3323

			b				n
			f	x dx lim			f k	xk .
			a		n	k	1
Числа a	и b	называются нижним и верхним пределами
интегрирования,		f	x	-подынтегральной функцией, x -
переменной	интегрирования,						отрезок	a, b -областью
(отрезком) интегрирования.
Функция y		f	x ,	для которой существует определѐнный
интеграл на отрезке			a, b , называется интегрируемой на этом

отрезке.

На вопрос о существовании определенного интеграла

дает ответ теорема Коши.
Теорема Коши: Если функция y	f	x непрерывная на
отрезке a, b , то она интегрируема	на	этом отрезке (без

доказательства).

Таким образом, непрерывность функции является достаточным условием интегрируемости функции. Среди разрывных функций могут быть как интегрируемые, так и не интегрируемые функции.

В частности, можно доказать, что для всякой ограниченной на отрезке a, b функции, имеющей на нѐм

конечное число точек разрыва, существует определѐнный интеграл.

		8.2. Геометрический смысл определенного интеграла
		Пусть на отрезке		a, b	задана	непрерывная функция
y	f	x	0 . Фигура, ограниченная сверху графиком y				f	x ,
снизу осью Ox , с боков двумя вертикальными прямыми x								a
и	x	b ,	называется	криволинейной		трапецией.	Найдѐм
площадь этой фигуры.
		Для	этого разобьѐм		отрезок	a, b на n	частей

произвольным образом. Обозначим длину частичных отрезков

141

x1 x1 x0 , x2 x2 x1 , ... xn xn xn 1 . В каждом из частичных отрезков выберем произвольную внутреннюю точку

k
xk	k xk 1	(k=1,…, n ). Вычислим значение функции f(x) в
этих	точках:	f ( k ) (k=1,… n ). Через точки деления

x1 , x2 ,..., xn 1 проведем прямые, параллельные оси Oy . Каждую

часть криволинейной трапеции, расположенную между вертикальными прямыми, заменим прямоугольником с тем же

самым основанием xk и высотой f(	k ) (k=1,… n ). Площадь
каждого прямоугольника равна f ( k )	xk .

При этом криволинейная трапеция заменяется ступенчатой фигурой (рис. 28), площадь которой равна сумме площадей элементарных прямоугольников:

Sn f 0 x0 f 1 x1 ... f k xk ... f n 1 xn 1 =

n

f k xk .

k 1

y

y f x

								x
					3		n
	1		2
O a x0 x1			x2		x3		xn 1 b xn

Рис. 28.

142

x1 , ... xn

xn 1 .

max xk

Площадь Sn ступенчатой фигуры является лишь

приближѐнным значением искомой площади криволинейной трапеции. Очевидно, что это приближение будет тем более точным, чем меньше длина частичных отрезков и больше их число. Способ разбиения отрезка на n частей при n , если длина наибольшего частичного отрезка стремится к нулю, т.е.

0 , называется способом равномерного измельчения.

При равномерном измельчении отрезка a, b . ломаная линия будет теснее примыкать к кривой y f (x) , а точность

приближения площади криволинейной трапеции площадью ступенчатой фигуры будет возрастать.

За точное значение площади криволинейной трапеции

принимают предел, к		которому стремиться Sn при
равномерном измельчении отрезка				a, b	(если такой предел
существует):
			n		b
S lim Sn	lim		f (	k ) xk	f x dx .
n	n	k	1		a

Таким образом, определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции, в чем и состоит геометрический смысл определенного интеграла.

8.3. Работа переменной силы

	Пусть	материальная точка M		перемещается	под
действием силы F			по оси Ox . Сила F	действует вдоль оси
Ox	и является функцией координаты			x . Найдем работу A
силы F x		по перемещению точки M вдоль оси Ox от точки
x	a до точки x		b . Для этого разобьѐм отрезок a, b		на n

частей произвольным образом. Обозначим длину частичных отрезков x1 x1 x0 , x2 x2 xn В

143

каждом из частичных отрезков выберем произвольную

внутреннюю точку	k	xk	k	xk 1 (k=1,…, n ).
Вычислим значение силы в каждой точке					k :
F1	f	1 , F2	f (	2 ), ... Fn f (	n ) .

Если разбиение достаточно мелкое, то сила Fk незначительно меняется на элементарном отрезке xk 1 , xk и может приближенно считаться на этом отрезке постоянной. В

этом

случае

элементарная

работа

на

частичном отрезке

xk 1 , xk

равна

Ak

f (

k ) xk .

Тогда

работа силы

при

перемещении вдоль всего отрезка

a, b

примерно равна сумме

элементарных работ:

n

An

f (

k ) xk .

k 1

Точное значение работы А определяется как предел

An ,

при

n

,

если

измельчение

отрезка

a, b

производится

равномерным образом:

n

A

lim

f (

k )

xk ,

n

k

1

b

что и соответствует определенному интегралу

F x dx .

a

Таким

образом,

физический

смысл

определенного

интеграла –это работа переменной силы F x , действующей на материальную точку M на отрезке a, b .

8.4.Свойства определенного интеграла

1.Постоянный множитель можно выносить за знак определѐнного интеграла:

144

b	b
	Af (x)dx A f (x)dx .
a	a

2. Если функции f(x) и g(x) интегрируемы на a, b , то

интегрируема на этом отрезке и сумма данных функций, т.е. определѐнный интеграл от алгебраической суммы равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых:

b	b	b
f ( x) g( x) dx	f (x)dx	g(x)dx .
a	a	a

Свойство 2 распространяется на любое конечное число слагаемых. Следует отметить, что свойства 1 и 2 выделяются, образуя свойство линейности операции интегрирования:

b	b	b
	Af (x) Bg(x) dx A f (x)dx B g(x)dx .
a	a	a
b	a

3.f (x)dx f (x)dx .

a b

Доказательство свойства становится очевидным, если учесть то, что при назначении нового порядка разбиения

отрезка a, b от b		к a в интегральной сумме меняется знак
каждого	xk на противоположный.
4.	Свойство	аддитивности: Если функция y f x
интегрируема на отрезке a, b			и a<c<b, то
	b		c	b
		f (x)dx	f (x)dx	f (x)dx ,
	a		a	c

т.е. интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по частям этого отрезка.

Свойство 4 справедливо при расположении точки c вне отрезка a, b , если функция f x продолжает оставаться интегрируемой на каждом из получающихся отрезков.

145

5. Если функция f (x) 0 интегрируема на отрезке a, b

b

(a<b), то f (x)dx 0 .

a

6. Если f(x) и g(x) интегрируемы на отрезке a, b (a<b) и

удовлетворяют на нѐм равенству	f (x) g(x) , то
b	b
f (x)dx	g(x)dx .
a	a
7. Если f(x) интегрируема	на отрезке a, b и a<b, то

модуль определенного интеграла не превосходит интеграла от модуля подынтегральной функции, т.е.

b	b
f (x)dx		f (x)		dx .
a	a

8. Если функция f(x) интегрируема на a, b (a<b) и числа m и М являются наименьшим и наибольшим значениями

функции f	x	на отрезке	a, b , т.е. выполняется неравенство
m f (x)	M , то
			b
		m(b a)	f ( x)dx M (b a) .
			a
Если	f	x 0 , то свойство 8 допускает наглядную

геометрическую интерпретацию: площадь криволинейной трапеции, соответствующей определенному интегралу

b

f (x)dx , заключена между площадями прямоугольников с

a

отрезком a, b в основании и высотами, равными m и M , как

показано на рис. 29.

Данное свойство используется для оценки определенного интеграла.

146

y

y

f

x

M

m

O

a

b

x

Рис.29.

4

dx

Пример 8.1. Оценить интеграл: I

.

0 1

tgx

Решение:

Поскольку

на

отрезке

0,

выполняется

4

неравенство

1

1

1, то

2

1 tgx

4

dx

.

8

0 1

tgx

4

9. Теорема о среднем для определѐнного интеграла.

Теорема:

Если функция

f x непрерывна на отрезке

a, b , то внутри отрезка найдется хотя бы одна точка c такая, что

b

f (x)dx f (c)(b a) .

a

Геометрический смысл теоремы о среднем состоит в том, что криволинейная трапеция, соответствующая определенному

147

b

интегралу f (x)dx , равновелика прямоугольнику с длиной

a

основания (b-a) и высотой f(c).

8.5. Определѐнный интеграл с переменными верхним пределом.

Пусть неотрицательная функция f(x) интегрируема на

	b
отрезке a, b . Тогда	f (x)dx S представляет число,
	a

соответствующее площади криволинейной трапеции. Если верхний предел интегрирования b будет менять свое положение, то, очевидно, будет меняться и площадь изменяющейся криволинейной трапеции, т.е. S S b . В определѐнном интеграле переменную интегрирования можно обозначить любым другим символом, например t :

	b		b
	f (x)dx		f (t)dt S b .
	a		a
Рассмотрим	отрезок	с	переменным верхним	пределом
a, x , где a	x b .	Тогда определенный		интеграл

x

f (t)dt S x оказывается функцией переменного верхнего

a

предела интегрирования

		x
	( x)	f (t)dt .
		a
Теорема	Барроу: Если функция		f x	непрерывна	на
отрезке a, b ,	то производная от функции			(x) равна f	x ,
т.е. (x) есть первообразная для f(x) на			a, b :

148

(x) f (x) .

Другими словами: производная от определѐнного интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которой аргумент t заменяется на

x : f (t) t x f (x) .

Из теоремы Барроу следует, что неопределенный интеграл может быть представлен с использованием определенного интеграла с переменным верхним пределом:

x

f (x)dx (x) C f (t)dt C .

a

8.6. Формула Ньютона-Лейбница

Пусть функция y f x интегрируема на отрезке a, b .

Тогда способ вычисления определенных интегралов может быть получен с помощью формулы Ньютона-Лейбница.

Теорема: Если функция f x непрерывна на отрезке a, bи F xесть какая-либо ее первообразная, то имеет место формула Ньютона-Лейбница:

b

f (x)dx F (b) F (a) .

a

Формула Ньютона-Лейбница представляет удобный способ вычисления определенного интеграла: сначала находится первообразная, затем вычисляется разность значений первообразной на концах отрезка a, b .

Пример 8.2. Вычислить определенный интеграл 5e ln x dx.

e x

Решение:

149

5e	ln x dx	5e	ln x	2	5e	1	ln 5e 2	ln e 2
		ln x d ln x
	x		2		e 2
e		e

				1	ln 5 1 2	1			1	ln2 5 2 ln 5 .
2								2
	Пример 8.3.							Вычислить			определенный интеграл
2
	esin x cos x dx.
0
	Решение:
2						2
			esin x cos x dx					esin x d sin x			esin x	2		e 1 .
0						0						0

8.7. Интегрирование по частям в определѐнном интеграле.

Пусть функции u(x) и v(x) непрерывно дифференцируемы на отрезке a, b . Дифференциал произведения функций равен

d(uv) udv vdu .

Интегрирование этого тождества на отрезке a, bдает

b			b
udv (uv)		ba	vdu .
a			a

Раскрывая дифференциалы, фигурирующие в равенстве, получаем формулу интегрирования по частям в определенном интеграле:

b			b
v ( x)u( x)dx u( x)v( x)		ba	v( x)u ( x)dx .
a			a

Подобно тому, как в неопределенном интеграле выделяются три случая представления подынтегрального выражения в виде произведения u и dv , так же и при

150