МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

УЧРЕЖНЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ

«ПОЛЕССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра информационных технологий и интеллектуальных систем

Реферат

по дисциплине

«Высшая математика»

На тему:

«Производная и ее применение в химии и физике»

Выполнила:

Студентка 1 курса, группы 22БХ-1

Николайчук Карина Викторовна

Проверил:

Доцент, к. с.-х. н.

Минюк Ольга Николаевна

Пинск 2022

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ 6

Глава 1. История появления предела функции 7

Предел функции - это понятие на интуитивном уровне использовалось ещё во второй половине 17 века английским физиком, математиком и астрономом Исааком Ньютоном (1642 - 1727). 7

Рисунок 1. Иисак Ньютон 7

При создании дифференциального и интегрального исчислений математики XVII века (и, прежде всего, Ньютон) также явно или неявно использовали понятие предельного перехода. Впервые определение понятия предела было введено в работе Валлиса «Арифметика бесконечных величин» (XVII век), однако исторически это понятие не лежало в основе дифференциального и интегрального исчислений. 7

Лишь в XIX веке в работах Коши теория пределов была использована для строгого обоснования математического анализа. Коши дал общее определение предела в описательной форме: «Если значения, последовательно приписываемые одной и той же переменной, неограниченно приближаются к фиксированному значению, так что в конце концов отличаются от него сколь угодно мало, то последнее называют пределом всех остальных». 7

Также математиками 18 века - швейцарским, немецким и русским математиком Леонардом Эйлером (1707 - 1783) и французским математиком, астрономом и механиком Жозефом Луи Лагранжем (1736 - 1813). 7

8

Рисунок 2. Леонард Эйлер Рисунок 3. Жозеф Луи Лагранж 8

Это было связано с тем, что ученые того времени не ставили перед собой задачу построения теории пределов. 8

Первые строгие определения предела последовательности дали в 1816 году чешский математик, философ, теолог Бернард Больцано (1781 - 1848) и французский математик Огустен Луи Коши (1789 - 1857) в 1821 году. 8

Рисунок 4. Бернард Больцано Рисунок 5. Огустен Луи Коши 9

Глава 2. Виды пределов 10

2.1 ВИДЫ ПРЕДЕЛОВ 10

2.2 ПРАВИЛА РЕШЕНИЯ ПРЕДЕЛОВ 10

Глава 3. Определение предела функции 11

3.1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ 11

Предел функции – величина, к которой стремится значение данной функции при стремлении ее аргумента к предельной для области определения точке. 11

Определение: 11

Функция f(x) имеет предел L в точке x0, если для всех значений x, достаточно близких к x0, значение f(x) близко к L. 11

11

Любой предел состоит из трех частей: 11

Глава 4. Применение пределов в биологии и химии 12

4.1 ПРЕДЕЛЫ В БИОЛОГИИ 12

Пусть зависимость между числом особей популяции микрooрганизмов у и временем t её размножения задана уравнением: y  pt. Пусть ∆t - промежуток времени от некоторого начального значения t до t  t . Тогда y  y  pt  t - новое значение численности популяции, соoтветствующее моменту t  t , а ∆y + p(t + ∆t) - p(t ) - изменение числа особей организмoв. 12

P=xʹ(t), где x(t) – численность в момент времени 12

P(t) – скорость изменения популяции 12

P(t0) – относительный прирост в данный момент 12

Пример: 12

Пусть популяция бактерий в момент t (с) насчитывает x(t) особей. Найти скорость роста популяции: 12

а) в произвольный момент t, 12

б) в момент t = 1 c. 12

Решение: 12

P = x’(t) = 200t; 12

P(1) = 200 (с). 12

Ответ: 200 с. 12

4.2 ПРЕДЕЛЫ В ХИМИИ 13

Химия изучает свойства веществ и их зависимость от условий - температуры, давления, концентрации. Поэтому химикам часто приходится исследовать функции одной или нескольких переменных. 13

Скорость химической реакции показывает, насколько быстро увеличивается количество продуктов реакции и уменьшается количество исходных веществ (реагентов). Она обычно определяется как производная от концентрации продуктов по времени. 13

13

Одни реакции проходят практически мгновенно, другие идут очень медленно. В реальной жизни для решения производственных задач, в медицинской, сельскохозяйственной и химической промышленности важно знать скорости реакций химических веществ. 13

Пусть дана функция m  mt, где m - количество некоторогоo вещества, вступившегоo в химическую реакцию в момент времени t. Приращению времени ∆t будет соответствовать приращение ∆m величины m. Отношение ∆m/∆t- есть средняя скорость химической реакции за промежуток времени ∆t. Предел этого отношения при стремлении ∆t к нулю - есть скорость химической реакции в данный момент времени: vt  p t. 13

Пример: 13

Пусть количество вещества, вступившего в химическую реакцию 13

задается зависимостью: р(t) = t2/2 + 3t –3 (моль). 13

Найти скорость химической реакции через 3 секунды. 13

Решение: 13

v (t) = p ‘(t); 13

v (t) = t + 3; 13

v (3) = 3+3 = 6. 13

Ответ: 6 моль\с. 13

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 14

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 15