2 курс ОАУ(ТАУ) [препод. Петунин В.И.] / Лекции / 6

и m-мерные векторы, а размерность вектора x совпадает с порядком системы n; матрицы A, B и C являются числовыми.

Все составяющие векторов входа и выхода являются конкретными физическими величинами. Вектор же состояния может рассматриваться как некоторая абстрактная характеристика объекта. Физическая природа фазовых координат не является существенной. Координаты xi зависят от выбора базиса n-мерного линейного пространства состояний. Изменение базиса соответствует переходу к новым фазовым координатам xi , но не отражается на входных u и выходных y координатах, описывающих изменение конкретных физических величин.

Структурная схема модели вход-состояние-выход объекта в соответствии с уравнениями состояния (6.19) приведена на рис. 6.3.

Рис. 6.3. Структурная схема модели вход-состояние-выход

6.2.2. Преобразование дифференциальных уравнений к нормальной системе. Дифференциальные уравнения, разрешимые относительно старшей производной, всегда можно привести к нормальной системе. Рассмотрим, как преобразуются уравнения одномерной стационарной линейной системы управления.

Пусть система управления описывается уравнением

(a pn a pn 1

a

n

)y b u.

(6.20)

0

1

0

Введем новые переменные

x1 y; x1 x2; x2

x3; ; xn 1 xn.

(6.21)

Из (6.20) и (6.21) следует

b0

x

n

pny

1

(a x a

2

x

n 1

a

n

x )

u.

(6.22)

a

0

1 n

1

a

0

128

Объединяя (6.21) и (6.22), получим нормальную систему

x2;

x1

x3;

x2

(6.23)

x

n

1

(a x

n

a

2

x

n 1

a

x )

b0

u;

a

1

n

1

a

0

0

y x1,

уравнению

(6.20).

В этом

случае при

эквивалентную исходному

a0 1 получаем следующие матрицы уравнений состояния

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

A

;

B

;

an 1

an 2

an

a1

b0

C 1 0

0

0 .

Используя обозначения (6.21), легко определить решение (6.23), имея решение (6.20), и, наоборот, определить решение (6.20), имея решение (6.23).

Рассмотрим более общий случай, когда система управления описывается уравнением

(a0 pn a1pn 1 an)y

(b	pm b pm 1	b )u,	m n.	(6.24)
0	1	m

Учитывая, что в этом уравнении дифференциальные операторы при выходной и входной величинах и обратные им операторы коммутативны, запишем его в виде

(b0 pm b1pm 1 bm) 1 y (a0 pn a1pn 1 an) 1u x1

или

y (b pm			b pm 1	b		)x ;	(6.25)
0			1	m		1
u (a	0	pn	a pn 1	a	n	)x .	(6.26)
Введем обозначения			1			1
x1 x2; x2 x3; ; xn 1 xn.							(6.27)

129

Учитывая их, из уравнения (6.26) получаем

x

n

1

(a x

n

a

2

x

n 1

a

n

x )

1

u.

a

1

1

a

0

0

Объединяя это уравнение с уравнениями (6.27), получаем нормальную систему

x2;

x1

x3;

x2

(6.28)

x

n

1

(a x

n

a

2

x

n 1

a

n

x )

1

u.

a

1

1

a

0

0

эквивалентную исходному уравнению (6.24). Выходная переменная системы управления и новые переменные связаны соотношением

(6.25)

y b0xm 1 b1xm bmx1.

(6.29)

Обратный переход от уравнений состояния к передаточной матрице объекта осуществляется по формуле

W(p) C(pE A) 1B,

(6.30)

где E – единичная матрица.

Пример 6.3. Рассмотрим переход от уравнений вход-выход и передаточных функций к уравнениям состояния объекта.

Пусть, например, уравнение вход-выход имеет вид

Q(p)y R(p)u,

где Q(p) (p 1)(p 2); R(p) 1; n 2;m 1.

Передаточная функция:

W(p)	R(p)		1	.
			(p 1)(p 2)
	Q(p)

Структурная схема объекта приведена на рис. 6.4.

Рис. 6.4. Структурная схема объекта

Пусть x1 соответствует выходному сигналу первого звена, а x2 –

130

выходному сигналу второго звена. Тогда данный объект может быть описан следующей системой уравнений первого порядка:

		(p 1)x1	u;
		(p 2)x2 x1;
или		y x2,
		x1 x1 u;
		x2 2x2 x1;
		y x2.
Уравнения состояния при этом имеют вид
		x Ax Bu;
где		y Cx,
1		0	1	C 0 1 .
A	1	; B ;
		2	0

Рассмотренный переход к уравнениям состояния не является единственным. Пусть, как и прежде,

Q(p) (p 1)(p 2) p2 3p 1; R(p) 1.

Тогда уравнение объекта имеет вид

(p2 3p 1)y u

или

d2y 3dy 2y u. dt2 dt

Пусть

x1 y; x2 dx1 , dt

тогда уравнение объекта принимает вид:

dx2 3x2 2x1 u dt

и в результате получим следующую систему уравнений первого порядка:

131

dx1 x2; dt

		dx2		3x	2	2x u;
		dt				1
или		y x1,
		x1 x2;
		x2 3x2 2x1 u;
		y x1.
Уравнения сотояния при этом имеют вид:
				x Ax Bu;
где				y Cx,
	0			1		0
A				; B		; C 1 0 .
2			3			1
Переход от уравнений состояния к передаточной функции
объекта осуществляется по формуле
	W(p) C(pE A) 1B.
Пример 6.4. Необходимо получить математические модели
продольного движения		самолета				в виде уравнений «вход-выход»

и уравнений состояния.

Решение. Рассмотрим движение самолета в продольной плоскости, совпадающей с плоскостью его симметрии. Это движение характеризуется следующими угловыми координатами: углом

наклона траектории θ,	образуемым вектором	скорости V
и горизонтальной плоскостью, углом тангажа		(углом между
продольной осью самолета x	и горизонтальной плоскостью) и углом

атаки α, составленным вектором скорости и продольной осью x. Эти углы связаны кинематическим соотношением (см. рис. 1.9):

α θ.

Воздействиями, с помощью которых можно управлять движением самолета, являются изменение положения руля высоты δв и изменение тяги двигателей δр. В качестве выходных координат можно принять величину скорости V и один из углов: или θ.

132

Линеаризованные уравнения движения в проекциях на естественные оси (касательную и нормаль к траектории полета) имеют вид:

(p n11)v n12α n13 nрδр;

n21v (p n22)α (p n23) 0;

n31v (n30 p n32)α (p2 n33p) nвδв .

В данных уравнениях все выходные переменные и управляющие воздействия представлены в относительных отклонениях. Коэффициенты уравнений зависят как от аэродинамических и весовых характеристик самолета, так и от режима полета. При изменении высоты и скорости полета величины коэффициентов изменяются в широких пределах.

Исключая переменные θ и α,	получим систему	уравнений
в форме вход-выход, связывающей	непосредственно	входные
переменные (отклонения тяги δp и руля высоты δв) и выходные
(отклонение скорости полета v и угла тангажа ):
[(p n11)(p n22) n12n21]v [(p n22)n13
(p n23)n12] (p n22)nр р ;

	[(p n )(n					p n ) n n ]v [(p2 n										p)n
		11		30			32		12	31					33	12
	(n30 p n32)n13] (n30 p n32)nр р n12nв в .
Вводя обозначения							v				δр
									u
						y		;				δ	;
													в
								A(p)
(p n11)(p n22) n12n21										(p n22)n13 (p n23)n12									;
(p n )(n			p n ) n n						(n		p n )n				(p2 n p)n
	11	30			31		12	31		30			32	13		33	12
						(p n22)nр							0
			B(p) (n					p n )n					n n		,
							30		32		р		12	в

получаем уравнения «вход-выход»:

A(p)y B(p)u.

Передаточная матрица объекта

	1		1 ~
W(p) A		(p)B(p)		A(p)B(p),

|A(p)|

133

где |A(p)| p4 c	p3 c	2	p2 c p c ; n 4.
1			3	4
Для получения математической модели самолета в виде системы
уравнений первого порядка введем переменные состояния:
	x1 v;		x2 α;	x3 ;	x4 θ.
Кроме того, обозначим:					y2 .
u1 δр;			u2 δв;	y1 v;

Тогда исходные уравнения перепишутся в требуемой форме:

x1 n11x1 n12x2 n13x3 nрu1; x2 n21x1 n22x2 n23x3 x4;

x3 x4;

x4 (n31 n30n21)x1 (n30n22 n32)x2 n30n23x3(n30 n33)x4 nвu2;

y1 x1; y2 x3.

6.3. Управляемость и наблюдаемость

Математическое описание линейной динамической системы может быть выполнено с помощью дифференциальных уравнений «вход-выход», передаточной и весовой матриц, с помощью

уравнений состояния.
Дифференциальные	уравнения	– уравнения	«вход-выход»
и уравнения состояния	полностью	определяют	статические
и динамические свойства	системы	управления.	Передаточные

и весовые матрицы, полученные при нулевых начальных условиях, могут не отражать некоторых динамических особенностей системы. Это становится особенно очевидно при рассмотрении свойств

управляемости и наблюдаемости динамических систем.
Понятия управляемости	и	наблюдаемости	были	введены
и развиты Р. Е. Калманом.
Рассмотрение вопросов	управляемости и		наблюдаемости
в системах управления проще		всего производить,		пользуясь

описанием системы в терминах пространства состояний, т. е. записывая уравнения движения в виде

x Ax Bu;

(6.31)

y Cx.

134

Как уже упоминалось, выбор базиса в пространстве состояний

является произвольным. Смена базиса								~	Tx, где T		– матрица
								x
коэффициентов и |T| 0, приводит к изменению фазовых координат
состояния и соответственно матриц A, B,C. В результате получаем
эквивалентную систему			~		~~		~
			x	Ax			Bu;
					~~
			y Cx,
~	1	~	~		1	.
где A TAT		,B TB,	C CT								~ ~ ~
При некотором базисе может оказаться,
										что матрицы A, B,C
таковы, что	часть входных			сигналов				uj	не	входит в	некоторые

дифференциальные уравнения, либо часть фазовых координат xl не участвует в формировании выхода y. В первом случае система будет не полностью управляемой, а во втором – не полностью наблюдаемой.

Понятие управляемости динамических систем непосредственно связано с выявлением возможности управляющих воздействий u изменить вектор состояния системы x в течение конечного отрезка времени.

Система (6.31) называется полностью управляемой, если она не эквивалентна системе вида

x1 A11x1 A12x2 B1u;

x2	A22x2;		(6.32)
y C1x1 C2x2,
где размерность вектора	x1 равна n , размерность	x	2 равна n ,
	1		2

а n1 n2 n. Другими словами, система полностью управляема, если нельзя указать такой базис, при котором уравнения состояния разбиваются на две группы, так что в уравнения второй группы не входят ни фазовые координаты первой группы, ни входные сигналы u (рис. 6.5).

135

Рис. 6.5

Из (6.32) очевидно, что все фазовые координаты x2j

( j 1, 2, , n2) неуправляемы, так как на них не оказывает действие вход системы u ни непосредственно, ни через остальные координаты x1i (i 1, 2, , n1). Вектор фазовых координат x и матрицы A, B,C при этом имееют клеточную структуру

1		A		A		B			, C C1	C2 .
x x	, A		11	12		, B	1
x2			0	A22			0

Свойство управляемости системы определяется парой матриц

A, B и не зависит от вида матрицы C.
Понятие	наблюдаемости	динамических систем	связано
с возможностью	однозначного	определения начального	состояния

системы x на основе знания реакции системы y на конечном интервале времени.

Система (6.31) называется полностью набдюдаемой, если она не эквивалентна системе вида

x1 A11x1 B1u;

x2	A21x1 A22x2	B2u;	(6.33)
y C1x1,
где размерность вектора	x1 равна n1,	размерность	x2 равна n2,

а n1 n2 n. Другими словами, полностью наблюдаемой является система, для которой нельзя указать базис такой, чтобы фазовые координаты разбились на две группы, причем координаты второй группы x2 не входят ни в уравнения для координат первой группы, ни в алгебраические соотношения для выходных переменных y

(рис. 6.6).

136

Рис. 6.6

Из (6.33) очевидно, что все фазовые координаты x2j

( j 1, 2, , n2) ненаблюдаемы, так как они не оказывают влияния на выход системы y ни непосредственно, ни через остальные координаты x1i (i 1, 2, , n1). Матрицы A, B,C при этом имеют вид

A	A11	0	, B	B1		, C C	0 .
						1
	A21	A22		B2

Свойство наблюдаемости системы определяется парой матриц A,C и не зависит от вида матрицы B.

Для решения вопроса о том, является система полностью управляемой и наблюдаемой или нет, воспользоваться непосредственно определениями, приведенными выше, затруднительно. Ответ на этот вопрос дают критерии управляемости и наблюдаемости, предложенные Р. Е. Калманом и позволяющие судить о свойствах системы без перехода к другим базисам на основе исходной формы записи уравнений (6.31).

Составим из матриц A, B матрицу

U [B AB A2B An 1B]n kn,

(6.34)

имеющей n строк и kn столбцов. Критерий управляемости формулируется следующим образом. Размерность n1 управляемой части равна рангу матрицы U. Как ивестно, ранг матрицы – это наивысший порядок минора матрицы, не равного нулю. Очевидно, что n1 n. Система является полностью управляемой, если ранг матрицы U равен n.

При n1 n система полностью управляема, при 0 n1 n – не полностью управляема и при n1 0 – полностью неуправляема.

Аналогичный критерий имеет место и для свойства наблюдаемости системы. Составим из матриц A,C матрицу

137