2748
.pdfX |
0 C 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
2 |
n |
2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
, |
|
|
n, |
|
|
|
|
|
; |
|||||||
X |
C sin |
0 |
2 |
|
|
|
|
n |
|
9 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
x sin |
2 n |
x, n N. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Каждому собственному значению |
n |
соответствует функция |
||||||||||||||||||||||||||
Tn t , |
которую |
находим |
|
из |
|
|
решения |
|
|
уравнения |
||||||||||||||||||
|
|
2 |
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Tn t |
0 |
|
или |
|
|
|
|
Tn t |
0. |
Общее ре- |
|||||||||||||||
4Tn t |
|
9 |
|
|
|
Tn t |
36 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
шение |
|
|
|
|
|
этого |
|
|
|
уравнения |
|
|
имеет |
|
|
вид |
||||||||||||
Tn t an cos |
n |
t |
bn sin |
n |
t, |
где |
an |
и |
bn – произвольные по- |
|||||||||||||||||||
6 |
6 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
стоянные.
3. Решение исходной краевой задачи ищем в виде
u x, t |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
2 n |
|
|||||||
|
|
a |
cos |
|
|
|
t b sin |
|
|
t |
|
sin |
|
|
x |
|||||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
n |
|
|
6 |
|
|
|
|
3 |
|
||||||
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
u |
|
|
x |
|
x |
3 |
, u |
|
|
|
|
0, u |
|
|
u |
|
|
0. |
|
|||||||||||
t 0 |
|
|
|
t 0 |
x 0 |
|
3 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дифференцируя функцию u |
по t, |
получим |
|
|
|
2 n |
||||||||||||||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|||||||||||
u |
|
|
|
b cos |
|
|
|
|
t |
|
|
|
a |
sin |
|
|
t |
|
sin |
|
|
|||||||||
t |
6 |
|
n |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
6 |
|
n |
|
|
6 |
|
|
|
|
3 |
|
|||||||
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
2 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
u |
|
t 0 |
|
|
|
|
|
b sin |
|
|
|
|
x 0; |
|
b |
0. |
|
||||||||||||
|
|
t |
|
6 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Определяя коэффициенты |
|
|
an |
|
по формулам Эйлера |
|||||||||||||||||||||||||
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,
x;
– Фурье,
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 n |
|
||
|
|
2 2 |
|
|
3 |
|
4 |
|
3 |
|
2 3 |
|
2 |
|
|
|
||||||||
an |
|
|
|
|
|
|
x x |
|
sin |
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
|
x x |
|
d cos |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
3 |
|
0 |
|
2 |
3 |
|
3 |
|
2 n 0 2 |
|
|
|
|
3 |
||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
61
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 n |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 n |
|
|||||||||||||||
|
x x |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
x |
|
0 |
|
|
2x cos |
|
|
|
|
xdx |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
2 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
2x |
|
|
|
d |
|
sin |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
2 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 n |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
2 |
2x |
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
x |
0 |
2 sin |
|
|
|
|
|
xdx |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
2 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
x |
|
3 |
|
|
|
|
|
1 |
n |
1 |
|
; |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
n |
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
0 |
|
|
|
3 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
0, b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
, k N. |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2k 1 |
3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2k |
|
|
|
|
|
|
|
2k 1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя найденные коэффициенты в выражение для функции u, получим
|
|
18 |
|
|
2k 1 |
|
2 2k 1 |
|
u x, t |
|
|
cos |
t sin |
x. |
|||
3 |
2k 1 |
3 |
6 |
3 |
||||
k 0 |
|
|
|
|
Неоднородное уравнение.
С помощью метода Фурье представляется возможнм решение краевых задач и для неоднородного волнового уравнения.
Рассмотрим, к примеру, постановку задачи о вынужденных колебаниях струны, зафиксированной на концах:
|
u |
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
x, t , t 0, 0 x l; |
|
|
|
a |
2 |
|
|
|
f |
||||
t |
2 |
|
x |
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
u |
t 0 |
x , |
u |
t 0 |
x , 0 x l; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
62
83
84
u |
x 0 |
0, u |
x l |
0, t 0. |
|
85 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||
Рассматривая в искомом решении |
u x, t |
этой задачи |
переменную t как параметр, найдѐм данное решение в виде ряда Фурье по ортогональной на отрезке 0, l системе соб-
ственных функций
|
nx |
|
|
|
|
, |
|||
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
n 1 |
|
определѐнных в задаче о
свободных колебаниях ограниченной струны и удовлетворя-
ющих граничным условиям |
|
85 . |
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
u x, t |
n |
t sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
86 |
||||||||
|
|
|
V |
|
|
|
|
l |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
здесь коэффициенты |
|
Vn t |
|
|
надо находить в виде функции |
|||||||||||||||||||||
времени t при условии, что ряд |
86 |
является решением |
||||||||||||||||||||||||
уравнения 83 и удовлетворяет начальным данным |
84 . С |
|||||||||||||||||||||||||
этой целью разложим функции |
|
|
f |
x, t , |
x |
и x |
в такие |
|||||||||||||||||||
ряды Фурье: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
l |
|
|
|
n |
|
|
|||
f x, t fn t sin |
a |
2 |
, fn |
t |
|
f |
, t sin |
d ; |
||||||||||||||||||
l |
|
|
|
|
l |
l |
|
|||||||||||||||||||
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nx |
|
|
|
|
|
2 |
|
l |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|||
x n sin |
, n |
|
|
sin |
d ; |
|
|
|
87 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
l |
|
l |
|
l |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
sin nx |
, |
|
|
2 |
l |
sin n d . |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
l |
|
|
|
|
n |
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
После подставки рядов |
86 |
и |
87 |
в уравнение 83 и |
||||||||||||||||||||||
начальные данные 84 , будем иметь такие выражения: |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
na |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nx |
|
|
|
|
nx |
|
|||||||
Vn t |
|
|
|
|
|
Vn |
t sin |
|
|
|
fn t sin |
|
|
; |
||||||||||||
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
63 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nx |
|
|
|
|
|
|
nx |
|
|
|
n |
0 sin |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|||
V |
|
l |
|
|
|
sin |
|
l |
; |
|
||||
n 1 |
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
nx |
|
|
|
|
|
|
nx |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
n |
|
0 sin |
|
|
|
n |
|
|
|
|
||||
V |
|
l |
|
|
sin |
l |
|
. |
||||||
|
|
|
|
|||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
88 |
|
|
|
|
||||
Приравняем в соотношениях |
|
коэффициенты |
88
при
одних и тех же собственных функциях. В результате будем иметь такую задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка:
|
na 2 |
|
|
|
|
t ; |
89 |
|||||
Vn t |
|
Vn t fn |
||||||||||
n |
|
l |
n |
|
|
|
n |
|
|
90 |
||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|||||
V |
0 |
|
|
, V |
0 |
|
|
|
. |
|
|
|
Общее решение уравнения |
89 |
возможно определить, |
используя метод вариации произвольных постоянных Лагранжа. Выполняя начальные условия 90 , запишем реше-
ние задачи 89 , |
90 |
Vn t n
|
l |
l |
|
|
|
||
|
|
||
na |
|||
|
|||
|
|
0 |
в форме |
|
|
|
|
|
|||
na |
|
|
l |
|
na |
|
||
cos |
|
t |
|
|
n sin |
|
t |
|
l |
na |
l |
||||||
|
|
|
|
|
fn sin |
na t |
d . |
|
||
|
l |
91
|
Тогда, подставив найденное выражение для |
Vn t |
в ряд |
|||||||||||||||||||
86 , |
получим решение исходной задачи |
83 |
– |
85 |
в сле- |
|||||||||||||||||
дующей форме: |
na |
|
|
l |
|
|
na |
|
|
|
nx |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
u x, t n |
cos |
l |
|
t |
na |
n sin |
l |
t |
sin |
l |
|
|
|
|||||||||
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
l |
|
t |
|
|
na |
|
t |
|
|
nx . |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
fn sin |
|
|
|
|
d sin |
|
|
|
|
92 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
n 1 |
na 0 |
|
|
|
|
l |
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
64 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Общая первая краевая задача.
Исследуем общую постановку задачи о вынужденных колебаниях струны с исходными законами колебаний еѐ концов:
2u |
a2 2u |
f |
|
x, t , t 0, 0 x l; |
||||
t2 |
|
x2 |
|
|
|
|
||
u |
|
t 0 |
x , |
u |
|
t 0 |
x , 0 x l; |
|
|
|
|||||||
|
t |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
u x 0 t , u x l t , t 0.
93
94
95
Чтобы решить данную задачу, зададим вспомогатель-
ную функцию |
W x, t |
|
с условием, что для неѐ выполняются |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
условия 95 , |
что равносильно |
|
W |
x 0 |
t , |
W x l |
t . |
В |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
роли одной из этих функций можно взять |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
W |
|
x, t |
|
|
|
t |
|
x |
|
|
|
t |
|
|
|
t |
|
, 0 x l. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Производя замену u x, t W x, t v x, t |
для новой иско- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
мой функции |
v x, t |
|
будет иметь место такая краевая задача: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
v |
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x, t , t 0, 0 x l; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
a |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
96 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
t |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
v |
|
t 0 |
|
|
x |
, |
v |
|
t 0 |
|
|
|
x , 0 |
|
x l; |
|
|
|
|
|
|
97 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
98 |
|||||
|
|
|
|
|
v |
|
x 0 |
0, v |
x l |
0, t 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
здесь новые функции |
|
|
f1 x, t , |
1 x |
и 1 x |
заданы выраже- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ниями |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
f x, t |
|
|
x, t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f x, t |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
t |
|
t |
|
|
|
|||||||||||||
f |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 x x W t 0 |
|
x |
|
0 |
|
|
|
0 0 ; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
l |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
65 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x |
W |
|
||
1 |
|
t |
|
|
t 0
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
0 |
|
|
0 |
0 |
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, первая краевая задача для неоднородного уравнения в общей постановке сведена к изученной ранее задаче вида 83 – 85 о вынужденных колебаниях ограниченной струны с зафиксированными концами.
3.4. Одномерное уравнение теплопроводности
Явление переноса теплоты от более нагретых мест тела к менее нагретым обусловлен изменением температуры u в разных местах тела. Таким образом, рассмотрение данного явления в макроскопической теории, вообще говоря, трансформируется к нахождению нестационарного температурного поля в теле.
Изучим одномерный процесс переноса теплоты теплопроводностью в плоском слое изотропного материала (рис. 8), имея ввиду, что температура u u x, t есть функция
только одного пространственного аргумента x.
Плотность материала, его удельную теплоѐмкость c и коэффициент теплопроводности k, вообще говоря, неоднородной среды примем тоже зависящими лишь от одного пространственного аргумента x.
Описывая математически данное явление, считаем что среда неподвижна, а вариация объѐма материала вследствие вариации температуры является бесконечно малой величиной. Тогда возможно сделать предположение о независимости явления теплопроводности от выполнения механической работы.
В расматриваемом слое материала в качестве некоторой термодинамической системы выделим объѐм V в виде ци-
66
линдра с площадью основания ординатной оси Ox (см. рис. 8).
S
и осью, параллельной ко-
|
|
Рис. 8. Явление теплопереноса |
||||
|
Согласно первомй закону термодинамики, адптирован- |
|||||
ного к рассматриваемому объѐму |
V , |
имеет место соотноше- |
||||
ние |
|
|
|
|
|
|
|
|
dU |
Q |
Q |
, |
99 |
|
|
|
||||
|
|
dt |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
здесь |
U |
– внутренняя энергия системы, еѐ представляется |
возможным определить, интегрируя объѐмную плотности внутренней энергии x, t по объѐму цилиндра:
|
x2 |
U dV S dx. |
|
V |
x1 |
Тогда вариация внутренней энергии системы за единицу времени
67
dU |
x |
|
|
2 |
|
||
dt |
S |
t |
dx. |
x |
|
||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
100
Тепловой поток Q1 сквозь всю замкнутую поверхность
рассматриваемого цилиндра (количество теплоты, выделяемое сквозь данную поверхность за единицу времени), представляется возможным определить интегрированием по поверхности нормальной составляющей плотности теплового
потока |
q. |
нормаль к
Тогда
.
1 |
|
Т |
|
Q |
|
q ndS, |
|
|
|
|
|
здесь
n
– единичная внешняя
Исходя из физического закона Фурье, при теплопереносе теплопроводностью q kgradu. Поскольку в изучаемом
варианте вектор плотности теплового потока q имеет только
одну составляющую
q |
|
k |
u |
, |
|
x |
x |
||||
|
|
|
|||
|
|
|
|
то тепловой поток от рас-
сматриваемого объѐма распространяется только сквозь основания цилиндра, и
|
|
|
u |
|
|
|
|
u |
|
|
x |
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||
Q S |
|
k |
|
1 |
S |
|
k |
|
2 |
S |
|
|
k |
|
dx. |
1 |
|
x x |
|
|
x x |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
x |
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
101
Внутри рассматриваемого объѐма из-за прохождения эндоили экзотермических реакций, протекания электрического тока, выделения влаги в пористом материале и иных воздействий предсталяется возможным выделение (поглощение) теплота. При условии, что F x, t интерпретируется как объ-
ѐмную плотность или, другими словами, удельная мощность, тепловых источников, за единицу времени в изучаемом объѐ-
ме выделится F 0 или поглотится F 0 количество теплоты
|
|
|
|
x |
|
2 |
|
|
|
2 |
F x, t dx. |
|
FdV S |
|
|||
Q |
|
|
|||
|
|
V |
|
x |
|
|
|
|
|
1 |
|
68
102
После подстановки соотношений
100 |
– |
102 |
в уравнение
99 ,
будем иметь
x |
|
|
|
u |
|
|
2 |
|
|||||
S |
|
t |
|
k |
|
F x, t dx 0. |
x |
|
|
x |
x |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
103
Поскольку координаты |
x1 |
и |
рутся произвольно, соотношение
x2 оснований цилиндра бе-103 имеет место только в
случае, когда подынтегральная функция нулевая. Следовательно, в рассматриваемом явлении теплопере-
носа локально (в любой точке пространства) обязательно выполнение такого дифференциального выражения:
|
|
|
u |
F x, t . |
t |
k |
|
||
|
x |
x |
|
104
Объѐмная плотность
сжимаемой среды |
|
внутренней энергии
u |
варьируется |
исследуемой в зависимости
неот
|
|
|
|
|
|
d |
~ |
|
|
|
температуры, а |
производная |
du |
c |
интерпретируется как |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
объѐмная |
теплоѐмкость |
c c |
вещества. |
Поэтому |
||||||
|
|
u |
c |
u |
. Исходя из соотношения 104 |
имеет ме- |
||||
t |
u t |
t |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
сто дифференциальное уравнение
c |
u |
|
|
u |
F x, t . |
|
k |
|
|||
|
t |
|
x |
x |
|
105
В случае однородного вещества со свободными от
пературы теплофизическими характеристиками , |
c |
тем- и k
уравнение
105
равносильно
u a2 2u f x, t ,
t x2
106
69
здесь |
a |
2 |
|
k |
– константа, именуемая коэффициентом тем- |
|
|||||
|
c |
||||
|
|
|
|
|
пературопроводности вешества,
Уравнения
f105
x и
, t106
1F x, t .
c
|
есть дифференциальные урав- |
нения в частных производных параболического класса. Они используются в математических интерпретациях явления теплопереноса в неоднородных и однородных телах с одномерным температурным полем. Данные уравнения именуют-
ся уравнениями теплопроводности.
Замечание. Уравнения
105
и
106
моделируют вари-
ацию температурного поля в стержне постоянного поперечного сечения, сделанном из неоднородного или однородного вещества при условии, что боковая поверхность стержня теплоизолирована, площадь поперечного сечения пренебрежимо мала и представляется возможным не принимать во внимание распределение температуры по сечению, предполагая еѐ зависимость лишь от осевой переменной.
Постановка краевых задач.
С целбю использования уравнения теплопроводности для построения математической модели вариации температурного поля в теле, нужно иметь распределение температуры в начальный момент времени, что означает постановку начального условия. Для исследуемого одномерного явления начальное условие
u |
t 0 |
|
|
x |
|
, 0 x l, |
107 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
определяется исходной функцией x .
Более, необходимо знать тепловой режим на поверхности тела S, что означает постановку граничных условий в каждой точке поверхности тела в произвольный момент вре-
70