2 курс ОАУ(ТАУ) [препод. Петунин В.И.] / Лекции / 2 (1)

2.МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ САУ

2.1.Особенности характеристик соединений нелинейных звеньев

Внелинейных системах преобразование сигнала описывается в общем случае дифференциальным или интегральным нелинейным уравнением и может быть выражено некоторым оператором

преобразования . Если входной сигнал x(t), а выходной z(t), то

В зависимости от характера нелинейности и от динамических свойств звена оператор может выражаться достаточно сложно. В отдельных случаях преобразование сигнала нелинейным звеном может быть представлено в виде последовательного воздействия линейного оператора W(p), выражающего динамические свойства звена, и нелинейного оператора f , выражающего статическое преобразование сигнала. Такое представление соответствует эквивалентной схеме, состоящей из последовательного соединения линейного динамического и нелинейного статического звеньев.

В зависимости от последовательности действия линейного и нелинейного операторов имеет место различное преобразование сигнала. Так, если

то в общем случае

z2(t) z1(t).

Здесь L и L 1 – прямое и обратное преобразования Лапласа. Эквивалентные схемы, соответствующие двум видам

преобразования, показаны на рис. 2.1, а, б.

Так как z2(t) z1(t), то при последовательном соединении нелинейного статического и линейного динамического звеньев их перестановка недопустима. Исключение представляет звено запаздывания τ, для которого W(p) e pτ и

33

и перенос звена запаздывания через нелинейное статическое звено f (x) не изменяет свойств рассматриваемой системы.

в

Рис. 2.1

Для записи решения уравнения (2.1) относительно переменной

При рассмотрении статики нелинейных систем сигналы x и z не зависят от времени, а линейное звено может рассматриваться как пропорциональное и объединяться с нелинейным статическим звеном.

34

При выводе эквивалентных характеристик различных соединений нелинейных статических звеньев исходят из трех видов соединений: а) последовательного, б) параллельного согласного, в) параллельного встречного.

2.2. Статические характеристики последовательного соединения нелинейных звеньев

При последовательном соединении нелинейных звеньев выходная величина одного звена является входной величиной другого.

Рис. 2.2

При последовательном соединении n звеньев (рис. 2.2) для каждого соединения

Решая совместно, n нелинейных уравнений вида (2.7) получим для последовательного соединения n звеньев следующую нелинейную функцию, выражающую характеристику z(x) zn(x):

n 1

z(x) fn{fn 1 [ f1(x)]}. (2.8)

Определение общей характеристики z(x) может быть сведено к проведенному n 1 раз нахождению эквивалентных характеристик двух последовательно соединенных звеньев и определенно z2(x1),

z3(x1) и т. д. до zn(x1).

Нахождение результирующей характеристики двух или трех последовательно соединенных звеньев удобно находить с помощью метода четырех квадрантов. Исходные характеристики располагаются в первом, втором и третьем квадрантах, а результирующая характеристика получается в четвертом квадранте.

35

оказываются различными. В первом случае они совпадают со

Рис. 2.4

Пример 2.2. В последовательном соединении нелинейного звена с однозначной характеристикой, интегрирующего звена и звена типа «упор» (рис. 2.5, а) необходимо два нелинейных звена привести к одному нелинейному звену.

Решение. Такая задача может быть решена, если ввести понятие звена, характеристика которого выражает связь не только между сигналами, но и между их производными или интегралами по времени. Заменяя звено z(x) на рис. 2.5, а схемой, изображенной на рис. 2.5, б учитывая, что соединенные последовательно интегрирующее и дифференцирующее звенья взаимно компенсируются, получим эквивалентную схему, показанную на рис. 2.5, в. Здесь нелинейные звенья x(γ) и z(x,z) соединены последовательно и могут быть заменены одним нелинейным звеном с характеристикой z(γ,z), показанным на риc. 2.5, г.

37

Построение характеристики z(γ,z) выполнено на рис. 2.6.

а

б

в

г

Рис. 2.5

Рис. 2.6

38

Взаимно обратные звенья. При последовательном соединении двух нелинейных звеньев с характеристиками f и f 1 может оказаться, что результирующая характеристика получается линейной, а коэффициент усиления системы равен единице. Два нелинейных звена, последовательное соединение которых образует пропорциональное звено с единичным коэффициентом усиления, называются взаимно обратными.

Для двух взаимно обратных нелинейных звеньев c

характеристики системы, т. е. для них выполняется принцип коммутативности и

характеристик, не имеющих горизонтальных или вертикальных участков.

Пример 2.3. Найти характеристику нелинейного звена z1 f1(x1), которое необходимо включить последовательно с звеном типа «люфт» z2 f2(x2) для того, чтобы результирующая характеристика последовательного соединения была линейной и выражалась прямой z2(x1) x1.

Решение. Для этого из построения известных характеристик z2 f2(x2) и z2(x1) x1 (рис. 2.7) обратным путем можно найти требуемую характеристику z1 f1(x1). Из приведенного на чертеже построения видно, что для выполнения условия z2(x1) x1 необходимо, чтобы две характеристики z1 f1(x1) и z2 f2(x2) в двух квадрантах координат x1, z1 x2, z2 представляли собой кривые, зеркально симметричные относительно оcи z1 x2.

39

Из рассмотрения участка характеристики (рис. 2.9, д) при x xa2 видно, что если k1 k2, то наклон характеристики равен нулю и она соответствует звену типа «зона нечувствительности с ограничением».

Пример 2.5. Звено с характеристикой z1(x1), полученное в примере 2.3 (см. рис. 2.7), представить в виде параллельного согласного соединения двух более простых типовых звеньев.

Решение. Рассматривая звено типа «упор» с прямоугольной характеристикой, легко заметить, что параллельное соединение этого звена с пропорциональным звеном, имеющим единичный коэффициент усиления, дает звено с требуемой, характеристикой z1(x1).

Взаимно дополнительные звенья. При параллельном согласном соединении двух нелинейных звеньев и соответствующем выборе их характеристик может оказаться, что результирующая характеристика линейна и коэффициент усиления равен единице. Такие два нелинейных звена, параллельное согласное соединение которых образует пропорциональное звено, называют взаимно дополнительными. Оба звена равноценны в этом соединении.

Для двух взаимно дополнительных нелинейных звеньев справедливо равенство:

Из равенства (2.14) следует, что условием взаимной дополнительности характеристик z1 f1(x) и z2 f2(x) является равенство расстояний от этих характеристик по оси z до прямой z x/2 (рис. 2.10). Это условие называется эквидистантностью по оси z относительно прямой z x/2.

42