3177

ливо в пустоте, но во многих случаях сохраняется и при взаимодействии зарядов в веществе.

НАПРЯЖЕННОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ. Взаимодействие зарядов может

быть описано также и с помощью понятия электростатического поля, силовой характеристикой которого является напряженность E. Поскольку сила взаимодействия зарядов q и q1 выражается через произведение q1∙q, то сила, действующая на заряд q со стороны заряда q1, может быть представлена в виде

(1.4)

где вектор Е носит название напряженности электрического поля. Вектор напряженности электрического поля равен силе, действующей на единичный положительный точечный заряд (в дальнейшем — пробный заряд):

(1.5)

Подставляя уравнения (1.1), (1.2) в (1.5), имеем

(1.6)

Уравнение (1.6) представляет собой закон Кулона в полевой форме.

С помощью понятия напряженности описание взаимодействия пары зарядов строится следующим образом: заряд q1 создает электрическое поле, определяющееся только величиной q1 и расстоянием r от заряда до рассматриваемой точки пространства. Второй заряд q взаимодействует с тем электрическим полем, которое имеется в точке, где он находится. В рамках электростатики два способа описания: через силу взаимодействия и через напряженность электрического поля — приводят к одинаковым результатам.

Как показывает эксперимент, возникновение электрического поля может быть вызвано не только наличием электрических зарядов. Соответствующие физические явления будут изучены нами далее. Понятие поля позволяет описывать широкий класс явлений с общей точки зрения, и данным способом мы будем пользоваться в дальнейшем.

Из принципа суперпозиции для сил следует принцип суперпозиции для векторов напряженности электрического поля:

(1.7)

Следует отметить, что понятие напряженности имеет смысл лишь при условии, что влиянием пробного заряда на заряды, создающие это поле, можно пренебречь. Внесение реальных, а не мыслимых зарядов зачастую приводит к силовому изменению расположения зарядов, создающих поле, и соответственно к изменению исходного электрического поля.

Для наглядного описания электрического поля используется понятие линий напряженности электрического поля. Линии напряженности электрического поля располагаются так, что касательные к ним совпадают по направлению с вектором Е, а густота силовых линий пропорциональна величине поля Е. Линии по-

11

Рис. 1.1. Характерный вид линий напряженности электрического поля, создаваемого одним или двумя зарядами

ля, создаваемые положительным (а) и отрицательным (б) зарядами, а также парой разноименных зарядов (в), показаны на рис. 1.1.

ТЕОРЕМА ОСТРОГРАДСКОГО–

ГАУССА. Линии напряженности электрического поля начинаются или заканчиваются на зарядах или уходят в бесконечность. В этом смысле заряды являются источниками электрического поля. Мысленно окружим систему зарядов замкнутой поверхностью. Разность числа силовых линий, входящих и выходящих из такой поверхности, пропорциональна алгебраической сумме зарядов внутри нее. Это утверждение называется

теоремой Остроградского-Гаусса.

Придадим ей теперь математический вид. Но сначала уточним понятие замкнутой поверхности. Это понятие интуитивно ясно, но во избежание недоразумений определим его более строго.

Назовем замкнутой поверхность, разбивающую пространство на две области — внутреннюю (конечного размера) и внешнюю (бесконечного) таким образом, что переместить точку из одной области в другую можно, только пересекая границу.

Нам также понадобится математическое понятие потока вектора через поверхность. Определим поток вектора. Представим себе однородное электрическое поле с напряженностью Е, составляющей угол с нормалью к плоской поверхности площадью S. Тогда поток вектора напряженности, который мы обозначим буквой ФE, будет равен произведению величины нормальной к поверхности компоненты напряженности поля Еn на площадь S:

(1.8)

где S — вектор площадки. Модуль вектора равен площади S, а направление совпадает с перпендикуляром (нормалью) к площадке (рис. 1.2).

Поскольку величина напряженности поля пропорциональна плотности силовых линий и площадку пересекают только векторы, имеющие отличную от нуля нормальную компоненту, то поток сквозь данную площадку пропорционален числу пронизывающих эту площадку силовых линий.

Рис 1.2. Взаимное расположение вектора и элементарной площадки при расчете величины потока вектора

12

В случае если поле не является однородным или поверхность имеет сложную форму, разделим всю поверхность на бесконечно малые участки с вектором отдельной площадки dS. Определив поток через каждую площадку в соответствии с уравнением (1.8)

(1.9)

и просуммировав все элементарные потоки, получим интеграл через поверхность:

(1.10)

Очевидно, что больший заряд создает более густую структуру линий напряженности электрического поля. Придадим этому качественному соображению количественную форму. Рассмотрим замкнутую поверхность в форме сферы радиуса r, окружающую точечный положительный заряд q, расположенный в ее центре. Направление вектора нормали выберем наружу по отношению к замкнутой поверхности. Величина электрического поля на поверхности сферы будет всюду одинакова, равна и направлена радиально наружу, как

показано на рис. 1.3. Поскольку в данном случае , то поток вектора Е через поверхность сферы будет равен величине Е, умноженной на площадь поверхности сферы S = 4 r2, то есть

(1.11)

E

n

q1

A1

A2

Рис. 1.3. Взаимное расположение силовых линий точечного заряда и поверхности сферы при расчете потока вектора

13

Рис. 1.4. Предполагаемый вид линий напряженности электрического поля, удерживающего в равновесии положительный заряд

Более детальное математическое исследование показывает, что соотношение (1.11), выведенное нами для одного точечного заряда и сферической поверхности, справедливо и для любой системы зарядов внутри произвольной замкнутой поверхности. Оно составляет содержание теоремы ОстроградскогоГаусса. Следует отметить, что отрицательный заряд порождает отрицательный по величине поток вектора E.

Заряды, расположенные вне замкнутой поверхности (например, q1 на рис 1.3), не дают вклада в поток ФE. Это связано с тем, что силовые линии внешних зарядов пересекают поверхность дважды, входя и выходя из нее (точки А1 и А2 на рис. 1.3). Знаки нормальных составляющих Еn вектора напряженности в точках входа и выхода противоположны, и потоки через окрестности точек А1 и А2 взаимно компенсируются.

Учитывая два последних замечания, окончательно можно сформулировать теорему Остроградского-Гаусса в следующем виде: поток вектора на-

пряженности электрического поля системы зарядов через произвольную замкнутую поверхность пропорционален алгебраической сумме зарядов, заключенных в объеме, окруженном этой поверхностью:

(1.12)

Если заряды распределены непрерывно с объемной плотностью , то суммирование в правой части формулы (1.12) заменяется интегрированием по объему заряженного тела и

(1.13)

ТЕОРЕМА ИРНШОУ. Теорема Остроградского-Гаусса позволяет доказать неустойчивость равновесия заряженной частицы в чисто электростатическом поле (теорема Ирншоу) методом от против-

ного. Пусть положение заряда q устойчиво. Это означает, что при смещении в любом направлении от положения равновесия на него будет действовать возвращающая сила со стороны внешних электрических зарядов.

Примем для определенности, что q > 0. Тогда для устойчивости необходимо, чтобы линии напряженности в окрестности заряда были направлены к нему, как показано на рис. 1.4. Тогда поток вектора Е через малую поверхность, окружающую заряд q, отличен от нуля. Однако по теореме Остроградского-Гаусса это невозможно, поскольку поле создается только внешними для данной замкнутой поверхности зарядами. Полученное противоречие и доказывает сформулированное нами утверждение.

14

К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы и у п р а ж н е н и я

1.Нарисуйте силовые линии электрического поля, создаваемого четырьмя одинаковыми положительными зарядами, расположенными в вершинах квадрата.

2.Пользуясь принципом суперпозиции, найдите результирующее поле, если координаты векторов поля равны соответственно Ех1 = 2 В/м, Еу1 = 2 В/м,

Ez1 = l В/м и Ех2 = 2 В/м, Еу2 = 1 В/м, Ez2 = 2 В/м.

3.От чего зависит выбор величины константы k в формуле (1.1) для закона Кулона?

4.Нарисуйте силовые линии электрического поля, создаваемого равномерно заряженной бесконечной плоскостью. Знак заряда считать отрицательным.

5.Пользуясь теоремой Остроградского-Гаусса, найдите поток вектора однородного электрического поля Е через поверхность полусферы радиусом R. Угол между вектором напряженности и плоской круговой поверхностью, лежащей в основании полусферы, равен θ.

Глава 2. Электрическое поле внутри диэлектриков

Все вещества можно разделить на два основных класса по отношению к способности проводить электрический ток — диэлектрики и проводники. В диэлектриках положительные и отрицательные заряды связаны и не могут свободно перемещаться под действием электрического поля. Напротив, в проводниках имеются свободные заряды, которые под действием даже небольших полей способны перемещаться.

ПОЛЯРНЫЕ И НЕПОЛЯРНЫЕ ДИЭЛЕКТРИКИ. Диэлектрики состоят из моле-

кул. Молекула электрически нейтральна и содержит одинаковое количество положительных и отрицательных зарядов. Если в отсутствие внешнего электрического поля заряды разного знака смещены в молекулах относительно друг друга, то состоящий из них диэлектрик называется полярным. Свойства таких молекул хорошо описываются моделью жесткого диполя: системой находящихся на фик-

сированном расстоянии равных по

+	l		-	модулю	разноименных	зарядов
				(рис. 2.1). Вектор р = ql называется
q			-q	дипольным моментом. Здесь q —
				величина	положительного	заряда,
Рис. 2.1. Модель электрического диполя				l — вектор, соединяющий отрица-
				тельный и положительный заряды.
При отсутствии внешнего		электрического поля вследствие теплового

движения все направления дипольных моментов равновероятны. Под действием внешнего поля полярные молекулы ориентируются преимущественно в направлении внешнего поля тем сильней, чем больше отношение энергии взаимодействия молекул с полем к энергии теплового движения.

15

В неполярных диэлектриках центры зарядов разных знаков совпадают. Относительное смещение положительных и отрицательных зарядов происходит под действием внешнего поля. Диполь, моделирующий такие молекулы, уже нельзя считать жестким: расстояние между разноименными зарядами растет с ростом напряженности внешнего поля E0.

ПОЛЯРИЗАЦИЯ ДИЭЛЕКТРИКОВ. Процессы ориентации и деформации молекулярных диполей, приводящие к частичному разделению отрицательных и положительных зарядов, называются поляризацией диэлектрика. Количественной мерой поляризации служит вектор поляризации Р. Его определяют как векторную величину, равную суммарному дипольному моменту системы. Вектор поляризации единицы объема V есть

(2.1)

где n — число молекул в единице объема, р — средний дипольный момент молекулы.

Для широкого класса изотропных диэлектриков и не очень больших значений напряженности электрического поля справедливо равенство

(2.2)

где χ — диэлектрическая восприимчивость, E — напряженность суммарного поля, то есть внешнего поля E0 и внутреннего поля.

Связанность зарядов в диэлектрике приводит к тому, что объемная плотность заряда внутри него равна нулю как без действия внешнего поля, так и при его наличии. Рассмотрим прямоугольный однородный полярный диэлектрик, помещенный в постоянное электрическое поле E0, как показано на рис. 2.2.

Рис. 2.2. Поляризация диэлектрика

Тогда поляризация диэлектрика во внешнем поле приводит к появлению на двух перпендикулярных полю границах тонких слоев связанных зарядов с модулем поверхностной плотности заряда ζb. При этом поле этих слоев направ-

16

лено противоположно внешнему полю. Мысленно вырежем из диэлектрика цилиндр с основаниями площадью S, лежащими на границах диэлектрика, и осью, параллельной линиям напряженности (пунктир на рис. 2.2). Поскольку на основаниях цилиндра имеется некомпенсированный связанный заряд, равный Sζb, а высота цилиндра равна толщине диэлектрика d, модуль дипольного момента цилиндра определяется равенством

(2.3)

Здесь учтено, что объем цилиндра V = Sd. Из уравнения (2.3) видно, что величина дипольного момента единицы объема диэлектрика равна поверхностной плотности связанных зарядов ζb:

(2.4)

Таким образом, поверхностная плотность связанного заряда совпадает по величине с величиной поляризации. При этом направление вектора Р совпадает с направлением E0. Соотношение (2.4) справедливо как для полярных, так и для неполярных диэлектриков.

ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ. Рассмотрим теперь

поле бесконечной равномерно положительно заряженной плоскости, помещенной в однородную диэлектрическую среду, как показано на рис. 2.3. Обозначим поверхностную плотность заряда . В результате поляризации вблизи поверхности возникает двойной слой связанных зарядов отрицательного знака с каждой стороны от плоскости с плотностью, модуль которой равен ζb. Поле, порождаемое этими зарядами, направлено противоположно внешнему. Для определения величины поля E0 порождаемого свободными и связанными зарядами, воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса.

Рис.2.3. Поле равномерно заряженной плоскости

Выберем замкнутую поверхность в форме цилиндра, ось которого параллельна E0, а площади торцов равны S (пунктир на рис 2.3). Из соображений

17

симметрии ясно, что и суммарное поле Е так же, как и E0 параллельно оси цилиндра и, следовательно, поток вектора Е через боковую поверхность равен нулю. Поток вектора напряженности через торцы цилиндра площадью S равен

(2.5)

Подставляя (2.2) с учетом (2.4) в (2.5), получим:

(2.6)

В отсутствие диэлектрика

(2.7)

Из уравнений (2.6) и (2.7) следует, что в диэлектрической среде

(2.8)

где ε — относительная диэлектрическая проницаемость среды. Тогда можно записать:

(2.9)

В общем случае определить плотность связанных зарядов нелегко, и при использовании теоремы Остроградского-Гаусса для расчета полей в диэлектриках даже в случае высокой симметрии возникают трудности. Для удобства расчета электрических полей вводят вспомогательный вектор электрической индукции D. Он представляет собой сумму разнородных величин — напряженности суммарного поля и вектора поляризации единицы объема:

(2.10)

Можно показать, что для вектора электрической индукции теорема Ост- роградского-Гаусса имеет следующий вид: поток вектора индукции через любую замкнутую поверхность выражается через алгебраическую сумму только свободных зарядов q внутри замкнутой поверхности:

(2.11)

Поскольку в соответствии с уравнением (2.10) вектор D пропорционален напряженности суммарного поля, расчет полей в диэлектриках значительно упрощается.

НОРМАЛЬНАЯ СОСТАВЛЯЮЩАЯ ПОЛЯ НА ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА ДИЭЛЕКТРИКОВ.

На границе раздела диэлектриков свободных зарядов нет. Выберем замкнутую поверхность в форме цилиндра малой высоты, ось которого перпендикулярна плоской границе раздела диэлектриков I и II (рис 2.4).

В соответствии с теоремой Остроградского-Гаусса

(2.12)

18

откуда	(2.13)
или	(2.14)

Рис. 2.4. Преломление вектора электрической индукции

на границе раздела двух диэлектриков

Таким образом, нормальная составляющая электрической индукции при переходе через границу раздела диэлектриков не изменяется. Нормальная составляющая напряженности электрического поля изменяется скачком.

ПОЛЕ РАВНОМЕРНО ЗАРЯЖЕН-

НОЙ НИТИ. Теорему ОстроградскогоГаусса можно применить для расчета поля систем, обладающих высокой симметрией. Найдем поле бесконечной равномерно заряженной прямолинейной нити с линейной плотностью заряда . Выберем замкнутую поверхность в форме цилиндра так, чтобы ось цилиндра совпадала с нитью, как показано на рис. 2.5. Поток вектора D через торцы цилиндра равен нулю, а поток через боковую поверхность

(2.15)

Отсюда следует, что

(2.16)

Следовательно,

(2.17)

ПОЛЕ РАВНОМЕРНО ЗАРЯЖЕН-

НОГО ШАРА. Вычислим поле, создаваемое шаром радиуса R, заряд ко-

Рис. 2.5. Поле равномерно заряженной нити торого q равномерно распределен по

его объѐму V с плотностью , в

произвольной точке пространства. Из соображений симметрии ясно, что индукция поля направлена по лучам, проходящим через центр шара, а модуль индукции зависит только от расстояния до центра (рис. 2.6). При такой конфигу-

19

рации поля естественно выбрать в качестве замкнутой поверхности для применения теоремы Остроградско- го-Гаусса сферу радиуса r, концентрическую с поверхностью шара.

Поток вектора индукции через такую сферу равен произведению модуля вектора D на площадь сфе-

ры (Dn = D):

(2.18)

Если , величина заряда, заключенного внутри поверхности, не зависит от ее радиуса и равна заряду шара q. Подставляя в (2.11) поток (2.18) и заряд q, имеем

(2.19)

Рис. 2.6. Поле равномерно заряженного шара

что совпадает по виду с законом Кулона. Таким образом, закон Кулона описывает не только поле точечного заряда, но и поле равномерно заряженного шара для расстояний r, больших его радиуса.

Если , то внутри поверхности находится лишь часть заряда шара, пропорциональная объему , охватываемому поверхностью:

(2.20)

Подставляя в (2.11) поток (2.18) и заряд (2.20), имеем

(2.21)

ПОЛЕ ВНУТРИ ПЛОСКОГО КОНДЕНСАТОРА. Как видно из приведенных при-

меров, применение теоремы Остроградского-Гаусса непосредственно к расчету полей эффективно только в случае, когда из соображений симметрии можно указать поверхности, на которых D = const.

Рассмотрим поле между двумя проводящими плоскими параллельными пластинами, имеющими равные, но противоположные по знаку заряды (рис. 2.7). Пусть промежуток между пластинами заполнен диэлектриком с относительной проницаемостью .

Поле внутри конденсатора найдем, воспользовавшись формулой (2.9) для поля равномерно заряженной плоской поверхности и принципом суперпозиции электрических полей. Согласно принципу суперпозиции поле внутри конденсатора равно удвоенному полю, создаваемому отдельной заряженной поверхностью:

(2.22)

20