Виды распределений случайных величин
Лекция 3 по Теории вероятностей и математической статистике
Многие распределения связаны со с.в., возникающими в схеме Бернулли.
Схема Бернулли – это последовательность n однородных независимых
испытаний, каждое из которых может иметь только два исхода: событие А и A
причемP( A) p, P( A) q 1 p.
Наступление события A называется успехом в схеме Бернулли.
Например: подбрасывание игральной кости n раз, событие А={ выпадение 3 очков}, событие A ={не выпадение 3 очков}.
Дискретные с.в.
1.Биномиальное распределение (распределение Бернулли). X B(n, p)
Случайная величина X – число успехов в схеме Бернулли имеет биномиальное распределение с законом:
P( X m) Cnm pmqn m , |
m |
|
, |
0 p 1 |
0, n |
||||
MX np DX npq |
|
|
|
|
2. Геометрическое распределение.
Случайная величина X – число испытаний до первого успеха в схеме Бернулли имеет геометрическое распределение с законом:
P( X m) |
qm 1 p, m 1, 2,3..., |
0 p 1 |
MX 1 p |
DX q p2 |
|
3. Распределение Пуассона (закон редких событий). X ( )
Является предельным для биномиального распределения.
Случайная величина X – число успехов в схеме Бернулли, в которой n , p 0, np const
имеет распределение Пуассона с законом:
P( X m) |
me |
, m 0,1, 2... |
|
m! |
|||
|
|
MX DX
4. Полиномиальное распределение (мультиномиальное).
Встречается при обобщении схемы Бернулли на большее число исходов,
т.е. при последовательностях n однородных независимых испытаний, |
|||||||||||||
каждое из которых может иметь k исходов: |
A1,..., Ak |
|
|
|
|||||||||
с вероятностями |
|
p1 |
P( A1),..., pk |
P( Ak ), |
p1 ... pk 1 |
|
|
||||||
Многомерная случайная величина |
X ( X1 |
,..., Xk ) |
– число наступлений |
||||||||||
Каждого из возможных исходов в данной схеме имеет полиномиальное |
|||||||||||||
распределение с законом: |
n! |
|
|
|
|
|
|
||||||
P( X |
|
m ,..., X |
|
m ) |
|
|
pm1 ... pmk , |
m ... m |
|
n |
|||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
1 |
k |
|
k |
m ! ... m ! 1 |
k |
1 |
k |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
k |
|
|
|
|
|
5.Распределение Паскаля (отрицательное биномиальное).
Является обобщением геометрического распределения.
Случайная величина X – число испытаний до r-го успеха в схеме Бернулли имеет распределение Паскаля с законом:
P( X m) Сrr m1 1 pr qm |
m 0,1, 2..., |
0 p 1, |
r 0 целое |
При r=1 получим геометрическое распределение. |
|
||
Если r – не целое, то распределение называется отрицательным биномиальным.
MX rq
p DX rq
p2
6. Гипергеометрическое распределение.
Встречается в задачах о выборке без возвращения n элементов из множества N элементов, в котором M элементов обладают некоторым свойством.
Случайная величина X – число элементов в выборке, обладающих некоторым свойством, имеет гипергеометрическое распределение с
законом: |
m |
n m |
|
|
|
|
P( X m) СM |
СN M , |
m 0, M |
||||
|
||||||
MX nM N |
CNn |
|
|
|
||
DX nM (N M )(N n) N 2 (N 1) |
||||||
Непрерывные с.в.
1.Равномерное распределение X R(a,b)
Если нет информации о наиболее или наименее вероятных значениях с.в., то она полагается равномерно распределенной с плотностью
распределения: |
|
1 |
, x [a,b] |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
||
|
pX (x) b |
|
||
|
|
|
|
|
|
0,else |
|||
MX (a b) 2 |
DX (b a)2 12 |
|||
2. Экспоненциальное распределение (показательное) X ex( )
Моделирует время между двумя последовательными совершениями одного и того же события:
e x , x 0, 0 pX (x) 0, else
MX 1 DX 1 2
3. Распределение Лапласа (двустороннее показательное)
c |
MX a DX 2 c2 |
pX (x) 2 e c|x a| , c 0 |
Например, распределение изменений сигнала при переходе к соседней
4. |
Распределение Рэлея |
|
|
|
|
||||||||||
|
Используется, например, для описания амплитудных флуктуаций |
||||||||||||||
|
радиосигнала. |
|
|
|
|
|
|
MX |
|
|
|
||||
|
|
|
x |
|
|
|
2 2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
, x 0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
pX (x) 2 |
|
|
|
|
|
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||
|
|
|
0, |
|
|
else |
|
DX |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
Нормальное распределение (Гауссовское) |
X N(m, 2 ) |
||||||||||||||
|
Одно из наиболее распространенных распределений имеет плотность: |
||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
x m 2 |
|
|
|
|
||
|
pX (x) |
|
|
|
e 2 2 |
, 0 |
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
MX m |
DX 2 |
|
|
|||
Если m 0, 1, то нормальное распределение |
стандартным. |
|||||
Функцию распределения стандартного нормального закона имеет вид: |
||||||
|
|
1 |
x |
t2 |
|
|
(x) |
|
e |
2 dt |
(x) ( x) 1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
|
|
|
|
Невозможно найти аналитическое выражение для этого интеграла.
Функция распределения для произвольного нормального закона имеет вид:
|
|
1 |
|
x |
|
(t m)2 |
x m |
|
1 |
x m |
||||||
FX (x) |
|
|
e |
|
|
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
2 |
|
dt |
|
|
|
|
0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
x |
|
t2 |
|
|
|
|
|
|
|
Где 0 (x) |
|
|
|
e |
2 dt - функция Лапласа, значения которой |
|||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
2 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
можно найти в специальных таблицах. Свойства функции Лапласа:
1.0 ( x) 0 (x)
2.0 ( ) 0.5, 0 (0) 0
Вероятность попадания в интервал:
b |
|
P(a X b) |
|
|
|
m |
a |
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
0 |
|
|
|
m |
a |
|
|
0 |
|
|
|
|
P( |
|
X m |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||
|
|
) P( m X m) 2 0 |
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P( X m 3 ) 2 0 3 0.9973
То есть практически достоверно, что все значения нормально распределенной с.в. лежат в интервале (m 3 , m 3 )
Этот факт носит название «правило трех сигм»