ЭАиТЧ Бунина А.В. ПР 7 ИБ-01б

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное образовательное

учреждение высшего образования

«Юго-Западный государственный университет»

Практическая работа №7

По дисциплине «Элементы алгебры и теории чисел»

Вариант №6

Выполнил: Бунина А.В.

студент группы ИБ-01б

Проверил: Добрица В.П.

профессор

Курск, 2021

Задание 1. Заменить число a наименьшим по абсолютной величине вычетом, а также наименьшим положительным вычетом по модулю m: а = 84, m = 9.

Так как 84 = 8·10 + 3 (Как такое равенство может быть?) и наименьшие по абсолютной величине вычеты по модулю 9 принимают значения от –4 до 3 (А сколько элементов должно быть в полной системе вычетов? Дайте определение полных систем вычетов.) (или от –3 до 4), а наименьшие положительные вычеты – от 1 до 8, то наименьший по абсолютной величине вычет по модулю 8, соответствующий числу 84 равен –4 (или 4, в зависимости от выбора системы наименьших по абсолютной величине вычетов), а наименьший положительный вычет по модулю 8, соответствующий числу 84, равен 4. (Это зачем?)

Исправление:

Полная система наименьших по абсолютной величине по модулю m при нечётном m имеет вид: .

Полная система наименьших неотрицательных вычетов по модулю m имеет вид: (0, 1, … m – 1).

Так как 84 = 8·10 + 4 и наименьшие по абсолютной величине вычеты по модулю 9 принимают значения от –4 до 4. (А ну ка разделите 84 на 9!)

(Так надо было делить с остатком в соответствии с теоремой.)

Исправление:

Совокупность чисел, сравнимых с a по модулю m называется классом чисел по модулю m (или классом эквивалентности). Все числа одного класса имеют вид mt + r при фиксированном r.

При заданном m, r может принимать значения от 0 до m—1, т.е. всего существует m классов чисел по модулю m, и любое целое число попадет в один из классов по модулю m.

Любое число класса [r]_m называется вычетом по модулю m по отношению ко всем числам того же класса. Число, равное остатку r, называется наименьшим неотрицательным вычетом.

Вычет, наименьший по абсолютной величине, называется абсолютно наименьшим вычетом.

Возьмет модуль m=8(Это модуль, а не остаток.) (т.к. при заданном m, r может принимать значения от 0 до m—1). Разделим a=84 на m=8 с остатком: 84 = 8·10 + 4(Но у Вас модуль 9!)

Абсолютно наименьший вычет можно отыскать, вычислив , и сравнив абсолютные величины значит абсолютно наименьший вычет числа 84 по модулю 8 являются числа от -4 до 4.

Исправление:

Абсолютно наименьший вычет можно отыскать, вычислив , и сравнив абсолютные величины значит абсолютно наименьший вычет числа 84 по модулю 9 являются число 3.

Наименьшие положительные вычеты – от 1 до 8, а наименьший по абсолютной величине вычет по модулю 9, соответствующий числу 84 равен –4.

(Сравните с данным ВАМИ выше определением.)

Полная система наименьших по абсолютной величине по m = 9 при нечётном m имеет вид: .

Полная система наименьших неотрицательных вычетов по m = 9 имеет вид: 0,1,2,3,4,5,6,7,8.

(Но в условии идет речь о наименьших положительных вычетах.)

Среди полных систем вычетов по данному модулю выделяют: полную систему наименьших неотрицательных вычетов, т.е. совокупность чисел 0, 1, 2, …, m-1, полную систему наименьших положительных вычетов. т.е. совокупность чисел 1, 2, …, m, полную систему абсолютно наименьших вычетов, т.е. совокупность чисел 0, ±1, ±2, …, ± при нечетном m и при четном m. (Но число элементов в последовательности m+1, а не m. Как быть?)

Извините я не понимаю:

Допустим, m=6, то

Допустим, m=14, то

Число элементов в последовательности равно m.

Полная система наименьших положительных вычетов по m = 9 имеет вид: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. (И здесь чисел 10, а не 9!)

Полная система наименьших положительных вычетов по m = 9 имеет вид: 1,2,3,4,5,6,7,8,9.

Задание 2. Записать полную систему наименьших неотрицательных и наименьших по абсолютной величине вычетов по модулю m = 9.

Исправление опечатки: (m=29)

Полная система наименьших неотрицательных вычетов по модулю m имеет вид: (0, 1, … m – 1)

Следовательно, при m = 9 получим систему: (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10, 11, 12, 13, 14, 15,16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28). (Вы уверены?)

Полная система наименьших по абсолютной величине по модулю m при нечётном m имеет вид:

Следовательно, при m = 29 получим систему (Так какой у Вас модуль?)

(–14, –13, –12, –11, –10, –9, –8, – 7, –6, –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14).

Исправление: Полная система наименьших неотрицательных вычетов по модулю m имеет вид: (0, 1, … m – 1)

Следовательно, полная система наименьших неотрицательных вычетов по m = 29 имеет вид: (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10, 11, 12, 13, 14, 15,16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28).

Полная система наименьших по абсолютной величине по модулю m при нечётном m имеет вид:

(А какой вид имеет эта система при четном модуле?)

Ответ: Полная система наименьших по абсолютной величине по модулю m при чётном m имеет вид:

(Элементов получается m+1, а не m.)

Извините я не понимаю:

Допустим, m=6, то

Допустим, m=14, то

Число элементов в последовательности равно m.

Следовательно, при m = 29 получим систему: (–14, –13, –12, –11, –10, –9, –8, – 7, –6, –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14).

Задание 3. Проверить, образуют ли числа (a1, a2, ..., an) полную систему вычетов по модулю m = 5: (–15, 11, 12, 18, 19)

Найдём остатки от деления данных чисел на 5:

Следовательно, эти числа лежат в разных классах вычетов по модулю 5.

Так как количество этих чисел равно 5, то данная совокупность чисел образует полную систему вычетов по модулю 5.

Задание 4. Проверить, образуют ли числа (a1, a2, ..., an) приведённую систему вычетов по модулю m = 42: (1, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 37, 41)

Так как каждое из этих чисел положительно и меньше 42, то остаток от деления каждого из данных чисел на 42 равен делимому числу.

При этом, ни одно из этих чисел не делится на 2, 3 или 7, а поэтому данные числа взаимно просты с числом 42 = 2∙3∙7 и содержатся в разных классах вычетов по модулю 42. Так как их число равно то данная совокупность чисел образует приведённую систему вычетов по модулю 42. (А что за функция ?)

Ответ: сделаем проверку полученных данных. Разложим число 42 на простые множители:

. Подставим в формулу :

. Таким образом мы видим, что в массиве чисел 12 элементов, как и было дано.

(Вы не ответили на поставленный вопрос.)

Функция Эйлера (a) – это количество чисел из ряда 0, 1, 2,..., a–1, взаимно простых с a.

(Дайте определение приведенной системы вычетов.)

Ответ: Приведённая система вычетов по модулю m — множество всех чисел полной системы вычетов по модулю m, взаимно простых с m. В качестве приведённой системы вычетов по модулю m обычно берутся взаимно простые с m числа от 1 до m — 1.

Задание 5. Сколько элементов входит в приведенную систему вычетов по модулю на m = 9.

Так как в приведённую систему вычетов по модулю m входит φ(m) элементов, и то при m = 9 приведённая система вычетов содержит 6 элементов.