1. Предмет вычислительной математики. Элементы теории погрешностей

Следует сразу оговориться, что изучаемый предмет правильнее называть «Методы вычислений», поскольку возникающие вопросы имеют не только математический, но и практический (инженерный) характер.

1.1. Проблемы и их разрешение

Как известно любому, кто изучал основы математики, существует много задач, получить решение которых в аналитическом виде не удается, например, решить уравнение , найти первообразную функции и т. п.

Но для моделирования реальных, интересных с точки зрения практики процессов нужно уметь решать задачи, существенно более сложные.

Какими средствами мы обладаем кроме аналитического аппарата математики? Как известно, сейчас имеются компьютеры, которые по своим возможностям (миллионы и более операций в секунду) во много раз превосходят вычислительные способности человека. Но надо учесть, что эти операции суть не что иное, как четыре арифметических действия и простейшие логические функции. То есть, компьютер - это очень мощный арифмометр. Но если речь идет о вычислении интегралов и трансцендентных функций, то эти операции не сводятся к конечному числу арифметических операций.

Таким образом, необходимо научиться решать задачи, которые решить нельзя, причем на оборудовании, которое принципиально для этого непригодно.

Так парадоксально ставится проблема.

Чтобы разобраться, в чем причина возникшего тупика, необходим небольшой экскурс в историю.

В свое время «изобретение» иррационального числа имело глобальное значение для дальнейшего развития математики. Понятия предела, производной и интеграла остаются основой современной математики. Невозможно представить нашу цивилизацию без авиации, космонавтики, высоких технологий, развитие которых не могло бы иметь места без математического моделирования, базирующегося на дифференциальном и интегральном исчислении.

Эти понятия стали настолько естественными не только для «чистого» математика, но и для любого человека, имеющего дело с математическими моделями, что идеальность, надуманность, противоестественность, этих понятий часто забывается.

Ограниченность ресурсов (по времени, по памяти, по разрядности и по надежности), с которой приходится сталкиваться любому, кто применяет для исследований реальные приборы и технику, входит в противоречие с этой идеальностью. На самом деле, число  можно только вообразить, поскольку для записи его бесконечного количества цифр нужно бесконечное время, бесконечная память, бесконечная разрядность сопроцессора (чтобы иметь возможность производить арифметические операции) и идеальная надежность (чтобы не ошибиться в записи цифр).

Итак, в реальности не существует ни иррациональных чисел, ни пределов, ни производных, ни интегралов.

Но, необходимо заметить, что не существует только абсолютно точных, идеальных величин. Приближенно можно представить и практически получить буквально все.

В этом и состоит разрешение парадокса: в отказе от идеальности.

Приобретаем мы при этом огромные возможности: использовать компьютер, решать очень сложные задачи, причем даже в реальном масштабе времени (моделировать процессы во время их исполнения).

Что же мы от этого теряем?

Неточность, приближенность получаемых результатов не противоречит практическим потребностям, поскольку все числа, которые мы используем практически, имеют свои допуска, пределы возможной неточности. Поэтому точное знание используемых чисел для практических целей и не нужно.

Потерей является всеобщность, универсальность аналитических решений (нужно лишь подставить нужные числа в полученную формулу). Численные решения всегда частные, и сколько бы их ни было, нерешенных вариантов остается бесконечно много. И это остается предметом дальнейших размышлений.

Расплатой за приобретенные возможности также является появление новой реальности - погрешности, которой не было при точном решении.

Под абсолютной погрешностью в дальнейшем будем понимать разность

, (1.1.1)

где x – приближенное значение, x* – точное значение.

Под относительной погрешностью будем понимать отношение

.

В зависимости от способа вычислений погрешности искажают результат в большей или в меньшей степени. С этим обстоятельством необходимо считаться, так как при нерациональной организации вычислений можно получить абсурдные результаты. Приведем простой пример.

Пример. Пусть нужно решить систему двух линейных уравнений:

Первый вариант. Исключая x₁ из первого уравнения: x₁=10⁷x₂-10⁷, и подставляя это выражение во второе уравнение, получаем x₂=(10⁷+4)/(10⁷+2).

Проведя вычисления с семью значащими цифрами (что типично для большинства компьютеров при работе в режиме с одинарной точностью), получим x₂=1.000000, x₁=0.000000, что совершенно неверно, как видно из второго уравнения.

Второй вариант. Исключая x₁ из второго уравнения: x₁=4-2x₂, получаем для x₂ формулу x₂=(1+4*10^-7)/(1+2*10^-7). После вычислений получаем x₂=1.000000, x₁=2.000000 – правильное с точностью до шести знаков решение.

Это значит, что все дальнейшие разработки методов решения задач должны обязательно сопровождаться разработкой методов оценки погрешности, например, в виде

, (1.1.2)

где x – вычисленное приближенное значение, x* – неизвестное точное значение,  - числовая оценка погрешности.

Любое полученное число должно сопровождаться указанием диапазона неопределенности, например, x=1.2450.002. Применяемая часто запись типа x=1.245 без явного указания погрешности может означать только то, что погрешность этого числа не выше, чем единица последнего приведенного разряда.

Следует помнить, что приближенное значение без оценки погрешности не имеет смысла. На самом деле, если нас не интересует оценка погрешности, то не может интересовать и само полученное значение. И сам расчет теряет всякий смысл. Любую скалярную величину можно тогда считать равной, хотя бы, единице. Или миллиону.

Таким образом, необходимо более подробно изучить эту возникшую сущность - погрешность. Рассмотрим сначала источники возникновения погрешностей.