ЭКЗАМЕН

Первообразная Определение. Первообразной для функции в интервале называется функция , производная которой равна , т.е. . Теорема: Если функция в интервале имеет первообразную , то любая другая первообразная отличается от данной на константу.	Определение неопределенного интеграла и его свойства. Определение: Неопределенным интегралом для функции называют совокупность всех ее первообразных . Обозначается: . Свойства неопределенного интеграла: Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла. .
Интегрирование по частям. Интегрирование по частям есть действие обратное дифференцированию произведения. Имеем: Проинтегрируем обе части равенства: отсюда получаем: Замечание: Если под знаком интеграла имеем дробь , числитель которой есть производная знаменателя, то интеграл от этой дроби равен логарифму натуральному от модуля знаменателя!!!	Интегрирование заменой переменной. Рассмотрим формулу: , где в следующем виде: , где обратная функция для функции . Обратим внимание на то, что при замене переменной последняя функция должна иметь обратную. В данном интеграле сделана замена . Сложность заключается в том, что таких замен бесконечно много и нужно подобрать такую, чтобы вновь полученный интеграл был проще исходного.

Интегрирование рациональных дробей. Разложение правильной дроби на простейшие.

Определение: Рациональной дробью называется отношение двух многочленов.

, где и многочлены соответственно степеней m и n.

Определение: Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя, т.е. , в противном случае рациональная дробь – неправильная.

К простейшим рациональным дробям относятся дроби:

1)

2)

3)

4)

Интегрирование простейших рациональных дробей.

Интеграл: с помощью

подстановки всегда сводится к интегралу

от рациональной функции:

В результате получаем:

Вычисление интегралов вида: dx, где , символ рациональности функции.

натуральные числа.

Пусть наименьшее общее кратное.

В данном интеграле сделаем замену

, тогда , где целое положительное число для любого , .

Далее имеем:

и

Сделав подстановку, получим:

Таким образом, вычисление данного интеграла с помощью указанной замены сводится к вычислению интеграла от рациональной функции.

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.

Задача 1. Вычислить площадь криволинейной трапеции.

Во-первых, мы должны дать определение криволинейной трапеции.

Во-вторых, должны дать определение площади криволинейной трапеции.

В-третьих, должны указать способ вычисления площади криволинейной трапеции.

Определение. Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная прямой l, двумя прямыми, перпендикулярными прямой l и непрерывной кривой, которая расположена по одну сторону от прямой l и любой прямой, перпендикулярной l, пересекается не более чем в одной точке.

Если прямую l взять за ось OX; OY OX, тогда определение криволинейной трапеции можно дать следующим образом.

Определение. Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная осью OX, прямыми x=a; x=b и графиком непрерывной функции , .

Далее, определение площади криволинейной трапеции и способ вычисления этой площади дадим одновременно.

При решении этих задач мы будем пользоваться следующими известными фактами:

1. Площадь фигуры есть неотрицательное число.

2. Если фигуру разбить на конечное число частей, то площадь всей фигуры равна сумме площадей ее частей.

3. Площадь прямоугольника равна произведению основания на высоту.

Задача 2. Найти массу неоднородного стержня с плотностью .

При решении этой задачи мы будем пользоваться следующими известными фактами:

1. Если плотность отрезка постоянна и равна , то масса отрезка .

2. Если отрезок разбить на конечное число частей, то масса отрезка равна сумме масс его частей.

Определение определенного интеграла.

Пусть – произвольная функция, заданная на отрезке .

Отрезок произвольным способом разобьем на n частей точками: .

Это разбиение обозначим через (T), .

.

В каждом из участков разбиения произвольным способом выберем по точке , .

Составим сумму , которая называется интегральной суммой.

Заметим, что интегральная сумма зависит как от разбиения (T), так и от выбора точек .

Определение. Конечный предел интегральных сумм при называется определенным интегралом от функции на отрезке [a,b].

Определенный интеграл обозначается следующим образом: .

называется подынтегральной функцией, подынтегральным выражением, – пределы интегрирования, а – нижний, b – верхний предел интегрирования.

Определение определенного интеграла можно записать в следующем виде:

,

если последний предел существует.

Геометрический смысл определенного интеграла.

Если подынтегральная функция непрерывна и неотрицательна на отрезке, то есть площадь соответствующей криволинейной трапеции.

Механический смысл определенного интеграла.

Если подынтегральная функция непрерывна и неотрицательна на , то есть масса неоднородного стержня с плотностью .

Теорема существования определенного интеграла.

Если непрерывна на отрезке , то существует.

Свойства определенного интеграла.

1)

2)

3) Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

, с=const.

4)

5)

6)

7) Если знакопостоянна на , то имеет тот же знак, что и .

8) Если , , то .

Интеграл с переменным верхним пределом.

Пусть непрерывная функция на отрезке . Рассмотрим интеграл , где верхний предел . Верхний предел x и x под знаком интеграла разные и имеют разный смысл. Верхний предел x является произвольной фиксированной точкой отрезка , а x под знаком интеграла является переменной, которая изменяется от a до верхнего предела x. Интеграл называется интегралом с переменным верхним пределом, т.к. верхний предел x может принимать любое значение из отрезка . По условию непрерывна на любом отрезке , , то по теореме существования интеграл существует для любого , поэтому является функцией от x.

Далее покажем, что функция является дифференцируемой функцией.

Теорема. Если непрерывна на отрезке , то производная от интеграла с переменным верхним пределом равна подынтегральной функции, т.е. является первообразной для подынтегральной функции на ,

Доказательство.

По определению производной

где с расположено между и .

Последнее равенство имеет место в силу теоремы о среднем. Подставляя вместо полученное выражение, будем иметь

.

Точка с расположена между и , поэтому при . Так как непрерывна в точке x, то .

Формула Ньютона-Лейбница.

Теорема. Справедлива формула , где Ф(x) какая-либо первообразная для подынтегральной функции .

Доказательство.

Рассмотрим интеграл с переменным верхним пределом . Этот интеграл является первообразной для функции . Пусть – произвольная другая первообразная для . Две различные первообразные для функции различаются на константу. Поэтому . Положим верхний предел , тогда получим: , отсюда , . В последнем интеграле вместо верхнего предела x подставим , тогда получим: .

Вычисление площади фигуры в декартовой системе координат.

Определение. Площадью S области D называется , если предел существует. Если данный предел не существует, то область D площади не имеет. Если область D имеет площадь, то она называется квадрируемой.

В определении площади области D сумма, стоящая под знаком предела является интегральной суммой для функции , поэтому и

.

Если и непрерывные функции на отрезке , то по теореме существования определенного интеграла можно утверждать, что область D имеет площадь, т.е. область D квадратируема.

Вычисление площади фигуры в полярной системе координат.

Два частных случая.

1. Пусть полюс 0 лежит на границе области D. В этом случае , а .

2. Пусть полюс 0 лежит внутри области D

Вычисление длины кривой.

Вычисление объемов тел по площадям параллельных сечений.

Вычисление объемов тел вращения.

Пусть тело является телом вращения криволинейной трапеции вокруг оси OX.

В этом случае и .

Пусть теперь тело является телом вращения фигуры D, которая не пересекает оси OX, причем любая прямая, параллельная оси OY пересекает границу D не более чем в двух точках.

.

Несобственные интегралы от функций, заданных на конечном отрезке , но неограниченных на этом отрезке.

Пусть функция непрерывна в промежутке и неограниченна на этом промежутке.

Рассмотрим произвольное .

Интеграл существует, т.к. непрерывна на отрезке .

Несобственный интеграл определяется следующим равенством

.

Если непрерывна в промежутке и неограниченна на нем, то несобственный интеграл определяется аналогично предыдущему интегралу:

, где ; .

Пусть теперь непрерывна на множестве и неограниченна на этом множестве.

Несобственный интеграл определяется следующим равенством:

, если оба интеграла справа существуют.

Далее рассмотрим случай, когда непрерывна в интервале и неограниченна на этом интервале.

Несобственный интеграл определяется равенством:

, где a<c<b, при этом оба интеграла в правой части должны существовать, т.е. должны сходиться.

Несобственные интегралы от непрерывных функций по бесконечному промежутку.

Пусть задана и непрерывна на промежутке .

Рассмотрим интеграл, этот интеграл существует , т.к. непрерывна на отрезке .

Положим по определению

. (1)

Интеграл называется несобственным интегралом. Если предел в равенстве (1) существует, то говорят, что несобственный интеграл сходится. Если предел в равенстве (1) не существует, то говорят, что несобственный интеграл расходится.

Пусть теперь функция задана и непрерывна на промежутке .

Несобственный интеграл определяется аналогично:

Далее, пусть функция задана и непрерывна на всей числовой оси .

Несобственный интеграл определяется следующим образом:

,

при условии, что оба интеграла справа сходятся.

Заметим, что вместо 0 можно взять любое конечное число а и при этом сходимость несобственного интеграла и его значение не изменится.

Интегрирование по частям в определенном интеграле.

Теорема. Справедлива формула .

Доказательство. Имеем: .

Почленно проинтегрируем последнее равенство

.

Замена переменной в определенном интеграле.

Пусть непрерывна на отрезке и , а функция непрерывна на отрезке .

Справедлива формула

.

Доказательство. Так как непрерывна на , то она на этом отрезке имеет первообразную, которую обозначим .

Функция является первообразной для функции на отрезке .

В самом деле, применяя правило дифференцирования сложной функции, получим: , где .

Используя формулу Ньютона-Лейбница, получим: .

Дифференциальные уравнения 1го порядка.

В общем виде дифференциальное уравнение первого порядка записывается следующим образом: .

В частных случаях в левую часть уравнения в явном виде могут не входить и , но обязательно должна входить производная .

Если уравнение (1) можно разрешить относительно , то его можно представить в следующем виде:

Задача Коши. Теорема Коши о существовании и единственности решения задачи Коши.

Задача Коши: Найти решение дифуравнения , которое удовлетворяет начальному условию .

Теорема Коши: Если функция и ее частная производная непрерывны в некоторой области, содержащей внутри точку , то уравнение имеет единственное решение, удовлетворяющее начальному условию , в некотором интервале , т.е. задача Коши имеет единственное решение.

Определение: Любое решение задачи Коши называется четным решением дифуравнения.

Определение: Совокупность всех частных решений дифуравнения называется общим решением этого уравнения.

Графиком частного решения на плоскости является кривая, которая называется интегральной кривой.

Дифуравнение с разделяющимися переменными.

Определение: Уравнение вида: называется уравнением с разделяющимися переменными.

Для решения дифуравнения с разделяющимися переменными надо разделить переменные и проинтегрировать.

Однородные дифуравнения первого порядка.

Определение: Дифференциальное уравнение вида называется однородным.

Это уравнение с помощью замены сводится к решению дифуравнения с разделяющимися переменными.

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

Определение: Дифференциальное уравнение вида: , .

называется линейным уравнением.

Решение линейного уравнения можно искать в виде: , . Значения для и подставим в данное уравнение. В результате получим тождество:

Уравнения Бернулли

Определение : Уравнение вида

называется уравнением Бернулли. Если , то уравнение (7) является линейным. Если , то уравнение (7) является уравнением с разделяющимися переменными.