2 курс ОАУ(ТАУ) [препод. Петунин В.И.] / Лекции / 4

Уравнение асимптотической ЛАЧХ имеет вид

20lgk при ω ω1, L(ω)

20lgk 40lgTω приω ω1,

где ω1 1/T ; 1 – сопрягающая частота. Она получается из (4.8), если под корнем при ω ω1 оставить только единицу, а при ω ω1 –

слагаемое T4ω4. Асимптотическая ЛАЧХ (рис. 4.6, б) при ω ω1 параллельна оси частот, а при ω ω1 имеет наклон 40 дБ/дек.

а

б

	в
	Рис. 4.6
Следует иметь в	виду, что асимптотическая ЛАЧХ (см.
рис. 4.6, б) при малых	значениях коэффициента демпфирования

довольно сильно отличается от точной ЛАЧХ. Точную ЛАЧХ можно

88

построить по асимптотической ЛАЧХ, воспользовавшись кривыми отклонений точных ЛАЧХ от асимптотических (рис. 4.6, в).

Решив дифференциальное уравнение колебательного звена при u(t) 1(t) и нулевых начальных условиях y(0) y(0) 0, найдем переходную функцию

α

2

β

2

αt

h(t) k 1

e

sin(βt 0)

,

β

где

α

ξ

, β

1 ξ

2

,

0

arctg

1 ξ

2

.

T

T

Весовая функция

ξ

k(α2

β2)

w(t) h(t)

αt

sinβt.

e

β

Рис. 4.7

По переходной характеристике (см. рис. 4.7) можно определить параметры колебательного звена следующим образом.

Передаточный коэффициент k определяют по установившемуся значению h( ) переходной функции. Постоянную времени T и коэффициент демпфирования ξ можно найти из уравнений

	βT 2π,	A / A eαTк
	к	1	2
	или		1		A1
	β 2π/T ,	α		ln		,
	к		Tк A2
	где Tк – период колебаний A1	и A2
			– амплитуды двух соседних

колебаний относительно установившегося значения (см. рис. 4.6, в).

89

4.4.2. Консервативное звено. Передаточная функция

W(p)		k		.
		2 p2
T			1

Амплитудно-фазовая частотная характеристика

W(jω)	k	.
1 T2 2

а		б	в
		Рис. 4.8
Фазовая частотная	функция, как это		следует из АФЧХ
(рис. 4.8, а),		0приω 1/T,
(ω)
	πприω 1/T.

Нетрудно выписать выражения для остальных частотных функций:

	U(ω)		k	,V(ω) 0, A(ω)		k	,
		1 T2 2			1 T2 2

L(ω) 20lgk 20lg(1 T2 2).

ЛЧХ приведены на рис. 4.8, б. Уравнение асимптотической ЛАЧХ аналогично соответствующему уравнению колебательного звена.

Переходная функция

h(t) k(1 cosω1t),ω1 1/T .

Переходная характеристика (рис. 4.8, в) представляет собой график гармонических колебаний.

90

4.4.3. Апериодическое звено второго порядка. Передаточную функцию динамического звена второго порядка при ξ 1 можно преобразовать к виду

k

W(p) , (T1p 1)(T2 p 1)

где

T1,2		T				.
	ξ		ξ2 1

Апериодическое звено второго порядка можно представить как последовательное соединение двух апериодических звеньев первого порядка. Оно не относится к числу элементарных звеньев.

4.4.4. Форсирующее звено второго порядка. Форсирующим звеном второго порядка называют звено, которое описывается уравнением

y(t) k(T2 p2 2 Tp 1)u(t)

или, что то же, передаточной функцией

W(p) k(T2 p2 2ξTp 1)

при условии, что 1.

Не представляет трудности получить выражения для частотных и временных функций и построить соответствующие характеристики. Заметим только, что после сопрягающей частоты ЛАЧХ имеет наклон 40 дБ/дек и ЛФЧХ получается зеркальным отражением относительно оси частот ЛФЧХ соответствующего колебательного или консервативного звена. Если 1, то форсирующее звено второго порядка не относится к числу элементарных: его можно представить как последовательное соединение двух форсирующих звеньев первого порядка.

4.5. Реальные дифференцирующее и форсирующее звенья, их частотные и переходные характеристики

4.5.1. Инерционно-дифференцирующее звено. Реальным дифференцирующим звеном или инерционно-дифференцирующим называют звено, которое описывается уравнением

(Tp 1)y(t) kpu(t)

91

или передаточной функцией

W(p) kp . Tp 1

Для такого звена выполняется условие физической реализации n m 1.

Частотные функции этого звена имеют вид

W( jω)

kjω

; U(ω)

kTω2

;

(Tω)2

Tjω 1

1

V(ω)

kω

; A(ω)

kω

;

(Tω)2

1

(Tω)2 1

(ω) π/2 arctgωT ; L(ω) 20lgkω 20lg(Tω)2 1.

Временные функции этого звена имеют вид

h(t)	k	e	t/T	1(t); w(t)	k	δ(t)	k	e	t /T	1(t).
	T				T		T2

Частотные и переходная функции звена приведена на рис. 4.9.

а

б

в

Рис. 4.9

Это звено не относится к числу элементарных звеньев. Его можно представить в виде последовательно соединенных дифференцирующего и инерционного звеньев.

Реальное дифференцирующее звено обладает конечной инерционностью, вследствие чего осуществляемое им дифференцирование не является точным.

4.5.2. Инерционно-форсирующее звено. Реальным форсирующим звеном или инерционно-форсирующим называют звено, которое описывается уравнением

(T2 p 1)y(t) k(T1p 1)u(t)

92

или передаточной функцией

W(p) k(T1p 1). T2 p 1

Для такого звена также выполняется условие физической реализации n m 1.

Существенным параметром этого звена является коэффициент τ T1/T2. Если τ 1, то звено по своим свойствам приближается к инерционному звену. Если же τ 1, то звено – ближе к инерционнодифференцирующему звену.

Частотные функции этого звена имеют вид

W( jω) k T1 jω 1; T2 jω 1

(Tω)2 1

A(ω) k

1

; (ω) arctgTω arctgT ω;

(T ω2) 1

1

2

2

L(ω) 20lgk 10lg[(T ω)2

1] 10lg[(T ω)2

1].

1

2

Временные функции этого звена имеют вид

t

k

t

h(t) k[1 (τ 1)e

T ]1(t); w(t)

(1 τ)e T 1(t) kτδ(t).

T

Переходные функции звеньев приведены на рис. 4.10: а – при

τ 1; б – при τ 1.

а

б

Рис. 4.10

Это звено не относится к числу элементарных звеньев. Его можно представить в виде последовательно соединенных форсирующего и инерционного звеньев.

93

4.6.Особые звенья, их частотные и переходные характеристики

4.6.1.Неминимально-фазовые звенья. Звено называют минимально-фазовым, если все нули и полюса его передаточной функции имеют отрицательные или равные нулю вещественные части. Звено называют неминимально-фазовым, если хотя бы один нуль или полюс его передаточной функции имеет положительную вещественную часть.

Напомним,	что	нулями	передаточной	p,	функции
W(p) R(p)/Q(p), где R(p) и Q(p) –			полиномы от		называют
корни уравнения	R(p) 0,	т. е. такие	значения p,	при	которых

передаточная функция обращается в нуль, а полюсами – корни

уравнения	Q(p) 0, т. е.	такие	значения p,		при	которых
передаточная функция обращается в бесконечность.
Все	рассмотренные	выше	элементарные		звенья	относят
к минимально-фазовым.		Примерами		неминимально-фазовых

элементарных звеньев являются звенья с передаточными функциями:

		W(p) k /(Tp 1),				W(p) k(Tp 1),
	W(p)			k	,	W(p) k(T2 p2 2 Tp 1)
		(T	2 p2	2 Ts 1)

и другие. Для неминимально-фазового звена характерно, что у него сдвиг фазы по модулю больше, чем у минимально-фазового звена, имеющего одинаковую с неминимально-фазовым звеном АЧХ.

На рис. 4.11 приведены ЛЧХ неминимально-фазовых звеньев

с передаточными	функциями	W(p) k /(Tp 1)			(рис. 4.11, а)
и W(p) k(Tp 1)	(рис. 4.11, б).	ЛАЧХ	этих	звеньев совпадают
с ЛАЧХ апериодического (см. рис. 4.4,			б) и	форсирующего (см.

рис. 4.5, б) звеньев. Сдвиг фазы у последних меньше. Фазовые частотные функции апериодического и форсирующего звеньев по абсолютной величине не превышают значения π/2, а фазовые частотные функции соответствующих неминимально-фазовых звеньев достигают по абсолютной величине значения π.

94

а б

Рис. 4.11

4.6.2. Звено чистого запаздывания. К неминимально-фазовым звеньям относят также звено чистого запаздывания, которое описывается уравнением

y(t) ku(t τ)

или передаточной функцией

W(p) ke τp.

Частотная передаточная функция

W( jω) ke jτω k(cosωτ jsinωτ).

а

б

в

Рис. 4.12

Для остальных частотных и временных функций имеем:

U(ω) kcosωτ, V(ω) ksinωτ, A(ω) k, (ω) ωτ,

A(ω) 20lgk, h(t) k1(1 τ), w(t) kδ(t τ).

95

АФЧХ (рис. 4.12, а) – окружность с центром в начале координат и радиусом k. Каждой точке этой характеристики соответствует бесконечное множество значений частот. ЛАЧХ (рис. 4.12, б) совпадает с ЛАЧХ безынерционного звена с передаточным коэффициентом k, ЛФЧХ (рис. 4.12, б) – с графиком функции(ω) τlgω. Переходная характеристика приведена на рис. 4.12, в.

Контрольные вопросы

1.Какие звенья называют типовыми или элементарными звеньями?

2.Какое звено называют интегрирующим?

3.Дайте определение дифференцирующего звена.

4.Приведите ЛАЧХ, ЛФЧХ и переходную характеристику апериодического звена.

5.Как по переходной функции апериодического звена первого порядка определить его параметры?

6.Какой параметр определяет разновидности динамического звена второго порядка?

7.Какой переходный процесс соответствует колебательному

звену?

8.Какой переходный процесс соответствует консервативному

звену?

9.Какой наклон имеют асимптотические ЛАЧХ звеньев нулевого, первого и второго порядков?

10. В чем отличие реальных дифференцирующих

ифорсирующих звеньев от идеальных?

11.Какие звенья относятся к неминимально-фазовым звеньям?

12.Какие характеристики имеет звено чистого запаздывания?

96