ЭАиТЧ Бунина А.В. ПР 2 ИБ-01б

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное образовательное

учреждение высшего образования

«Юго-Западный государственный университет»

Практическая работа №2

По дисциплине «Элементы алгебры и теории чисел»

Вариант №6

Выполнил: Бунина А.В.

студент группы ИБ-01б

Проверил: Добрица В.П.

профессор

Курск, 2021

Задание 1. Найти все простые числа между числами 200, 240:

Для того чтобы найти простые числа между числами 200, 240 нужно совершить несколько шагов.

200	201	202	203	204	205	206	207	208	209	210
211	212	213	214	215	216	217	218	219	220	221
222	223	224	225	226	227	228	229	230	231	232
232	233	234	235	236	237	238	239	240

Шаг 1: из диапазона чисел убираем числа, что делятся на 2 без остатка:

	201		203		205		207		209
211		213		215	216	217		219		221
	223		225		227		229		231
	233		235		237		239

Шаг 2: из диапазона чисел убираем числа, что делятся на 3 без остатка:

			203		205				209
211				215		217				221
	223				227		229
	233		235				239

Шаг 3: из диапазона чисел убираем числа, что делятся на 5 без остатка:

			203						209
211						217				221
	223				227		229
	233						239

Шаг 4: из диапазона чисел убираем числа, что делятся на 7 без остатка:

									209
211										221
	223				227		229
	233						239

Шаг 5: из диапазона чисел убираем числа, что делятся на 11 без остатка:

211										221
	223				227		229
	233						239

Шаг 6: из диапазона чисел убираем числа, что делятся на 13 без остатка:

211
	223				227		229
	233						239

Шаг 7: из диапазона чисел убираем числа, что делятся на 17 без остатка:

	223				227		229
	233						239

Все простые числа между числами 200, 240: 223, 227, 229, 233, 239.

(А почему для следующего простого числа не проводили проверку? До какого простого числа надо проверять делимость?)

Ответ: если первое оставшееся число превышает [  ], то работу прекращаем, поскольку все отобранные и оставшиеся числа являются простыми. В нашем случае  . Окончательно имеем следующие простые числа 223, 227, 229, 233, 239.

Задание 2. Разложить на простые множители: n!=16!

При помощи формулы , где при делении целая часть равна 0. Вычислим вхождение числа 2: (Целая часть обозначается так [x]!)

Вычислим вхождение числа 3:

Вычислим вхождение числа 5:

Вычислим вхождение числа 7:

Вычислим вхождение числа 11:

Вычислим вхождение числа 13:

Ответ: 16! = 2¹⁵*3⁶*5³*7²*11*13

Исправление:

При помощи формулы , где [ будет равен 0. Вычислим вхождение числа 2:

Вычислим вхождение числа 3:

Вычислим вхождение числа 5:

Вычислим вхождение числа 7:

Вычислим вхождение числа 11:

Вычислим вхождение числа 13:

Ответ: 16! = 2¹⁵*3⁶*5³*7²*11*13

Задание 3. Выясните, являются ли число простым или составным: 1001.

Составное число – натуральное число, больше 1, не являющееся простым. Простые числа – это такие числа, которые имеют только два делителя: один из них единица, а другое - само число.

Все делители числа 1 001:

1, 7, 11, 13, 77, 91, 143, 1 001.

Всего делителей: 8. Число является составным, так как число имеет больше одного делителя. (Уточните определение простого числа.)

Исправление:

Всего делителей: 8. Число является составным, так как число 1 001 имеет больше двух делителей (один из них единица, а другое - само число).

Задание 4. Найти высшие степени чисел 2, 3, 5, 7, 11, 13, на которые делится число n!=26!

При помощи формулы , где при делении целая часть равна 0. Вычислим вхождение числа 2:

Вычислим вхождение числа 3:

Вычислим вхождение числа 5:

Вычислим вхождение числа 7:

Вычислим вхождение числа 11:

Вычислим вхождение числа 13:

Ответ: 2²³, 3¹⁰, 5⁶, 7³, 11², 13².

Исправление:

При помощи формулы , где [ будет равен 0. Вычислим вхождение числа 2:

Вычислим вхождение числа 3:

Вычислим вхождение числа 5:

Вычислим вхождение числа 7:

Вычислим вхождение числа 11:

Вычислим вхождение числа 13:

Ответ: 2²³, 3¹⁰, 5⁶, 7³, 11², 13².

Задание 5. Представить в канонической форме число a = 2024013.

Каноническое разложение натурального числа:

где p1, …, ps — различные между собой простые, k1, …, ks — натуральные числа.

2024013	3
674671	19
35509	35509
1

2024013 = 3*19*35509.

(Как можно подтвердить простоту числа 35509?)

Ответ:

1 способ: посмотреть по списку простых чисел

2 способ: найдем и округлим до целого числа, получаем 188. На интервале от 2 до 188, найдем все простые числа. Всего 42 простых чисел с 2 по 188: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181.

Производим расчет, поделив число 35509 на полученные выше значения:

Ни один полученный делитель не делит число 35509 нацело, что указывает на то, что данное число является простым.