С. В. Галкин Кратные интегралы, ряды, поле

61

Поэтому абсолютная сходимость есть, но равномерной сходимости степенного ряда в области V не гарантируется.

Если такая константа найдется, то гарантируется равномерная сходимость ряда.

Радиус сходимости и интервал сходимости степенного ряда.

Рассмотрим монотонно убывающую последовательность | xk x0 | , такую, что в точке

xk степенной ряд an xk x0 n расходится. Если выбрать xk x0 , то степенной ряд будет

n 0

сходиться (ряд из нулей), поэтому рассматриваемая последовательность ограничена снизу нулем. По теореме Вейерштрасса монотонно убывающая, ограниченная снизу числовая

последовательность имеет предел. То есть R limk		xk x0	.
Такое число	R называется радиусом сходимости степенного ряда. Следовательно,
степенной ряд	(по теореме Абеля) абсолютно сходится в интервале				x x0		R
сходимости степенного ряда.

Определение радиуса и интервала сходимости степенного ряда.

Зафиксируем некоторое значение x и запишем ряд из модулей членов степенного ряда

an x x0 n . Это – знакоположительный числовой ряд. Применим к нему признак

n 0

Даламбера или радикальный признак Коши.

Применяя признак Даламбера, имеем

lim

an 1

x x0

n 1

x x

lim

an 1

1.

Отсюда

x x

1

.

n

an

x x0

n

0

n

an

0

limn

an 1

an

Поэтому R lim

an

.

n

an 1

Применяя радикальный признак Коши, имеем

1

1

x x0

limn n

an

1,

x x0

,

R

.

limn n

an

limn n

an

Так определяется радиус сходимости степенного ряда.

Затем исследуется сходимость ряда на границе интервала сходимости, в точках

x x0 R, x x0 R. Эти точки подставляются в исходный ряд, ряд становится обычным числовым рядом и исследуется стандартными методами для числовых рядов.

( 1)n (x 3)n

Пример.

.

n 5

n

n 1

| ( 1)n ||(x 3)n |

x 3

n

Составим ряд из модулей

, применим радикальный

n 5

n

n 5

n

n 1

n 1

признак Коши limn

x 3

1,

x 3

5.

5n

n

62

Радиус сходимости R=5, интервал сходимости (-2, 8). Исследуем сходимость ряда на границе, подставляя точки x= -2, в исходный ряд.

		1 n 5 n						1
В точке x = -2 имеем ряд									- гармонический ряд, он расходится.
		n5		n				n
n 1						n 1
	1 n 5 n						( 1)n
В точке x = 8 имеем ряд										- сходящийся (по признаку Лейбница)
		n5	n					n
n 1						n 1

знакочередующийся ряд.

Область сходимости исходного ряда (-2, 8].

Теорема. Степенной ряд равномерно сходится внутри интервала сходимости.

Доказательство. Пусть					x x0				R1 R.								Выберем R2 : R1 R2			R, например
R			1	R R . На интервале			x x						x	x			R		и в точке x1 степенной ряд сходится
	2	2		1					0				1		0			2

абсолютно, так как этот интервал лежит внутри интервала сходимости. Тогда (точно

так

же,

как

в

доказательстве

теоремы

Абеля

оценим

(x x0 )n

x x0

n

a

(x x

)n

a

(x x

)n

a

(x x

)n

qn ,

n

n (x1 x0 )n

n

0

1

0

1

0

x x

n

R1

1

0

R1

не зависит от x).

где q

1в области

x x

0

R

R

2

x

x

0

n N (

R2

1

1

R2

Тогда в области x x0 R1 степенной ряд будет сходиться равномерно по признаку

Вейерштрасса (члены ряда мажорируются членами бесконечно убывающей геометрической прогрессии).

Следствие. Внутри интервала сходимости справедливы теоремы о непрерывности суммы ряда, о почленном интегрировании и дифференцировании ряда.

Теорема. При почленном дифференцировании и интегрировании степенного ряда его радиус сходимости не меняется.

Доказательство. Рассмотрим ряд из модулей членов степенного ряда (это – знакоположительный числовой ряд в конкретной точке) и определим радиус сходимости по признаку Даламбера.

limn

an 1

x x0

n 1

x x0

lim

an 1

1 R

1

.

an

x x0

n

an

limn

an 1

an

Продифференцируем почленно степенной ряд nan x x0 n , перейдем к ряду из

n 1

модулей и найдем радиус сходимости по признаку Даламбера.

63

limn

n 1

an 1

x x0

n 1

x x0

lim

an 1

1 R

1

.

n

an

x x0

n

an

limn

an 1

an

Таким образом, при почленном дифференцировании радиус сходимости степенного ряда не меняется. Он не меняется и при почленном интегрировании, иначе он изменился бы при почленном дифференцировании.

Лекция 15. Ряд Тейлора.

Ряд Тейлора.

			n	x0
Рядом Тейлора называется степенной ряд вида		f			x x0 n (предполагается,
	n 0		n!
что функция f x является бесконечно дифференцируемой).							0
						n
Рядом Маклорена называется ряд Тейлора при x0	0, то есть ряд					f		xn .
					n 0	n!
Теорема. Степенной ряд является рядом Тейлора для своей суммы.
Доказательство. Пусть f x an x x0 n и степенной ряд сходится							в интервале

n 0

xx0 R . Подставим в разложение x x0 , получим f x0 a0 .

Так как степенной ряд сходится равномерно внутри интервала сходимости, мы можем его дифференцировать почленно. Полученный ряд будет сходиться в том же интервале, так как радиус сходимости при дифференцировании не меняется. Его вновь можно дифференцировать почленно и т.д. Вычислим коэффициенты в степенных рядах, полученных почленным дифференцированием. f x0 =a1 ,

								f x0
	f x n n 1 an x x0 n 2 , f x0	21a2 , a2							,
	n 2					2!				f x0
	f x n n 1 n 2 an x x0 n 3 ,	f x0		3 21a3 , a3							,
										3!
	n 3			x
			f (n)		0
	Продолжая этот процесс, получим	an					. Это – коэффициенты ряда Тейлора.
			n!
	Поэтому степенной ряд есть ряд Тейлора.

Следствие. Разложение функции в степенной ряд единственно.

Доказательство. По предыдущей теореме коэффициенты разложения функции в степенной ряд определяются однозначно, поэтому разложение функции в степенной ряд единственно.

Разложение в ряд Маклорена основных элементарных функций.

Запишем разложения в ряд Маклорена основных элементарных функций, вычисляя

			f (n) x	0			x0 0.
коэффициенты разложения по формуле	an					, где
			n!

64

x

2

x

n

n

ex 1 x

...

...

x

n!

2!

n 0 n!

x

3

n

x2n 1

n

x2n 1

sin x

x

... 1

... 1

3!

(2n 1)!

(2n 1)!

n 0

x

2

n

x2n

n x2n

cosx 1

... 1

... 1

2!

(2n)!

(2n)!

n 0

x

3

x

2n 1

x

2n 1

shx x

...

...

(2n 1)!

(2n 1)!

3!

n 0

x

2

x

2n

x

2n

chx 1

...

...

(2n)!

(2n)!

2!

n 0

1

1 x x2 ... 1 n xn ,

x

1.

1 x

x2

n 0

n 1 xn

n 1 xn

ln 1 x x

... 1

... 1

, ( 1 x 1) (интегрируя предыдущую

2

n

n

n 1

формулу)

1

1... n 1

1... n 1

1 x 1 x

x2 ...

xn ... 1

xn ...

2!

n!

n 1

n!

x 1, R \ N .

Пусть записано разложение функции в степенной ряд. Возникает вопрос, всегда ли это разложение (степенной ряд) сходится именно к этой функции, а не к какой-либо другой.

Теорема. Для того чтобы ряд Тейлора сходился к той функции, по которой он построен, необходимо и достаточно, чтобы остаточный член формулы Тейлора стремился к нулю при n .

Доказательство. Запишем формулу Тейлора, известную из 1 семестра

f (x) f (x0 ) f x0 (x x0 )	f x0	(x x0 )2	...	f (n) (x0 )	(x x0 )n Rn
	2!
				n!

Необходимость. Обозначим Sn – частичную сумму ряда Тейлора .

Sn f (x0 ) f x0 (x x0 )	f x0	(x x0 )2 ...	f (n) (x0 )	(x x0 )n .
	2!
			n!

Если ряд Тейлора сходится к f (x), то limn ( f (x) Sn ) 0. Но по формуле Тейлора f (x) Sn Rn . Следовательно, limn Rn 0.

Достаточность. Если limn Rn 0, то limn ( f (x) Sn ) 0, а Sn - частичная сумма ряда Тейлора. Поэтому ряд Тейлора сходится именно к функции f (x).

Теорема. Пусть все производные функции f (x) ограничены в совокупности одной

константой. ( f n (x) L, n) Тогда ряд Тейлора сходится к функции f (x).

Доказательство. Оценим остаточный член формулы Тейлора

65

f n ( )

x x

0

n 1

L

x x0

n 1

0, так как

показательная функция растет

(n 1)!

(n 1)!

n

медленнее, чем n!.

Поэтому (по предыдущей теореме)

ряд Тейлора сходится к функции

f(x).

Вкачестве примера применения теоремы рассмотрим разложение в ряд Маклорена функций sin x, cos x. Эти ряды сходятся к функциям, так как их производные ограничены в совокупности единицей на всей оси.

Вразложении функции ex на отрезке [a, b] все производные функции ограничены константой eb, поэтому ряд для функции ex сходится к ней на любом конечном отрезке.

Ряды для функций sh x, ch x можно получить линейной комбинацией экспонент, следовательно, ряды для этих функций сходятся к ним на всей оси.

Рассмотрим разложение в ряд функции 1 x . Предположим, что ряд сходится к

функции	S(x). Можно, дифференцируя ряд	почленно, установить справедливость
		в качестве упражнения). Решая это
соотношения 1 x S (x) S(x) (выведите его

дифференциальное уравнение, получим S(x) (1 x) .

Применение степенных рядов.

1. Вычисление значений функций

Пример. Вычислить arctg 0.3 с точностью 0.01.

x	dx			x	3		x	5		x	7			(0.3)	3		(0.3)	5
arctg x			x									...	arctg0.3 0.3						...
	1 x	2
0			3			5			7				3			5

По следствию из признака Лейбница остаток числового знакочередующегося ряда оценивается модулем первого отброшенного члена.

Rn (0.3)n 1 0,01. Из этого неравенства найдем n, n=2. arctg 0.3 0,3. n 1

Если разложение – знакопостоянный ряд, то надо подобрать какой-либо мажорантный ряд с известной суммой, например, оценить сверху члены ряда членами бесконечно убывающей геометрической прогрессии и оценку суммы ряда проводить по сумме прогрессии.

2. Вычисление интегралов.

															0.3					1
Пример. Вычислить																					dx с точностью 0,01
																			1 x
															0.1
	1							1 x x2 x3...
1 x
0.3 1									dx x	x2				x3						...0.3		0.3 (0.3)2 (0.3)3		... 0,1 (0.1)2 (0.1)3 ...
	1 x
									2						3					|0.1
0.1
			R1n					(0.3)n 1 ,					R2n				(0.1)n 1,						(0.3)n 1 0.1 n 1	0.01
n 3,									0.3 4 0.1 4							0.0082 0.01

66

0.3

1 dx 0.3 (0.3)2 (0.3)3 ... 0,1 (0.1)2 (0.1)3 ... 0,146

0.11 x

3. Решение дифференциальных уравнений.

Пример. y y2 x, y 0 1

1 способ. Представим y(x) в виде степенного ряда с неопределенными

коэффициентами до xn (n – заранее определено). Это разложение подставляется в левую и правую часть, и приравниваются коэффициенты при равных степенях x. Решается система алгебраических уравнений, и определяются коэффициенты.

y(x) a0 a1x a2 x2 a3x3 a4 x4 a5 x5 , y 0 a0 1.

Разложение проводится по степеням (x - x0), если начальные условия заданы в точке x0. В данном уравнении производится разложение в ряд Маклорена, так как начальное

условие задано в нуле.

Заметим, что при дифференцировании степень понижается на единицу, поэтому чтобы

найти a1,..an точно, в разложении нужно запасать члены до степени n k																																									включительно, где
k – порядок дифференциального уравнения.
				2a2 x			3a3x				2	4a4 x				3	5a5x			4		.
y (x) a1
Подставляем разложения в правую и левую части уравнения y y2																																									x.
a 2a		2	x 3a		3	x2	4a	4		x3		5a	5	x4				= . (a	0		a x a						2	x2 a					3	x3 a	4		x4		a	5	x5 ) x
1																								1
a2	a2 x2			a2 x4			2a		a x 2a						a		2	x2 2a				0	a	3	x3	2a			0	a	4	x4		2a a		2		x3	2a a			3	x4 x.
0	1			2			0				1		0																					1							1

Удерживаем в разложении члены четвертых степеней.

1a1 a02 1

x2a2 2a0a1 1

x	2	3a	3	a						2	2a					0	a				2
									1
x	3	4a			4		2a							a	3	2a a											2
												0													1
x	4	5a			5		a					2 2a							0			a		4	2a a							3
												2																		1
Отсюда a								1 a											1, a												1		, a						2		,		a						7
						0										1											2				2					3		3						4				12
y(x) 1 x											x2					2				x			3				7			x	4
											2					3										12
2 способ. Представим y(x)																														в виде ряда Тейлора.
																							y								2				y							3			y		1V	(0)				4
																									(0)													(0)
y(x) y(0) y (0)x																													x												x										x		...
																									2!													3!									4!
y(0) 1
y				2		(x) x,																								2	(0) 0 1
	(x) y															y						(0) y
y									1,																2 1 1
	(x) 2yy														y		(0)
y										2															y
	(x) 2 y											2yy								,							(0) 4
y	1V																						2yy										y		1V			(0) 4 2 8 14
		(x) 4y y										2y y																		,

67

y(x) 1 x 1 x2 2 x3 7 x4. 2 3 12

Содержание

Часть1 Кратные, криволинейные интегралы, теория поля

Лекция 1	Двойной интеграл..		2
Лекция 2.	Приложения двойного интеграла	.	6
Лекция 3.	Тройной интеграл	.	10
Лекция 4.	Приложения тройного интеграла		13
Лекция 5.	Криволинейные интегралы 1 и 2 рода, их свойства		15
Лекция 6.	Формула Грина		20
Лекция 7	Поверхностный интеграл.		26
Лекция 8	Приложения определенного интеграла.		30
Лекция 9	Формула Стокса		35
	Часть 2 Числовые и функциональные ряды.
Лекция 10.	Числовые ряды и их свойства		42
Лекция 11.	Знакоположительные ряды		44
Лекция 12.	Знакопеременные ряды		51
Лекция 13.	Функциональные ряды		56
Лекция 14.	Степенные ряды		60
Лекция 15.	Ряд Тейлора		63