2 курс ОАУ(ТАУ) [препод. Петунин В.И.] / Лекции / 12

переходного процесса системы. Допустимое снижение запаса по фазе составляет 5 .

Решение. Из построенной на рис. 12.4, а характеристики Lисх(ω) видно, что запас по фазе нескорректированной системы при

частоте среза с 2 с 1 составляет 56 .

Желаемая характеристика в области низких частот должна быть поднята на 26 дБ, а в области средних и высоких частот должна совпадать с Lисх(ω).

Фаза скорректированной системы может быть записана в виде

(рис. 12.4, а)

жел

( ) 90 arctg

ω

arctg

ω

arctg0,25ω arctg0,0625ω.

ω1

ω2

Подставив в это уравнение ω ω

c

2c 1

и учитывая,

что ω

и ω

2

1

связаны соотношением ω1 ω2 /20, а также

получим

жел(ωc) 180 51 129 ,

20

2

6 arctg2

arctg

.

ω2

ω2

Из

этого уравнения

определим ω

2

0,22с 1,

ω 0,011с 1.

1

Характеристика Lпос(ω) Lжел(ω) Lисх(ω) построена на рис. 12.4, б. Корректирующее устройство можно представить в виде последовательного соединения пассивно интегрирующего звена

и дополнительного усилителя (рис. 12.5).

Передаточная функция корректирующего устройства

Wк(p) kк T2 p 1. T1p 1

273

Рис. 12.4

Рис. 12.5

Численные значения параметров определяются по характеристике Lпос(ω) согласно уравнениям:

274

1

T1 ω1 (R1 R2)C 90 c;

1

T2 ω2 R2C 4,5c;

kк T1 R1 R2 20. T2 R2

Тогда при C 10 мкФ получаем: R1 8,55 МОм; R2 450 кОм.

12.4. Синтез систем управления на основе приближения передаточных функций

Аналитический синтез параметров САУ с учетом заданного качества удобно производить на основе приближения передаточной функции синтезируемой системы Ф(p) к желаемой передаточной

функции Ф (p):
Ф(p) Ф (p),	(12.9)

определенной с помощью стандартных переходных характеристик. Суть этого метода расчета заключается в следующем. Выводится передаточная функция замкнутой системы Ф(p) для выбранной структуры закона управления. Если передаточная функция не содержит нули

Ф(p)			a0		,	(12.10)
	pn a	n 1	pn 1 ... a p a	0
			1

то ее следует приблизить к стандартной передаточной функции вида

Ф		(p)				ω0n		,	(12.11)
			pn A ω	0	pn 1 ... Aωn 1p ωn
			n 1			1 0	0
где Ai – заданные коэффициенты;						n – порядок системы. При этом

коэффициенты ai должны быть равны коэффициентам Ai: ai Ai, где

(i 1, 2, , n 1), а также a0 ω0n.

Значение среднегеометрического корня ω0 выбирается из условия получения необходимого быстродействия, т. е. времени регулирования. Для случая кратных корней коэффициенты Ai равны биноминальным и переходный процесс является монотонным

275

(табл. 12.2). Однако более быстрый переходный процесс соответствует значениям коэффициентов для полинома Баттерворта (табл. 12.3). Корни характеристического уравнения системы (12.11) для этих значений коэффициентов являются комплексными, и переходный процесс имеет небольшое перерегулирование.

							Таблица 12.2
n	Вид полинома бинома Ньютона					t1р,с		м,%
1	p ω0					3,0		0,0
2	p2 2ω0 p ω02					4,8		0,0
3	p3 3ω0 p2		3ω02 p ω03			6,3		0,0
4	p4 4ω0 p3		6ω02 p2 4ω30 p3 ω04			7,8		0,0
5	p5 5ω0 p4 10ω02 p3 10ω03 p2				5ω04 p ω50	9,2		0,0
							Таблица 12.3
n	Вид полинома Баттерворта					t1р,с		м, %
1	p ω0					3,0		0,0
2	p2	1,41ω0 p ω02				2,9		4,5
3	p3 2ω0 p2		2ω02 p ω03			6,0		8,0
4	p4	2,61ω0 p3		3,41ω02 p2 2,61ω30 p3 ω04		6,8		11,0
5	p5	3,24ω0 p4		5,24ω02 p3 5,24ω30 p2 3,24ω04 p ω50		7,7		13,5

В табл. 12.2 и 12.3 t1р – время регулирования при ω0 1; σм –

величина перерегулирования. При ω0 1 величина перерегулирования σм остается прежней, а время переходного процесса определяется по формуле tр t1р /ω0.

Если передаточная функция системы имеет нули, то оптимальный переходный процесс будет обеспечен при ином расположении полюсов, чем в случае, когда нули отсутствуют. Для определения этих полюсов найдем условия равенства двух

передаточных функций Ф(p) и Ф (p), имеющих вид:

276

			b pm b				m 1		pm 1 ... b p b
Ф(p)			m									1	0	, (a		b );		(12.12)
			pn a							... a p a
						n	1	pn 1							0	0
											1	0
Ф		(p)									ω0k						,	(12.13)
				pk	A ω						pk-1 ... Aωk 1p ωk
								k-1 0				1	0			0

где Ф(p) – передаточная функция рассматриваемой автоматической системы; Ф (p) – передаточная функция с известным качеством переходного процесса; k n m.

При равенстве передаточных функций (12.12) и (12.13):

Ф(p) Ф (p)

получаем

(b	pm b	m 1	pm 1 ... b p b )(pk					A	ω	0	pk 1
m				1		0		k	1
	Aωk 1p ωk ) ωk				(pn	a	n 1	pn 1.. a p a					0	). (12.14)
	1		0	0						1

В этом соотношении необходимо приравнять коэффициенты при одинаковых степенях p. Число уравнений в этом случае должно быть равно числу определяемых параметров. Равенство (12.14) может быть достигнуто за счет соответствующего подбора величин bi и ai передаточной функции (12.12) путем изменения параметров системы управления. Решая эту систему уравнений, получаем искомые значения неизвестных параметров.

При этом рассчитываемая система будет иметь заданные динамические свойства.

Пример 12.3. Синтез параметров закона управления статического автопилота в САУ углом тангажа летательного аппарата.

Решение. Рассмотрим систему автоматического управления углом тангажа, включающую контур управления угловой скоростью и контур управления углом тангажа.

Передаточная функция ЛА по углу тангажа:

W	(p)	(p)		nв(p n22)				.
				(p2 2d ω p ω
		δв(p)					2)p
				0	0	0

Закон управления статического автопилота примем в виде:

	δ k	( )	1	(k	pk )p ,
			p n
	в	з
			22

277

где з – заданное значение угла тангажа; k , k , k , – коэффициенты

закона управления (передаточные числа).

Структурная схема САУ углом тангажа посредством статического автопилота с жесткой обратной связью (ЖОС) изображена на рис. 12.6.

Рис. 12.6. Структурная схема САУ углом тангажа посредством статического автопилота с ЖОС

Передаточная функция ЛА по угловой скорости тангажа:

				nв(p n22)
W	(p)	(p)					.
				p2 2d ω p ω 2
		δв(p)
				0	0	0

Передаточная функция контура сервопривода:

Wсп(p) 1.

Передаточная функция ОС:

	W (p)	1	(k	pk ).
		p n22
	ос

Передаточная функция внутренней подсистемы по угловой скорости тангажа имеет вид:

Ф (p) 1 W W(p)(Wpос) (p)

				nв(p n22)				.
	p2 (2d	0	ω	0	n k )p ω2		n k
					в	0	в

Передаточная функция замкнутой системы по углу тангажа имеет вид:

278

	k	Ф	(p)
Ф (p)
	p k		Ф (p)

		b0 p a3					.
	p	3 a p2	a	2	p a	3
		1

Так как разность порядков полиномов знаменателя и числителя передаточной функции рассматриваемой системы Ф (p) равна двум, то задаем желаемые передаточные функции системы в виде:

W

(p)

ω

2

;

Ф (p)

p

2ξωp ω2

1 W (p)

2

W ( p)

k

,

p(τp 1)

где W

(p) – передаточная функция разомкнутой системы;

1

k

ξ

; ω

2

.

2 kτ

τ

Задавая значения

ξ и

ω τаωразм , которые характеризуют

желаемое качество переходного процесса, определяем значения k и τ желаемой передаточной функции разомкнутой системы:

k

ω

;

τ

1

.

2ξ

2ξω

Приравняем передаточную

функцию

разомкнутой системы

к желаемой передаточной функции W

(p):

k

Ф

( p)

k

τp 1

или

k nв (p n22 )

k

.

p2 (2d

k

0

ω

0

n

в

k )p ω2 n

в

τp 1

0

После преобразований получаем

k[p2 (2d

0

ω

0

n k )p ω2

n k ]

в

0

в

k nвτ[p2 (n22 1)p n22 ].

ττ

279

Приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях оператора p, получаем систему трех уравнений с тремя

неизвестными k , k , k :

k k nвτ;

1

2d

0

ω

0

n

в

k

n

22

;

τ

n22

ω2

n

в

k

.

0

τ

Отсюда находим передаточные числа автопилота:

k

k

;

nвτ

k

1 n

22

2

ω

;

nв

τ

0

1

1

k

n

22

2d

0

ω

0

.

τ

nв

Определим параметры

k

,

k

, k

для

легкого

самолета

n22 2,4;

nв

с коэффициентами:

n0 0,4;

n32 38;

n33 2,45;

49;

τа 3,8с.

При ωразм 2,09с 1; ω 7,959; ξ 1;

k 3,979; τ 0,063:

k

1,293; k

0,1159; k 0,2667;

при ωразм 2,09с 1; ω 7,959;

ξ 0,7;

k 5,685; τ 0,09:

k

1,293; k

0,3498; k

0,169.

Результаты

моделирования

переходных

процессов

по

задающему воздействию в статической САУ углом тангажа приведены на рис. 12.7.

Переходные процессы получены для относительного времени t . Реальное время равно t τа t , где τа 3,8с – аэродинамическая постоянная времени самолета.

Следовательно, время регулирования равно: для монотонного процесса (при ξ 1) – 2,28 с; для колебательного процесса (при ξ 0,7) – 1,38 с; перерегулирование колебательного процесса – 4,5%.

280

Рис. 12.7. Переходные процессы в САУ углом тангажа

12.5. Матричный метод синтеза многомерных САУ

Необходимость одновременного регулирования нескольких взаимосвязанных физических величин в многосвязном объекте приводит к сложной с несколькими контурами регулирования многосвязной системе автоматического управления (МСАУ). Известные методы синтеза одномерных систем с использованием логарифмических частотных характеристик, корневых годографов, интегральных оценок не могут быть прямо использованы для синтеза многосвязных систем из-за наличия многих взаимосвязанных контуров регулирования.

Синтез МСАУ в общем виде можно решить с помощью передаточных матриц в виде задачи приближения искомых характеристик к оптимальным, определенным по техническим требованиям. Подобный метод приводит к простым аналитическим зависимостям для определения значений параметров регуляторов.

Структурная схема многомерной системы автоматического управления представлена на рис. 12.8.

281

(12.18)

(12.19)

Рис. 12.8. Структурная схема МСАУ

Уравнения движения системы запишем в следующем виде: уравнение объекта регулирования

X(p) H(p)U(p);	(12.15)
уравнение регулирующих органов
U(p) R(p) X(p);	(12.16)
уравнение замыкания
Χ(p) Χ0(p) Χ(p).	(12.17)

Здесь Χ(p), Χ0(p), X(p)и U(p) – m-мерные векторы столбцы изображений регулируемых величин, задающих воздействий, отклонений регулируемых величин и регулирующих воздействий соответственно; H(p) [Hij(p)](m m) – передаточная матрица объекта

регулирования; R(p) [Rij(p)](m m) – передаточная матрица

регуляторов.

Из решения системы матричных уравнений (12.15)…(12.17) получаем выражения для матриц выходной координаты и передаточной матрицы замкнутой системы регулирования

X(p) [E H(p)R(p)] 1H(p)R(p)X0(p);

Φ(p) [E H(p)R(p)] 1H(p)R(p),

где E – единичная (m m) матрица.

Матрица R находится из условия равенства матрицы передаточных функций замкнутой МСАУ, коэффициенты элементов

которой выражены		через	известные	параметры	объекта
и неизвестные	параметры регуляторов,			и матрицы	требуемых
передаточных	функций	Φ*(p),	в структуре и коэффициентах

у которой содержатся требования к качеству переходных процессов:

Φ(p) [E H(p)R(p)] 1H(p)R(p) Φ (p).

(12.20)

282