ЭАиТЧ Бунина А.В. ПР 4 ИБ-01б

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное образовательное

учреждение высшего образования

«Юго-Западный государственный университет»

Практическая работа №4

По дисциплине «Элементы алгебры и теории чисел»

Вариант №6

Выполнил: Бунина А.В.

студент группы ИБ-01б

Проверил: Добрица В.П.

профессор

Курск, 2021

Задание 1. Разложите простую дробь в правильную цепную дробь и найдите все ее подходящие дроби, если равно: -

Таким образом, исходную дробь можно представить в виде следующей цепной дроби:

Найдем все подходящие дроби, используя следующие формулы:

Выпишем соответствующие подходящие дроби:

(Здесь удобнее пользоваться таблицей вычисления подходящих дробей, где первая строка – неполные частные, вторая – числитель, третья – знаменатель подходящей дроби. В соответствии с формулами заполнять ее легко!)

Таблица вычисления подходящих дробей для [-1;1,3,10,1,1,2]:

		-1	1	3	10	1	1	2
	1	-1	0	-1	-10	-11	-21	-53
	0	?	1	4	41	45	86	217

(Почему пустая клетка? Как получена 4?)

Таблица вычисления подходящих дробей для [-1;1,3,10,1,1,2]:

		-1	1	3	10	1	1	2
	1	-1	0	-1	-10	-11	-21	-53
	0	1	1	4	41	45	86	217

Теорема. Для любой подходящей дроби А_k к цепной дроби (l) имеет место равенство

, где .

Числа P_k и Q_k, называются соответственно числителем и знаменателем k-й подходящей дроби. Формулы дают удобный способ для последовательного вычисления числителей P_k и знаменателей Q_k подходящих дробей. При этом вычисление удобно проводить запись в виде таблицы.

					…
	1				…
	0	1			…

. . .

(А где же подходящие дроби?)

Выпишем соответствующие подходящие дроби:

Задание 2. Сократить следующую дробь, пользуясь ее разложением в цепную дробь:

Исходную дробь можно представить в виде следующей цепной дроби:

=

Ответ:

(См. предыдущее замечание.)

Таблица вычисления подходящих дробей для [0;4,2,4,1,1,6]:

		0	4	2	4	1	1	6
	1	0	1	2	9	11	20	131
	0	1	4	9	40	49	89	583

(И где ответ?)

Ответ:

Задание 3. Найти значение несократимой дроби по значению цепной дроби:

Найдем подходящие дроби, используя формулы:

Значит:

(См. сделанное замечание.)

Таблица вычисления подходящих дробей для [-3;1,2,1,1,5]:

		-3	1	2	1	1	5
	1	-2	-2	-7	-9	-16	-9
	0	1	1	3	4	7	39

(Вы принципиально не даете ответа? И как это согласуется с Вашими предыдущими вычислениями?)

Таблица вычисления подходящих дробей для [-3;1,2,1,1,5]:

		-3	1	2	1	1	5
	1	-2	-2	-7	-9	-16	-89
	0	1	1	3	4	7	39

Представим данное выражение в виде цепной дроби:

Преобразуем данную дробь:

Ответ: значение несократимой дроби

Задание 4. Разложить в цепную дробь и заменить подходящей дробью , если k= 6:

Разложим в цепную дробь

Между подходящими дробями и самой дробью имеют место соотношения:

< < <…< < <

Используя формулы (1) составим подходящие дроби:

При k=6 подходящая дробь имеет вид (

(А здесь особенно удобна та таблица.)

Таблица вычисления подходящих дробей для [-1;1,1,4,2,1,2]:

		-1	1	1	4	2	1	2
	1	-1	0	-1	-4	-7	-11	-35
	0	1	1	2	9	20	29	78

Задание 5. Для задания № 1 с помощью подходящих дробей найти приближение к дроби с точностью до 0.001

Для оценки погрешности при замене дроби = подходящей дробью используется формула:

Данное условие выполняется при k=3, поскольку = 41, = 45.

Следовательно, .

Получим, .

(Используйте таблицу для вычислений.)

Таблица вычисления подходящих дробей для [-1;1,3,10,1,1,2]:

		-1	1	3	10	1	1	2
	1	1	0	-1	-10	-11	-21	-53
	0	1	1	4	41	45	86	217

Ответ: .