Двумерные случайные величины (Системы случайных величин, случайные векторы)
Лекция 4 по Теории вероятностей и математической статистике
Опр. Пусть X ,Y - с.в., заданные на вероятностном пространстве
( ,U, P). Каждому элементарному событию эти с.в. cтавят в соответствие двумерный вектор ( X ( ),Y ( )). Отображение
( X ,Y ) R2
задаваемое с.в. ( X ,Y ), называется двумерной случайной величиной (случайным вектором, системой с.в.).
Т.е. каждому элементарному событию ставится в соответствие не одно число, а пара чисел. Например, координаты частицы на плоскости, оценки студента по различным дисциплинам.
Замечание. Элементарному событию можно поставить в соответствие любое количество чисел, тогда получим
многомерную случайную величину:
X ( X1 ,..., Xn ) Rn
Многомерные с.в. можно характеризовать также, как и одномерные.
Опр. Совместной функцией распределения двумерной с.в.
( X ,Y ) |
(или двумерной функцией распределения |
|
случайного вектора) называется функция: |
||
F (x, y) P( X x,Y y) (x, y) R2 |
|
|
XY |
|
|
Геометрическая |
интерпретация: |
FXY (x, y) показывает |
вероятность попадания в случайный угол.
Тогда вероятность попадания в прямоугольную область B вычисляется как:
P(a1 X b1,a2 Y b2 ) FXY (b1,b2 ) FXY (a1,b2 ) FXY (b1,a2 ) FXY (a1, a2 )
Аналогично можно вычислить вероятность попадания в произвольную область.
Двумерная с.в., как и одномерная может быть дискретной и непрерывной.
Свойства функции распределения FXY (x, y) :
1. |
FXY (x, y) - монотонно неубывающая, непрерывная слева |
|
|
функция, т.к. если x2 x1, FXY (x2 , y) FXY (x1, y), |
|
|
|
y2 y1, FXY (x, y2 ) FXY (x, y1), |
2. |
0 FXY (x, y) 1 |
|
3. |
lim FXY (x, y) 0, |
lim FXY (x, y) 1, |
|
x |
x |
|
y |
y |
4. |
lim FXY (x, y) FX (x, ) FX (x), |
|
|
y |
|
xlim FXY (x, y) FY ( , y) FY ( y),
Помимо функции распределения дискретные с.в. характеризуются законом распределения вероятностей, а непрерывные с.в. – плотностью распределения вероятностей.
Закон распределения вероятностей
Опр. Рассмотрим дискретную двумерную с.в. (X,Y), которая может принимать значения X x1, , xn , Y y1, , ym.
Тогда закон распределения вероятностей указывает совместную вероятность каждой возможной пары значений:
|
P( X xi ,Y y j ) pij , |
i |
1, n |
, |
j |
1, m |
|
|
|
|
|
|
||||||||
причем |
|
n |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pij 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
i 1 |
j 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi \ y j |
|
|
y1 |
|
………….. |
|
|
|
yj |
|
………….. |
|
ym |
|
m |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pij |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x |
|
|
p |
|
………….. |
|
|
|
p1 j |
|
………….. |
|
p1m |
|
j 1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|||||||||
|
1 |
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
p |
|
|
|
|
|
pij |
|
|
|
|
|
p |
|
p |
|
|
|
|
|
i1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
im |
|
i |
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
pn1 |
|
|
|
|
|
pnj |
|
|
|
|
|
pnm |
|
pn |
|
|
|
n n |
|
|
p1 |
|
|
|
|
|
pj |
|
|
|
|
|
pm |
|
1 |
|
|
|
pij |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
i 1
Плотность распределения вероятностей
Опр. Плотностью распределения вероятностей |
|||
непрерывной двумерной случайной величины (X,Y) называется |
|||
функция pXY (x, y) 0, |
т.ч. |
||
или P(( X ,Y ) B) pXY (x, y)dxdy |
|||
|
|
B |
|
|
2 F (x, y) |
|
|
Таким образом |
|
||
pXY (x, y) |
|
XY |
FXY (x, y) |
|
|
|
|
x y
xy
FXY (x, y) pXY (t1,t2 )dt1dt2
Покажем эквивалентность этих определений. С.в. (X,Y) можно интерпретировать как точку с координатами (x,y). Рассмотрим прямоугольную область, примыкающую к этой точке
P(( X ,Y ) R ) FXY (x x, y y) FXY (x x, y) FXY (x, y y) FXY (x, y)
lim P(( X ,Y ) R )
x y
lim |
FX (x x, y y) FXY (x x, y) FXY (x, y y) FXY (x, y) |
|
|
x y |
|||
x 0 |
|
||
y 0 |
|
|
2 FXY (x, y)
x y
Свойства совместной плотности распределения pXY (x, y)
1. |
Неотрицательность: pXY (x, y) 0 x, y |
|
||
2. Нормированность: |
|
|
|
|
3. |
lim pXY (x, y) 0 |
pXY (x, y)dxdy 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
x, y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pX (x) pXY (x, y)dy, pY ( y) pXY (x, y)dx |
|
||
|
|
Независимость с.в. |
|
|
|
|
|
|
|
Опр. С.в. X,Y называются независимыми, если |
||||
Следствие. |
|
|
тогда, когда |
|
Дискретные(x, y)с.вR. независимыF (x, y) Fтогда(x)Fи(толькоy) |
||||
|
2 |
|
|
|
|
XY |
X |
Y |
|
Непрерывные с.в. Независимы тогда и только тогда, когда
P( X xi ,Y y j ) P( X xi )P(Y y j ) |
i, j |
|||
p |
XY |
(x, y) p |
(x) p ( y) (x, y) R2 |
|
|
X |
Y |
|
|
Моменты двух с.в.
Характеризуют связь двух с.в.
Ковариация
Опр. Ковариацией p с.в. X, Y называется смешанный центральный момент 2-ого порядка, т.е.:
cov( X ,Y ) M ( X MX )(Y MY) M ( XY ) MX MY
D( X Y ) M |
(X MX ) (Y MY ) 2 M X Y M (X Y ) 2 |
||
|
2 |
2 |
|
M ( X MX ) |
|
2( X MX )(Y MY ) (Y MY ) |
|
M ( X MX )2 |
2M ( X MX )(Y MY ) M (Y MY )2 |
||
Ковариация является мерой линейной зависимости между с.в., |
|||
DX DY 2cov( X ,Y ) |
|
||
т.е. |
|
тогда и только тогда, когда с.в. линейно |
|
зависимы. |
|
|
|
Размерность ковариации совпадает с произведением |
|||
cov( X ,Y ) |
0 |
|
|
размерностей с.в. |
|
||
Свойства ковариации cov( X ,Y ) :
1. cov( X ,Y ) cov(Y, X ) 23.. cov(cX ,Y ) ccov( X ,Y )
4. cov(c X ,Y ) cov( X ,Y ) 5. cov( X , X ) DX
6. Если с.в. |
- независимы, то |
|
cov( X ,Y ) DX DY |
|
|
(обратное неверно!) |
cov( X ,Y ) 0 |
|
X ,Y |
|
|