2 курс ОАУ(ТАУ) [препод. Петунин В.И.] / Лекции / 2

величин является возмущением. Рассмотрим, как изменится уравнение генератора, если, например, учесть непостоянство скорости вращения якоря. В этом случае в систему исходных уравнений генератора вместо уравнения (2.6) надо ввести уравнение

(2.5):

EC Ф.

Сучетом непостоянства скорости Ω это уравнение оказывается нелинейным, поскольку включает в себя произведение переменных

Ωи Ф. Произведя линеаризацию этой нелинейности разложением в ряд Тейлора, получим следующее линейное уравнение для приращений переменных:

dE				dE
E
						Ф CФ0 C 0 Ф C C Ф, (2.12)
d 0			dФ 0

где C CФ0;C C 0.

Подставив уравнение (2.12) в систему (2.9) вместо уравненияE С Ф и исключив, как и прежде, промежуточные переменные, получим следующее уравнение генератора вместо ранее выведенного уравнения (2.10):

		Rн	(Tв p 1) U kв1 Uв (Tв p 1)kc1 ,	(2.13)
где kc1 R		R
			С .
	a	н

Если перейти к относительным единицам, уравнение (2.13) примет вид:

				(Tв p 1)u kв2uв (Tв p 1)kc2ω,			(2.14)
где ω		;	kc2	kc1	0	.
	0				U0

На рис. 2.6 показано соответствующее изображение данного звена в структурной схеме системы.

Если учесть еще одно возмущение – изменение сопротивления нагрузки генератора Rн, в правой части уравнения появится соответствующий третий член, а в структурной схеме – третье воздействие.

42

2.3.Преобразование Лапласа. Основные свойства

Вэтом разделе даны основные сведения из преобразования Лапласа, которые будут использованы при рассмотрении систем, описываемых линейными дифференциальными уравнениями.

Прямым преобразованием Лапласа называют соотношение

X(s) x(t)e stdt,

0

ставящее в соответствие функции x(t) вещественного переменного t функцию X(s) комплексного переменного s c jω. При этом x(t) называют оригиналом, а X(s) – изображением по Лапласу. То, что x(t) имеет своим изображением X(s) или оригиналом X(s) является x(t), символически записывается так:

X(s) L{x(t)},

где L – оператор преобразования Лапласа.

Предполагается, что функция x(t), которая подвергается преобразованию Лапласа, обладает следующими свойствами: x(t) определена и кусочно-дифференцируема на всей положительной

числовой полуоси [0, ];	x(t) 0	при t 0; существуют такие
положительные числа M	и c, что | x(t)| Mect | при 0 T .

Функции, обладающие указанными тремя свойствами, часто называют функциями-оригиналами.

Соотношение

	1	σ	0	jω
x(t)				X(s)estds,
	2πj
		σ0		jω

определяющее по известному изображению его оригинал (в точках непрерывности последнего), называют обратным преобразованием Лапласа. В нем интеграл берется вдоль любой прямой Res σ0 c. Обратное преобразование Лапласа можно записать так:

x(t) L 1{X(s)},

где символ L 1 – обратный оператор Лапласа.

В табл. 1.1 приведены выражения изображений Лапласа для некоторых элементарных функций времени.

43

Таблица 1.1

	x(t)		X(s)
1	δ(t)	1
2	1(t)	1
			s
3	t	1
			s2
4	e αt	1
			s α
5	te αt	1
			(s α)2
6	sinβt				β
			s2 β2
7	cosβt				s
			s2 β2

Остановимся на основных свойствах преобразования Лапласа. 1. Свойство линейности. Для любых постоянных α и β

L{αx1(t) βx2(t)} αL{x1(t)} L{x2(t)}.

2. Дифференцирование оригинала. Если производная x(t)

является функцией-оригиналом, т. е. обладает указанными выше тремя свойствами, то

L{x(t)} sX(s) x(0),

где X(s) L{x(t)}; x(0) lim x(t).

x 0

Если n-я производная x(n)(t) является функцией оригиналом, то

L{x(n)(t)} snX(s) sn 1x(0) sn 2x(0) ... x(n 1)(0),

где x(k)(0) lim x(k)(t),	k 0,1, 2, , n 1.
t 0

Если начальные условия нулевые, т. е. x(0) x(0) xn 1(0) 0,

то последняя формула принимает вид:

L{x(n)(t)} snX(s).

44

Таким образом, при нулевых начальных условиях

дифференцированию	оригинала			соответствует		умножение
изображения на s.
3. Интегрирование	оригинала.			Интегрирование		оригинала
сводится к делению изображения на s:
	t			X(s)
	L x(t)dt				.
	0			s

4.Теорема запаздывания. Для любого положительного числа τ

L{x(t )} e s L{x(t)} e s X(s).

5.Теорема о свертке (теорема умножения изображений). Если

x1(t) и x2(t) – оригиналы, а X1(s)	и X2(s) – их изображения, то
t	t
X1(s) X2(s) x1(τ)x2(t τ)dτ x2(τ)x1(t τ)dτ.
0	0
Интеграл правой части равенства называют сверткой функций
x1(t) и x2(t) и обозначают x1(t) x2(t):
t	t
x1(t) x2(t) x1(τ)x2(t τ)dτ x2(τ)x1(t τ)dτ.
0	0
6. Теоремы о предельных значениях. Если x(t) – оригинал,
а X(s) – его изображение, то
lim x(t) x(0) lim sX(s)
t 0	s
и при существовании предела lim x(t) x( )
t
lim x(t) x( ) lim sX(s).
t	s 0

7. Теорема разложения. Если функция X(s) A(s)/B(s) дробно-

рациональная, причем степень полинома числителя меньше степени полинома знаменателя, то ее оригиналом является умноженная на 1(t) функция

l	1		dnk 1		[X(s)(s sk )nk est
x(t)		lim				],	(2.15)
				1
k 1(nk 1)!s sk dsnk
где sk – корни уравнения B(s) 0, а nk – их кратности и l							– число

различных корней. Если все корни уравнения простые, то эта формула разложения принимает вид

45

	n	A(s	k	)		s	t
	x(t)					e k		,	(2.16)
	k 1B (sk )					dB(s)
	где n – степень полинома B(s), B (sk )									.
						ds
										s sk

2.4. Передаточные функции звеньев САУ

При описании автоматических систем управления широко используют символическую операторную форму записи линейных дифференциальных уравнений. Дифференциальное уравнение

линеаризованного звена было записано выше	в виде
Q(p)y(t) R(p)u(t),	(2.17)

где Q(p) – дифференциальный оператор при выходной величине, называется собственным оператором, а R(p) – дифференциальный оператор при входной величине, называется оператором воздействия; p d /dt – оператор дифференцирования.

Другой формой записи математического описания звена является запись с помощью передаточной функции.

Отношение оператора воздействия к собственному оператору

называют передаточной

функцией

или

передаточной

функцией

в операторной форме.

pm k

pm k

p2 k p k

R(p)

k

m

m

2

0

y(t)

W(p)

1

.

Tn 1pn 1

T2 p2

Q(p) Tn pn

T p 1 u(t)

n

n 1

2

1

Используя

запись

дифференциальных

уравнений

в символической

форме

(2.17)

и рассматривая

формально

собственный оператор и оператор воздействия как обычные алгебраические сомножители, передаточную функцию в операторной форме также можно определить как отношение выходной величины к входной.

y(t) W(p)u(t).

Например, с использованием передаточной функции уравнение (2.14) можно представить так:

u Wв(p)uв kc2 ,

где W (p) kв2 .
в	Tв p 1

46

Наряду с передаточной функцией в операторной форме широко используют передаточную функцию в форме изображений Лапласа.

Если ввести изображения по Лапласу входной и выходной величин звена U(s) L{u(t)} и Y(s) L{y(t)}, где s c jω – комплексная переменная, передаточной функцией или передаточной функцией в форме изображений Лапласа называют отношение изображения выходной величины к изображению входной величины при нулевых начальных условиях. Если звено (система) имеет несколько входов, то при определении передаточной функции относительно какой-либо одной входной величины остальные входные величины полагают равными нулю.

Y(s)

R(s)

k

m

sm k

m

sm

k

2

s2

k s k

0

W(s)

1

. (2.18)

U(s)

Q(s) Tnsn Tn 1sn 1 T2s

2 T s 1

n

n 1

2

1

Передаточную функцию в форме изображения Лапласа можно получить из передаточной функции в операторной форме, если в последней сделать подстановку p s. В общем случае это следует из того, что дифференцированию оригинала – символическому умножению оригинала на p – при нулевых начальных условиях соответствует умножение изображения на комплексное число s.

Сходство между передаточными функциями в форме изображения Лапласа и в операторной форме чисто внешнее, и оно имеет место только в случае стационарных звеньев (систем). Если звено является нестационарным, т. е. коэффициенты в (2.17) зависят от времени, формула (2.18) неверна.

Дифференциальное уравнение звена в изображениях Лапласа можно записать

Q(s)Y(s) R(s)U(s).	(2.19)
Используя передаточную функцию (2.18), уравнение звена в
изображениях Лапласа можно представить в виде
Y(s) W(s)U(s).	(2.20)

Это уравнение, как и уравнение (2.19), адекватно исходному дифференциальному уравнению (2.17) только при нулевых начальных условиях. Если начальные условия не равны нулю, то уравнениями (2.19) и (2.20) как математическими описаниями исходного звена пользоваться нельзя.

Очень часто при описании оператора дифференцирования и комплексной переменной преобразования Лапласа используется

47

один и тот же символ p, передаточная функция в этом случае имеет один и тот же вид. Однако необходимо помнить, что символ p при этом имеет различный смысл.

В общем случае звено системы автоматического управления, имеющее n входов, описывается дифференциальным уравнением

n

Q(p)y Ri(p)ui

i 1

или в другом виде

n

yWi(p)ui .

i1

Здесь ui – входные воздействия на звено (i 1, 2, , n); Q(p)

и Ri(p) – полиномы относительно p; Wi(p) Ri(p)/Q(p) – передаточная функция звена для i-го входного воздействия.

Пример 2.2. Дано линейное дифференциальное уравнение звена

a0y(t) a1y(t) a2y(t) b0u(t) b1u(t) c0 f (t).

(2.21)

Необходимо записать для этого звена дифференциальные уравнения в операторной форме и с помощью преобразования Лапласа, а также передаточные функции.

Решение. Используя оператор дифференцирования p, уравнение (2.21) можно записать в виде

a0 p2y(t) a1py(t) a2y(t) b0 pu(t) b1u(t) c0 f (t).

При записи и преобразовании дифференциальных уравнений оператор дифференцирования p можно рассматривать как алгебраический сомножитель, а выражение py(t) – как произведение, не обладающее свойством коммутативности. Учитывая это замечание, перепишем уравнение, вынеся y и u за скобки:

(a	p	2 a	p a	2	)y(t) (b	p b )u(t) c				f (t).		(2.22)
0		1			0		1		0
Введем обозначения					Q(p) a	p	2 a p a	2	,	R (p) b p b ,
					0		1			1	0	1

R2(p) c0. С помощью этих обозначений исходное уравнение можно записать в виде

Q(p)y(t) R1(p)u(t) R2(p) f (t).

(2.23)

Звено, описываемое уравнением (2.22), можно характеризовать двумя передаточными функциями: передаточной функцией W1(p) по

48

входной величине u(t), т. е.

W (p)		R1(p)					b0 p b1				(2.24)
1		Q(p)				a p	2 a p a	2
				0			1
и передаточной функцией W2(p) по входной величине f (t), т. е.
W (p)	R2(p)						c0		.		(2.25)
2		Q(p)				a p	2 a p a	2
				0			1
Используя передаточные функции, уравнение (2.21) запишем
в виде
y(t) W1(p)u(t) W2(p)f (t).											(2.26)
Уравнения (2.22), (2.23) и (2.26) называют											уравнениями

в символической или операторной форме записи.

Найдем передаточные функции в форме изображений Лапласа для рассматриваемого звена, описываемого уравнением (2.21).

Перейдем в обеих частях этого уравнения к изображениям Лапласа:

L{a0y(t) a1y(t) a2y(t)} L{b0u(t) b1u(t) c0 f (t)}.

Используя свойства линейности и дифференцирования оригинала (свойства 1 и 2 преобразования Лапласа), при нулевых начальных условиях получим

(a p2	a	p a	2	)Y(p) (b	p b )U(p) c	0	F(p),	(2.27)
0	1			0	1

где Y(p) L{y(t)}, U(p) L{u(t)}, F(p) L{f (t)}.

Полагая последовательно F(p) 0 и U(p) 0 и определяя каждый раз отношение выходной величины к входной, получим

W (p)		Y(p)								b0 p b1			,		(2.28)
1	U(p)					a p				2 a p a		2
					0						1
W2	(p)		Y(p)								c0			.	(2.29)
			F(p)				a	0	p		2 a p a		2
											1

Сравнивая полученные выражения (2.24), (2.25) и (2.28), (2.29), нетрудно заметить, что передаточные функции в форме изображений Лапласа и операторной форме с точностью до обозначений совпадают.

Используя передаточные функции, уравнение (2.27) в изображениях Лапласа можно записать

Y(p) W1(p)U(p) W2(p)F(p).

(2.30)

Это уравнение, как и уравнение (2.27), адекватно исходному

49

дифференциальному уравнению (2.21) только при нулевых начальных условиях.

Пример	2.3.	Найти	передаточную	функцию
и дифференциальное		уравнение	пассивной электрической цепи
относительно напряжений U1 и U2 (рис. 2.7, а).

	а	Рис. 2.7	б
Решение.	Для	нахождения	передаточных	функций

электрических цепей, подобных изображенной на рис. 2.7, а, удобно воспользоваться операторной формой записи сопротивлений: индуктивного – Z(p) pL, емкостного – Z(p) 1/ pC и активного – Z(p) R, где p d /dt – оператор дифференцирования.

Так как падение напряжения на последовательно соединенных сопротивлениях пропорционально величине сопротивлений, то передаточная функция рассмотренной цепи (рис. 2.7, а) находится как отношение выходного и входного сопротивлений. При этом

Zвх(p) Z1(p) Z2(p);
Тогда		Zвых(p) Z2(p).
W(p)	U2		Zвых(p)		Z2(p)	.
	U1				Z1(p) Z2(p)
			Zвх(p)

Дифференциальное уравнение рассматриваемой электрической цепи относительно напряжений имеет вид

[Z1(p) Z2(p)]U2 Z2(p)U1.

50

Например, для звена, изображенного на рис. 2.7, б, получаем:

Zвх(p)

1

R

1 pRC

;

pC

pC

Zвых(p) R;

W(p)

U2

pRC

Tp

;

U1

1 pRC

Tp 1

(Tp 1)U2 TpU1,

где T RC – постоянная времени.

Данное звено является реальным дифференцирующим звеном.

Пример 2.4. Вывести уравнение динамики и определить передаточную функцию аналогового вычислительного устройства на основе операционного усилителя (рис. 2.8).

Рис. 2.8

Решение. Усилитель предполагается идеальным: его входное сопротивление между зажимами 1–0 бесконечно велико, а выходное напряжение U2 не зависит от нагрузки. Последнее означает, что внутреннее сопротивление усилителя между зажимами 2–0 принимается равным нулю.

Для узла 1 справедливо следующее соотношение токов

I1 I2 Iоу.

Так как операционный усилитель имеет большое входное сопротивление, то Iоу 0. Тогда

I1 I2

или

U1 U0 U0 U2 . Z1(p) Z2(p)

51