2 курс ОАУ(ТАУ) [препод. Петунин В.И.] / Лекции / 4 (1)

зоны

B

характеристики

( X )

ее величина фиксируется на уровне

B	и поэтому перестает действовать корректирующая гибкая обратная

связь.

Возможные автоколебания в нелинейной системе определяются из условия наличия мнимых корней у характеристического уравнения, соответствующего дифференциальным уравнениям (4.39) и (4.40). Если по-прежнему воспользоваться критерием Гурвица, то это условие сведется к равенству

n−1 = a1a2 − a0a3 = 0,	(4.44)
составленному из коэффициентов многочлена	(4.39). Отсюда

получаем уравнение, определяющее условия появления

автоколебаний и совпадающее с уравнением (4.43), но с заменой

kд

на

kг

( X	m	)

:

	1			T		+ T
kу =					у			д
	T		k		( X			)T
				г
							m	у
	д

+ kо.с. (1	+

k	k	г	( X	m	))
	о.с.

.

(4.45)

Из уравнения (4.45) можно, задаваясь

найти вначале величину	kг , а затем
соответствующее значение	амплитуды

значениями		kо.с. и	k у ,
из	(4.36)	определить
X m	автоколебаний.		В

соответствии с (4.36)

данных значениях

k

автоколебания, очевидно, будут возможны при

о.с.

и

k у

только в случае, если найденная

величина коэффициента

kг

будет лежать в пределах от

kд

до 0. В

противном случае автоколебания в системе при взятых значениях

kо.с. и k	у оказываются невозможными.
Из	(4.45) видим, что при	k у →	амплитуда		X m →		и,
наоборот, чем меньше коэффициент передачи				k у ,		тем	при
неизменном значении kо.с. будет меньше и амплитуда				X m		возможных

автоколебаний. Нас интересует граница автоколебаний в плоскости коэффициентов kо.с. и k у . Она определяет для каждого значения kо.с.,

то минимальное, т. е. критическое значение

k у

, при котором еще

удовлетворяется уравнение (4.45) с учетом (4.36) и при переходе за

которое в сторону меньших k у решение (4.45) при

0 kг kд

отсутствует и, следовательно, автоколебания в системе уже невозможны.

101

Для нахождения указанного минимального значения

k у

надо

приравнять к нулю производную

dkу

/

dX

m

, определив ее из (4.45) с

учетом (4.36). Однако поскольку

k	у	=	dk	у		dk
X			dk			dX
	m			г

г m

(4.46)

и производная dkг / dX m на рассматриваемом нелинейном участке

зависимости	kг ( X m ) ,	т. е. при	X m b , везде	отлична от нуля.
Искомое значение k у		находится	из равенства	нулю производной

dk	у	/ dk	г

определяемой по (4.45). В результате получаем:

T

2

k

о.с.

k

у.мин

=

1

+

1

+

д

T

T

д

у

при

1

T

k

k '

=

1+

д

о.с.

о.с.

k

T

д

у

.

(4.47)

(4.48)

При

k	о.с.	k'	о.с.

минимума

k у

не существует во всем диапазоне

k	г	от 0 до

уменьшении

kд k у

.

Это означает, что при любом

kо.с. k'о.с.

при

вплоть до значения, соответствующего границе

устойчивости линейной системы, амплитуда X m уменьшается до

нуля. Следовательно, при таких малых значениях

kо.с.

граница

автоколебаний совпадает с границей устойчивости линейной

системы. При этом на самой границе амплитуда

X m

автоколебаний

равна нулю. На рис. 4.8. этим участком границы автоколебаний при

kо.с. k'о.с. является линия аб.
Граница автоколебаний при	kо.с. k'о.с., соответствующая

уравнению (4.47), изображена на рис. 4.8. линией бг. Каждой точке этой части границы автоколебаний соответствует своя амплитуда X m

автоколебаний. Она уменьшается с уменьшением k у т. е. по мере приближения к точке б, начиная с которой и ниже X m = 0 .

Область левее границы абг является областью устойчивости в целом. Она оказалась, как мы и предполагали, меньше области устойчивости, найденной при линейном рассмотрении, на области

102

гбв. Последняя, следовательно, представляет собой область устойчивости в малом, но с неустойчивостью в целом.

Полученную картину можно дополнить при необходимости построением в области автоколебаний линий постоянной амплитуды X m . Одна из них показана на рис. 4.8. штрихами. При увеличении

X m

эта линия будет сдвигаться вправо.

Если путем увеличения коэффициента передачи

k у

перевести

систему из области устойчивости через границу автоколебаний на участке аб, в системе возникнут автоколебания, амплитуда которых будет постепенно возрастать от нуля по мере удаления от границы. Такой характер развития автоколебаний называется мягким возбуждением.

При переходе через границу бг уже при бесконечно малом удалении от нее в системе возникают автоколебания конечной амплитуды, величина которой будет тем больше, чем выше система находится от точки б. Такой переход к автоколебаниям называется жестким возбуждением.

Тогда найденная при линейном рассмотрении граница устойчивости абв делится на два принципиально различных участка. Участок аб является безопасной границей устойчивости. Сколь угодно близкий подход к ней, даже небольшой переход за нее вполне допустимы. Участок бв, наоборот, является опасной границей, так как, даже не дойдя до нее, система может перейти к автоколебаниям с большой амплитудой в результате воздействия достаточно большого внешнего возмущения, выводящего скорость двигателя из линейного участка характеристики ( X ) .

Приведенный пример наглядно показывает, насколько недостаточно и опасно ограничиваться при исследовании устойчивости даже линеаризуемых в малом САУ линейным приближением.

Как было ранее отмечено, после определения параметров автоколебаний в системе необходимо проверить их устойчивость, а также убедиться в справедливости гипотезы о том, что линейная часть системы является фильтром нижних частот. Устойчивость автоколебаний в данном случае очевидна исходя из физических

103

соображений и результатов исследования устойчивости в линейном приближении.

Для проверки гипотезы о фильтре надо предварительно найти частоты автоколебаний. Они находятся из уравнения, получаемого приравниванием нулю многочлена D( p) (4.39) после подстановки

p =

jω

.

Выше в данном примере мы использовали критерий Гурвица. С равным успехом можно было бы применить любой другой критерий устойчивости, как было показано ранее.

Мы рассмотрели методику гармонической линеаризации для случая симметричных нелинейностей при отсутствии внешних постоянных воздействий, когда автоколебания отыскиваются в виде

чисто	гармонических колебаний				X = X m sin ωt	без	постоянной
составляющей.
Если к САУ приложено в произвольной точке постоянное
воздействие		F0	оно создает на входе нелинейного звена постоянный
сигнал	X 0	,	и	автоколебания	следует	искать	в виде
X = X 0	+ X m sin ωt .
Если в		этом		случае нелинейное звено имеет симметричную

(нечетную) характеристику, то в результате гармонической линеаризации оно заменяется линейным звеном, приведенным на

рис. 4.3, а

и

описываемым

уравнением

(4.11):

k'

Y = kг0 X 0

+ (kг +

г

p)( X − X 0 ) ,

где

kг0 ,

kг

и

k 'г – функции уже

ω

трех подлежащих определению параметров: X 0 ,

X m и ω .

Для постоянной составляющей автоколебаний получаем

следующее уравнение:

X 0 =Wз0 (0)F0 ,

(4.49)

где

Wз0

(0) =

W

XF

(0)

.

(4.50)

1 + k

г0

( X

m

, ω, X

0

)W

л

(0)

Для гармонической описывается передаточной

где.

Wн ( p) = kг ( X

составляющей система по-прежнему

функцией (4.19):		W ( p) =Wл ( p) Wн ( p) ,
m , ω, X 0 ) +	k'г ( X m , ω, X 0 )		p .	(4.51)
	ω

104

Методика нахождения параметров автоколебаний принципиально прежней с той только разницей, что к

остается

X m и ω

прибавился третий параметр

X 0

и соответственно новое уравнение

(4.49), которое следует решать совместно с прежними уравнениями, определяющими условия существования у характеристического уравнения гармонически линеаризованной системы мнимых корней. Можно рекомендовать следующий порядок решения.

Сначала, используя передаточную функцию (4.19), описанным выше способом, находим X m и ω как функции X 0 , считая X 0 пока

неизвестным варьируемым параметром, т. е. находим зависимости:

X		m	( X			0	);
	ω( X				).
				0

(4.52)

Затем, подставляя эти зависимости в уравнение (4.49), определяем (обычно графически) искомое значение X m . После этого

из (4.52) находим ω .

Если нелинейное звено имеет несимметричную характеристику, то при его гармонической линеаризации нельзя вводить для

постоянной составляющей автоколебаний коэффициент

kг0 .

Поэтому, такое звено следует представлять схемой, изображенной на рис. 4.3, б, и соответственно описывать уравнением (4.10):

где Y0 , kг

и

k 'г

Y= Y0

–функции

+ (k

X 0 ,

+k'г

гω

X m и

p)( X ω .

−

X

0

)

,

Поскольку при таком представлении нелинейного звена оно в явном виде не замыкает систему по постоянной составляющей, для этой составляющей вместо уравнения (4.49) следует пользоваться уравнением

X 0

= −W (0)Y		( X	m	, ω,
л	0

X	) +W
0	FX

(0)F0

,

(4.53)

где	W	FX

системе

– передаточная функция между точками нахождения в

X	0	и F .
		0

Если постоянное внешнее воздействие отсутствует, но характеристика нелинейного звена является несимметричной, автоколебания по-прежнему будут содержать постоянную составляющую. В этом случае уравнение для постоянной составляющей имеет вид:

X 0 = −Wл (0)Y0 ( X m , ω, X 0 ).

(4.54)

105

Это уравнение отличается отсутствием внешнего воздействия

от уравнения (4.53) только

F0 .

4.6. Контрольные вопросы

1.В чем заключается смысл метода гармонической линеаризации?

2.В каких случаях применяют метод гармонической линеаризации?

3.Как выводится гипотеза фильтра?

4.В чем заключается сущность гипотезы фильтра?

5.Что такое коэффициенты гармонической линеаризации?

6.Вывод коэффициентов гармонической линеаризации?

7.Графическое представление коэффициентов гармонической линеаризации?

8.Что такое гармоническая передаточная функция и как она определяется?

9.Какие параметры автоколебаний находят с помощью метода гармонической линеаризации?

10.Нахождение параметров автоколебаний с помощью метода гармонической линеаризации?

11.Анализ устойчивости автоколебаний.

12.Геометрическая интерпретация условий устойчивости автоколебаний.

13.Правила суждения об устойчивости автоколебаний.

106