2 курс ОАУ(ТАУ) [препод. Петунин В.И.] / Лекции / 9 (1)

чтобы сигнал на выходе начал нарастать задолго до появления импульса на входе. Разумеется, что в физических системах реализация таких процессов, в которых следствие опережает причину, невозможно.

Оптимальная частотная передаточная функция, определяемая (9.11), оказалась физически нереализуемой потому, что в реальных системах всегда существует связь между амплитудно-частотной A(ω)

и фазочастотной

(ω)

характеристиками, которая не была учтена при

выводе формулы (9.11). При выводе (9.11) решались уравнения (9.9) и (9.10), которые, как правило, являются несовместными, т. е. нельзя найти одно решение, одновременно удовлетворяющее обоим этим уравнениям.

Для того чтобы реализовать функцию, наиболее близкую к

оптимальной, необходимо из

Wопт ( jω)

выделить физически

реализуемую часть с полюсами, находящимися в верхней полуплоскости корней, а остальные члены отбросить.

Для этого, пользуясь методикой, предложенной Г. Боде и К. Шенноном, разлагают сначала знаменатель выражения (9.11) на комплексные множители (операция «факторизации»):

S	g	(ω) + S	f

(ω)

=| Ψ(

2	= Ψ(
jω) |

jω)Ψ(−

jω)

,

(9.12)

где

Ψ( jω)

– функция, все нули и полюсы которой лежат в верхней

полуплоскости комплексного переменного jω; Ψ(− jω) – функция,

комплексно сопряженная с

Ψ(

jω)

, все нули и полюсы которой лежат

в нижней полуплоскости комплексного переменного jω . Таким образом

	Wопт ( jω) =	1	S (ω)H ( jω)	.
		Ψ( jω)	Ψ(− jω)

Затем производят разделение Wопт ( jω) на реализуемые и нереализуемые слагаемые (операция «расщепления»):

W	( jω) = R( jω) + N (− jω) =
опт

=	1	S (ω)H ( jω)			+
			Ψ(− jω)
	Ψ( jω)			+

1 Ψ( jω)

S (ω)H ( jω)
	Ψ(− jω)
		−

,

(9.13)

причем реализуемая часть отмечается знаком плюс, а нереализуемая

– знаком минус.

Отбрасывая члены, соответствующие нереализуемой части,

232

условие оптимальности с учетом физической реализуемости записывают следующим образом:

W	( jω) =	1
опт.реал		Ψ( jω)

S (ω)H ( jω)
	Ψ(− jω)
		+

.

(9.14)

Эта формула известна, как формула Колмогорова-Винера и применяется для определения оптимальных параметров системы.

Физически реализуемая частотная передаточная функция оказывается уже неоптимальной в прежнем понимании, но среди физически реализуемых функций в соответствии с принятым критерием она является наилучшей.

Таким образом, когда полезный сигнал и помеха некоррелированы, нахождение оптимальной физически реализуемой

частотной передаточной функции

Wопт ( jω)

производится в

следующем порядке:

1. Вычисляем суммарную спектральную плотность управляющего сигнала и помехи и представляем эту сумму в виде двух комплексных сомножителей:

	Su (ω) = Sg (ω) + S f (ω) = Ψ( jω)Ψ(− jω) .
2.	Выделяем составляющую 1/ Ψ(ω) .
3.	Раскладываем на простейшие слагаемые выражение
	S (ω)H ( jω) / Ψ(− jω) = M	( jω) / P( jω) + M	2	( jω) / P(− jω)
	1

и, отбрасывая члены с полюсами, расположенными в

полуплоскости корней, т. е.	M			2	( jω) / P(− jω)		, выделяем
физически реализуемую часть	M	1	( jω) / P( jω)			.

нижней из него

4. Определяем оптимальную физически реализуемую частотную передаточную функцию системы:

Wопт.реал

( jω) =

M	( jω) / ( jω)P(
1

jω)

.

(9.15)

Можно показать, что при наличии взаимной корреляции полезного сигнала и помехи оптимальная частотная передаточная функция

	W	( jω) =	1	Sg (ω) + Sgf (ω)		H ( jω)		,	(9.16)
	опт		Ψ( jω)		Ψ(− jω)
где	Ψ( jω)Ψ(− jω) = Su (ω) = Sg (ω) + Sgf (ω) + S fg (ω) + S f							(ω) ;	S gf (ω) ,

S fg (ω) – взаимные спектральные плотности управляющего сигнала и помехи.

233

Оптимальную передаточную функцию Wопт ( p) получают по

найденной оптимальной частотной передаточной функции

W	(
опт

jω)

,

подставляя в последнюю

p

вместо

jω

.

Wопт

Затем в соответствии с полученной передаточной функцией ( p) выбирают элементы системы. Если часть элементов задана и

изменить их параметры не представляется возможным, то в таких случаях задача сводится к выбору параметров корректирующих цепей при найденной оптимальной передаточной функции системы управления в целом и известных передаточных функциях отдельных заданных элементов системы.

В системе, имеющей оптимальную передаточную функцию, получается теоретически достижимый минимум среднего квадрата ошибки:

ε2 min

	1	+		2					2
=			{| H ( jω) |		S		(ω)− | W	( jω) |
						g
							опт
	2π
		−

S f

(ω)}dω

.

(9.17)

Пример 9.2. Найти оптимальное значение

W	( jω)
опт

в примере

9.1 с учетом условий реализации.

Решение. Производим факторизацию и определяем

2 + ω

2

2 + jω

2 − jω

S

(ω) + S

(ω) =

= Ψ( jω)Ψ(− jω)

g

f

2

=

1 + ω

1 + jω

1 − jω

Производим расщепление

S (ω)H ( jω)	=	1 − jω				=		1	=
Ψ(− jω)		2
	(1 + ω		)( 2	− jω)			(1	+ jω)(	2 − jω)
= R( jω) + N (− jω) =					A		+	B	.
				1	+	jω		2 − jω
Для определения коэффициентов A							и B решим уравнение

A(2 − jω) + B(1+ jω) =1,

откуда

A = B =	1		и R( jω) =		1		.
	1 +			(1 +		)(1 + jω)
		2			2

.

Тогда окончательно получим

W	( jω) =	R( jω)	=		1				.
опт.реал		Ψ( jω)	(1 +		2)(		2 + jω)

234

9.2.Оптимальный фильтр Винера

Втех случаях, когда на входе системы автоматического

управления (см. рис. 9.1) действуют полезный сигнал G(t) и помеха F (t) , которые являются коррелированными между собой стационарными случайными процессами с равными нулю средними значениями, оптимальная импульсная переходная функция системы

wопт (t) ,	удовлетворяющая условию физической реализуемости
w(t) = 0	при t 0 и обеспечивающая минимум средней квадратичес-

кой ошибки, должна удовлетворять следующему интегральному уравнению:

где

			+
			w			( )R
				опт		u
			−
R	( ) = R	g	( ) + R		f	( ) +
u

(τ − λ)d − Rzu (τ) = 0,	τ 0 ,	(9.18)
Rgf ( ) + R fg ( ) – корреляционная функция

суммарного входного сигнала

U (t) = G(t) +

F (t)

;

			1	+T
	Rzu (τ) =	lim		z(t)u(t + τ)dt
		T → 2T
				−T

– взаимная корреляционная функция

воспроизводимого выходного сигнала Z (t) и суммарного входного сигнала U (t) .

Уравнение (9.18) было получено Н. Винером в 1949 г. и называется интегральным уравнением Винера – Хопфа.

На основе решения уравнения (9.18) Н. Винером была предложена общая формула для нахождения реализуемой оптимальной частотной передаточной функции (оптимального фильтра Винера)

			1			− jωt		+
	опт	( jω) =			e		dt
	W		2π Ψ( jω)
				0				−

	S	zu	( jω)	e
	Ψ(− jω)

jωt

dω

,

(9.19)

где

S zu ( jω) = S zg ( jω) + S zf ( jω)

– взаимная

плотность воспроизводимого выходного сигнала

Z (t)

спектральная и суммарного

входного сигнала U (t) , причем Ψ( jω)Ψ(− jω) =|

= Sg (ω) + S f (ω) + Sgf ( jω) + S fg ( jω) .

Следует обратить внимание на то, что в внешнего интеграла должен быть равен нулю.

Если корреляция между управляющим

Ψ( jω) |2 = Su (ω) =

(9.19) нижний предел

сигналом и помехой

235

отсутствует, то при применении (9.16) следует учесть, что

Sgf ( jω) + S fg ( jω) = Szf ( jω) = 0 .

(9.20)

При определении оптимальной частотной передаточной функции выбор формулы (9.15) или (9.19) зависит от конкретной задачи. Если управляющий сигнал и помеха некоррелированы, то обычно более удобной является формула (9.15).

На основе общей формулы (9.19) как частные случаи могут быть получены выражения для оптимальных частотных передаточных функций систем (оптимальных фильтров), осуществляющих при наличии помех воспроизведение полезного сигнала, статистическое упреждение (предсказание), дифференцирование и другие линейные преобразования управляющего сигнала в соответствии с (9.1).

Например, если рассматривают задачу воспроизведения полезного сигнала при наличии помех, то преобразующий оператор H ( p) = 1, тогда

Z (t) = G(t),

S

u

(ω) = S

g

(ω) + S

f

(ω) + S

gf

( jω) + S

fg

( jω),

S

zu

(ω) = S

gu

( jω) = S

g

(ω) + S

gf

( jω).

(9.21)

В этом случае (9.19) может быть представлено в более простом виде:

Wопт ( jω) = B( jω) / Ψ( jω) .

(9.22)

		Чтобы
S	gu	( jω) / Ψ(−

j

найти числитель выражения (9.22), разложим ω) на простые дроби:

	S	gu	( jω)	q	a		q	b
				=	i		+	i
	Ψ(− jω)				−			− η
				i =1		i	i =1		i

μ c

++i γ

i=1 i

,

(9.23)

где

λi

– полюсы

S	gu	(

jω)

, расположенные в верхней полуплоскости;

ηi

– полюсы

S	gu	(

jω)

, расположенные в нижней полуплоскости; γi –

нули Ψ(− jω) .

Затем, отбрасывая слагаемые, имеющие полюсы в нижней полуплоскости, получим

где коэффициенты

ai

ai

	q	ai
	B( jω) =		,	(9.24)
		− i
	i =1
	определяют по формуле
	= [(ω − λi )Sgu ( jω) / Ψ(− jω)]ω=λ .			(9.25)
			i

Формулы (9.23) и (9.25) относятся к тому случаю, когда

236

отношение Sgu ( jω) / Ψ(− jω) не имеет кратных полюсов.

Если это отношение имеет кратные полюсы, то методика

определения	B( jω) остается прежней, но формулы разложения
Sgu ( jω) / Ψ(− jω) на простые дроби будут другими.

Частным, но весьма важным и является случай, когда помеха

спектральной плотностью

S f (ω) =

распространенным на практике

является белым	шумом со
S f (0) = const, а	спектральная

плотность управляющего сигнала			S g (ω)		описывается
рациональной функцией
	Sg (ω) = G1(ω	2	) / G2 (ω	2	) ,
где порядок G (ω2 )	превышает порядок G (ω2 ) .
2			1

дробно-

(9.26)

Полезно запомнить, что в этом случае оптимальная частотная передаточная функция может быть определена следующим образом:

W	( jω) = 1 −	S	f
опт

(0) / Ψ(

jω)

.

(9.27)

Основополагающие результаты Н. Винера были получены для случая, когда ко входу линейной системы приложены стационарные случайные воздействия с равными нулю средними значениями (центрированные случайные процессы).

Врезультате дальнейшего развития и обобщения методов синтеза динамических систем при случайных воздействиях были разработаны, например, методы синтеза при случайных воздействиях, приложенных в разных точках системы; методы синтеза при одновременном воздействии на систему регулярных и случайных сигналов; методы синтеза систем с ограниченной длительностью переходного процесса (с «конечной памятью»); методы синтеза систем, содержащих случайные параметры; методы синтеза систем при нестационарных случайных воздействиях; методы синтеза нелинейных систем, в том числе с применением цифровых вычислительных машин, и т. д.

Впоследнее время при расчете систем, находящихся под воздействием случайных (в том числе и нестационарных) процессов, широкое применение нашла теория оптимальных фильтров, разработанная Р. Калманом и Р. Бьюси.

237

9.3. Оптимальный фильтр Калмана – Бьюси

Нахождение оптимального фильтра Винера основывалось на использовании интегрального уравнения Винера – Хопфа, при решении которого стационарные случайные процессы рассматривались в частотной области. В 1960 г. Р. Калман и Р. Бьюси рассмотрели проблему линейной фильтрации во временной области и, используя концепцию «пространства состояний», предложили новый эффективный метод синтеза оптимальных систем по критерию минимума математического ожидания квадрата случайной ошибки, применимый как для стационарных, так и для нестационарных марковских случайных процессов. Так как в основе используемой Калманом и Бьюси концепции «пространства состояний» лежит предположение о том, что случайный процесс является марковским, поэтому их подход к синтезу оптимальных линейных систем иногда называют марковской теорией оптимальной линейной фильтрации.

Описывая все случайные процессы не с помощью корреляционных функций или спектральных плотностей, а с помощью дифференциальных уравнений или уравнений состояния, Калман и Бьюси показали, что при случайных воздействиях оптимальная линейная система (оптимальный фильтр Калмана – Бьюси) должна удовлетворять некоторой системе неоднородных линейных дифференциальных уравнений. Нахождение оптимальной системы по этим дифференциальным уравнениям намного легче, чем по интегральным уравнениям Винера – Хопфа, особенно в случае нестационарных случайных процессов.

Вывод уравнений оптимального фильтра был выполнен Калманом и Бьюси для многомерных случайных процессов. Познакомимся с основной идеей метода Калмана – Бьюси на примере более простых, но часто встречающихся на практике одномерных фильтров.

Допустим, что синтезируемая система должна воспроизводить некоторый сигнал Z (t) , представляющий собой в общем случае нестационарный случайный процесс. Пусть на входе системы кроме этого сигнала действует также помеха F (t) , представляющая собой в

общем случае нестационарный случайный процесс типа «белый шум» с нулевым средним значением. Таким образом, суммарный входной сигнал

238

U (t) =

Z (t) +

F

(t)

.

(9.28)

Для вывода уравнения одномерного оптимального фильтра Калмана – Бьюси существенным является то, что случайный процесс Z (t) должен быть сначала представлен дифференциальным

уравнением первого порядка следующего вида:

dZ (t) / dt = A(t)Z (t) +V (t) ,

(9.29)

где

A(t)

– некоторая функция времени, зависящая от статистических

характеристик случайного процесса

Z (t)

;

V (t)

– нестационарный

случайный процесс типа «белый шум» с нулевым средним значением.

Корреляционные	функции	нестационарных	случайных
процессов V (t) и F (t)	имеют вид:
Rvv (t, τ) = M[V (t) V (τ)] = L(t)δ(t − τ) ;
R f (t, τ) = M [F (t) F (τ)] = N (t)δ(t − τ) ;			(9.30)
	Rvf (t, τ) = 0 ,

где L(t) и	N (t) ) – непрерывные,
функции времени, причем
	L(t) 0,

непрерывно

N (t) 0 .

дифференцируемые

(9.31)

Вчастном случае для стационарных случайных процессов V (t)

иF (t) их корреляционные функции:

где

L

=

const

,

N

Rv (τ) = L(t)δ(t) ; = const .

R f

(τ) =

N (t)δ(t)

; Rvf (t) = 0 , (9.32)

Если случайный процесс случайная ошибка системы

на выходе системы равен E(t) , равная разности

X

(t) , то

между

воспроизводимым сигналом вид

E

Z (t)

(t) =

и выходным сигналом

Z (t) − X (t) .

X (t) , имеет

(9.33)

Калман и Бьюси показали, что оптимальная система (оптимальный фильтр Калмана – Бьюси), обеспечивающая в любой

момент времени

t t0

воспроизведение сигнала

Z (t)

при минимуме

математического ожидания квадрата случайной ошибки, должна описываться неоднородным дифференциальным уравнением вида

dX (t) / dt = Q(t) X (t) + C(t)U (t) .

(9.34)

Таким образом, при синтезе оптимального фильтра Калмана – Бьюси задача сводится к нахождению таких функций времени Q(t) и C(t) в дифференциальном уравнении (9.34), при которых

239

обеспечивался бы минимум случайной ошибки, т. е.

M [{E(t)}	2	] =

математического

M [{Z (t) − X (t)}	2	] =

ожидания

min .

квадрата

(9.35)

Предполагая, что случайный процесс

Z (t)

представлен в виде

(9.29), приведем функций Q(t) и C

(t

без доказательства формулы для нахождения ) , при которых обеспечивается минимум (9.35).

Прежде чем определить некоторую функцию времени

функции	Q(t)
r(t) , равную

иC(t) , находят

математическому

ожиданию квадрата случайной ошибки (дисперсии ошибки):

r(t) = M [{E(t)}2 ],

(9.36)

которая определяется как решение следующего дифференциального уравнения Риккати:

	dr(t) / dt = L(t) + 2 A(t)r(t) − r	2	(t) / N (t) .	(9.37)
Для решения (9.37) нужно знать начальное значение				r(t0 ) при
t0 = 0. Обычно	X (t0 ) = 0, поэтому
	E(t0 ) = Z (t0 ) − X (t0 ) = Z (t0 ) ;

r(t0 ) = M [{E(t0 )}2 ] =

После нахождения функции формуле

C(t) = r

M [{Z (t0 )}2 ] = Rzz (t0 , t0 ) .

r(t) определяют функцию (t) / N (t)

(9.38)

C(t)

по

(9.39)

и функцию Q(t) по формуле
Q(t) = A(t) − C(t) .	(9.40)

Наиболее сложным этапом синтеза оптимальных фильтров методом Калмана – Бьюси является решение уравнения Риккати (9.37). В общем случае оно требует применения ЭВМ.

Важное самостоятельное значение имеют также вопросы исследования существования решения уравнения (9.37), его единственности и устойчивости.

Учитывая (9.40), уравнение оптимального фильтра Калмана – Бьюси иногда записывают в следующем виде:

dX (t) / dt = A(t) X (t) + C(t)[U (t) − X (t)] .

(9.41)

Дифференциальному уравнению (9.34) соответствует структурная схема оптимального фильтра, показанная на рис. 9.5, а; дифференциальному уравнению (9.41) соответствует структурная схема, показанная на рис. 9.5, б. Таким образом, оптимальный фильтр

240

Калмана – Бьюси можно рассматривать как некоторую динамическую систему с обратной связью, имеющую структурную схему, приведенную либо на рис. 9.5, а, либо на рис. 9.5, б. Естественно, что обе эти структурные схемы эквивалентны.

а

б

Рис. 9.5

Для нестационарных случайных процессов функции

A(t)

;

C(t)

;

Q(t)

зависят от времени и оптимальный фильтр Калмана – Бьюси

получается нестационарным.

Для стационарных случайных процессов функции A(t) = A , а

также в установившемся режиме функции

C (t)

=

C

; Q(t) = A − C не

зависят от времени, поэтому оптимальный фильтр Калмана – Бьюси в

этом	случае	является	стационарным,	определяемым
дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами
		dX (t) / dt = ( A − C) X (t) + CU (t) .		(9.42)

Система, описываемая (9.42), будет в установившемся режиме воспроизводить на своем выходе стационарный случайный сигнал Z (t) с минимальной средней квадратической ошибкой.

Естественно, что для стационарных процессов результаты, полученные методом Калмана – Бьюси и методом Винера, совпадают.

241