, что неизвестные могут принимать только целые неотрицательные значения.

6.72. Предприятие выпускает 4 вида продукции из трёх

видов сырья. Задана матрица удельных расходов сырья:
A = [ aij]= 4 2		2 3		,
где aij – количество единиц сырья1j–	го вида,		потребляемого
	1	2 3
го вида.
при выпуске I единицы продукции3k-	1	2 1

Сколько единиц продукции каждого вида выпускает предприятие, если наличные ресурсы сырья соответственно 35 кг, 30 кг и 30 кг используются полностью ?

127

6.73. Предприятие выпускает три вида продукции: A, B и C. Уровень выпуска лимитируется ограниченностью имеющихся ресурсов: сырья, материалов и оборудования. Числовые данные задачи указаны в таблице:

	Запа-	Нормы затрат ресурсов
Виды ресурсов	сы	на единицу продукции вида
	ресур-
	сов	A	B	C
Сырье кг	24	5	7	4
Материалы кг	75	10	5	20
Оборудование ед	10	6	2	1

Определить объём выпуска продукции каждого вида, предполагая полное использование ресурсов.

6.74. В хозяйстве установили, что откорм животных выгоден лишь тогда, животное будет получать в дневном рационе 11 единиц питательного вещества A, 21 единицу питательного вещества B и 18 единиц питательного вещества С. Для откорма пользуется четырьмя видами корма. В следующей таблице указано содержание питательных веществ в 1кг каждого вида корма и цена 1кг кормов:

Виды	пита-
тельных ве-		Содержание					Норма	питатель-
ществ		Питательных					ныхвеществ
		Веществ в 1кг
		I	I I		I II	IV
А		1	2		1	1		111
В		3	2		1	3		21
С		0	4		3	2		18
Цена	кг	3	5		4	3
корма

128

Составить рацион стоимостью 36 руб, содержащий суточную норму питательных веществ.

6.75. Из пункта А в пункт B нужно перевезти оборудование трёх типов в количестве: I– 96 единиц, II100 единиц, III-I85 единиц. Для перевозки оборудования используется 3

вида транспорта. Задана матрица грузоподъёмности транспор-

3 2 1

та: = = 4 1 2 , 3 5 4

где aik(i,k=1,2,3) – количество единиц оборудования j-го типа, размещаемых при перевозке каждой единицы k-го вида транспорта.

Сколько единиц транспорта каждого вида должен заказать завод при условии полного его использования для перевозки оборудования?

6.76. Из листового материала необходимо скроить 360 заготовок типа А, 300 заготовок типа В, 676 – типа С. При этом можно применять три способа раскроя. Количество заготовок, получаемых из каждого листа при каждом способе раскроя, указано в таблице:

	Количество заготовок на 1 лист при способах
Тип заготовки	раскроя
	I	II	III
A	3	2	1
B	1	6	2
C	4	1	5

Cколько листов материала будет раскроено каждым из трёх способов для выполнения задания?

129

6.77. Два овощеводческих совхоза поставляют томаты в три овощных магазина. Данные о затратах (в руб) на перевозку 1 тонны томатов, спросе и предложения приведены в талице :

Номер	сов-		Стоимость перевозки I				Предложение
хоза					т.		томатов
			томатов в магазине №				совхозами
			I		II	III
	I		3		7	6	24
	II		4		8	2	I6
Спрос	мага-	10		20		I0
зинов

Составить один из планов перевозок, при котором транспортные расходы составляют 196 руб.

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ

ГЛАВА I

1.1.1. Средний прирост : а) 11,5: б) 2: в) 1. 2. Относительный прирост функции:

а) = 3,28; б) = 0,08; в) = 0,33; 3. Темп прироста: а) = 0,33; б) = 0,008; в) = 0,003.

4. Дуговая эластичность: а)=1,86; б) = 0,35; 1.2. I. а) (мгновенный прирост) f`(`(1`)x) = -2, 2х:

б) (мгновенный темп прироста) (1) =2-2, - 3:

в) (точечная эластичность) Em[m=1 = -3:Ex]x=2 = -4. 2. a)f`(1f` ` (1) =f`(35;) f(3)9 =9;

б) (1) = 1 ;f(3) = I9; 27. в) Eх[х=1 = -I:Ex]x=3= 19

130